क्या #SAT को हल करने के लिए कभी-कभी कुशल एल्गोरिदम है?

Question

बता दें कि एक बूलियन फॉर्मूला है जिसमें सामान्य AND, OR, और NOT ऑपरेटर्स और कुछ वैरिएबल शामिल होते हैं। मैं बी के लिए संतोषजनक कार्य की संख्या की गणना करना चाहता हूं । यही है, मैं बी के चर के लिए सत्य मूल्यों के विभिन्न असाइनमेंट की संख्या ढूंढना चाहता हूं, जिसके लिए बी एक वास्तविक मूल्य मानता है। उदाहरण के लिए, सूत्र एक ∨ ख तीन संतोषजनक कार्य है; ( एक ∨ ख ) ∧ ( ग ∨ ¬ ख ) चार है। यह #SAT समस्या है ।$B$$B$$B$$B$$a\lor b$$(a\lor b)\land(c\lor\lnot b)$

स्पष्ट रूप से इस समस्या का एक कुशल समाधान सैट के लिए एक कुशल समाधान होगा, जो कि संभावना नहीं है, और वास्तव में यह समस्या # पी-पूर्ण है, और इसलिए एसएटी की तुलना में अच्छी तरह से सख्ती से कठिन हो सकता है। इसलिए मैं गारंटी-कुशल समाधान की उम्मीद नहीं कर रहा हूं।

लेकिन यह सर्वविदित है कि स्वयं सैट के अपेक्षाकृत कम कठिन उदाहरण हैं। (उदाहरण के लिए देखें चेसमेन 1991, "जहां वास्तव में कठिन समस्याएं हैं" ।) साधारण छंद खोज, हालांकि सबसे खराब स्थिति में घातीय, कई उदाहरणों को कुशलता से हल कर सकते हैं; हालांकि, सबसे खराब स्थिति में समाधान विधियां, व्यवहार में और भी अधिक कुशल हैं।

मेरा सवाल यह है कि:

क्या किसी ऐसे एल्गोरिदम को जाना जाता है जो किसी विशिष्ट बूलियन फॉर्मूला के संतोषजनक कार्य की संख्या को जल्दी से गिन सकता है, भले ही ऐसे एल्गोरिदम को सामान्य उदाहरण में घातीय समय की आवश्यकता हो? क्या हर संभव असाइनमेंट को मानने से बेहतर कुछ है?

Comments

मैंने # पी-पूर्णता के लिए एक टैग जोड़ने का प्रयास किया, लेकिन स्टैक एक्सचेंज सॉफ़्टवेयर को # साइन पसंद नहीं है।

— मार्क डोमिनस

मैं यह दावा करने के साथ सावधान रहूंगा कि "सैट की तुलना में अपेक्षाकृत कम कठिन उदाहरण हैं"। मेरा मानना है कि आप वास्तव में कागज लिंक बारे में बात करती यादृच्छिक -SAT। इसके अलावा, चरण संक्रमण घटना केवल यादृच्छिक उदाहरणों पर लागू होती है। सैट के बहुत से कठिन दस्तकारी, औद्योगिक आदि उदाहरण हैं। $k$

— जुहो

धन्यवाद। क्या आपको लगता है कि यह मेरे प्रश्न को कम स्पष्ट करता है? क्या तुम समझते हो कि मैं क्या माँग रहा हूँ?

— मार्क डोमिनस

यह मेरे लिए स्पष्ट है। केवल यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि चरण संक्रमण किस उदाहरण से प्रदर्शित होता है :)

— जुहो

Answer 1

सामान्य मामले में गिनती

जिस समस्या में आप रुचि रखते हैं, उसे #SAT, या मॉडल की गिनती के रूप में जाना जाता है। एक अर्थ में, यह शास्त्रीय # पी-पूर्ण समस्या है। -SAT के लिए भी मॉडल की गिनती कठिन है ! आश्चर्य की बात नहीं, सटीक तरीके केवल सैकड़ों चर के साथ उदाहरणों को संभाल सकते हैं। अनुमानित तरीके भी मौजूद हैं, और वे लगभग 1000 चर के साथ उदाहरणों को संभालने में सक्षम हो सकते हैं।$2$

सटीक मतगणना विधियां अक्सर डीपीएलएल-शैली की संपूर्ण खोज या किसी प्रकार के ज्ञान संकलन पर आधारित होती हैं। अनुमानित तरीकों को आमतौर पर उन तरीकों के रूप में वर्गीकृत किया जाता है जो बिना किसी गारंटी के तेजी से अनुमान देते हैं और वे विधियाँ जो शुद्धता की गारंटी के साथ कम या ऊपरी सीमा प्रदान करती हैं। ऐसी अन्य विधियां भी हैं जो श्रेणियों को फिट नहीं कर सकती हैं, जैसे कि बैकस्ट की खोज, या वे विधियां जो कुछ संरचनात्मक गुणों को सूत्रों (या उनके बाधा ग्राफ) पर पकड़ बनाने पर जोर देती हैं।

वहाँ व्यावहारिक कार्यान्वयन कर रहे हैं। कुछ सटीक मॉडल काउंटर CDP, Relsat, Cachet, sharpSAT और c2d हैं। सटीक सॉल्वर द्वारा उपयोग की जाने वाली मुख्य तकनीकों का प्रकार आंशिक गणना, घटक विश्लेषण (अंडररिंग बाधा ग्राफ), सूत्र और घटक कैशिंग, और प्रत्येक नोड पर स्मार्ट तर्क हैं। ज्ञान संकलन पर आधारित एक अन्य विधि इनपुट CNF सूत्र को एक अन्य तार्किक रूप में परिवर्तित करती है। इस फॉर्म से, मॉडल की गिनती को आसानी से घटाया जा सकता है (नए उत्पादित फार्मूले के आकार में बहुपद समय)। उदाहरण के लिए, कोई सूत्र को द्विआधारी निर्णय आरेख (BDD) में बदल सकता है। एक फिर "1" पत्ती से बीडीडी को जड़ तक वापस ला सकता है। या किसी अन्य उदाहरण के लिए, c2d एक संकलक को नियोजित करता है जो CNF फॉर्मूलों को नियतात्मक डीकॉम्पोज़िटिव नेगेटिव सामान्य रूप (d-DNNF) में बदल देता है।

$\phi$$\phi$

गोगेट और डिचटर [3] एक नमूना गिनती तकनीक का उपयोग करते हैं जिसे नमूनामिनिसाट के रूप में जाना जाता है। यह बूलियन फॉर्मूला के बैकट्रैक-फ्री सर्च स्पेस से नमूना लेने पर आधारित है। तकनीक डीपीएलएल-आधारित सैट सॉल्वरों का उपयोग करते हुए बैक-फ्री सर्च स्पेस के निर्माण के लिए महत्वपूर्ण री-सैंपलिंग के विचार पर निर्मित होती है। यह पूरी तरह से या एक सन्निकटन तक हो सकता है। गारंटी के साथ अनुमानों के लिए नमूनाकरण भी संभव है। [2] पर निर्माण, गोम्स एट अल। [४] दिखाया गया है कि एक संशोधित यादृच्छिक रणनीति के साथ नमूने का उपयोग करते हुए, कोई व्यक्ति उच्च संभाव्य शुद्धता गारंटी के साथ कुल मॉडल की संख्या में साबित करने योग्य कम सीमा प्राप्त कर सकता है।

वहाँ भी काम है कि विश्वास प्रसार (बीपी) पर बनाता है। क्रोक एट अल देखें। [५] और बीपीसीाउंट वे पेश करते हैं। मॉडल पेपर पर ऊपरी सीमा प्रदान करने के लिए, उसी पेपर में, लेखक मिनीकाउंट नामक एक दूसरी विधि देते हैं। एक सांख्यिकीय ढांचा भी है जो किसी को कुछ सांख्यिकीय मान्यताओं के तहत ऊपरी सीमा की गणना करने की अनुमति देता है।

# 2-SAT और # 3-SAT के लिए एल्गोरिदम

$O(1.3247^n)$$O(1.6894^n)$$O(1.6423^n)$

जैसा कि समस्या की प्रकृति में है, यदि आप व्यवहार में उदाहरणों को हल करना चाहते हैं, तो बहुत कुछ आपके उदाहरणों के आकार और संरचना पर निर्भर करता है। जितना अधिक आप जानते हैं, उतना ही आप सही विधि चुनने में सक्षम हैं।

---

[१] विल्हेम डल्होफ़, पीटर जोंसन और मैग्नस पहलवान। 2-सैट और 3-सैट में संतुष्ट करने वाले असाइनमेंट की गिनती। 8 वीं वार्षिक अंतर्राष्ट्रीय कम्प्यूटिंग और संयोजक सम्मेलन (COCOON-2002), 535-543, 2002 की कार्यवाही में।

[२] डब्ल्यू। वी।, और बी। सेल्मन। मॉडल की गिनती के लिए एक नया दृष्टिकोण। SAT05 की कार्यवाही में: सिद्धांत और संतुष्टि परीक्षण के 8 वें अंतर्राष्ट्रीय सम्मेलन, कंप्यूटर विज्ञान में व्याख्यान नोट्स की मात्रा 3569, 324-339, 2005।

[३] आर। गोगेट, और आर। डेचर। बैकट्रैक-फ्री सर्च स्पेस को सैंपल करके अनुमानित गणना। AAAI-07 की कार्यवाही में: आर्टिफिशियल इंटेलिजेंस पर 22 वां राष्ट्रीय सम्मेलन, 198–203, वैंकूवर, 2007।

[४] सीपी गोम्स, जे। हॉफमैन, ए। सभरवाल, और बी। सेल्मन। सैंपलिंग से लेकर मॉडल काउंटिंग तक। IJCAI-07: 20 वीं अंतर्राष्ट्रीय संयुक्त सम्मेलन आर्टिफिशियल इंटेलिजेंस की कार्यवाही में, 2293–2299, 2007।

[५] एल। क्रो, ए। सभरवाल, और बी। सेल्मन। लीवरिंग बिलीफ प्रचार, बैकट्रैक सर्च, और मॉडल काउंटिंग के लिए सांख्यिकी। CPAIOR-08: 5 वें अंतर्राष्ट्रीय सम्मेलन में AI और OR तकनीकों का एकीकरण, कंप्यूटर विज्ञान में व्याख्यान नोट्स की मात्रा 5015, 2008-141, 2008।

[६] के । कुत्ज़कोव # 3-SAT समस्या के लिए नई ऊपरी सीमा। सूचना प्रसंस्करण पत्र 105 (1), 1-5, 2007।

Answer 2

जुहो द्वारा सूचीबद्ध पत्रों के अलावा, यहां कुछ अन्य हैं जो इस विषय पर काम का वर्णन करते हैं, विशेष रूप से समाधानों की संख्या का अनुमान लगाने पर:

• मॉडल की गिनती । कार्ला पी। गोम्स, आशीष सभरवाल, संतुष्टि की बार्ट सेलमैन हैंडबुक, आईओएस प्रेस। संपादक: अर्मिन बिरे, मरिजन हूल, हंस वैन मारेन और टोबी वाल्श। अध्याय 20, पीपी 633-654, 2009।

  • इसमें विषय का एक अच्छा अवलोकन और कई तकनीकों का परिचय है।

• XOR बाधाओं का उपयोग करते हुए कंबाइनटेरियल स्पेस के सम-समान नमूने । कार्ला पी। गोम्स, आशीष सभरवाल, बार्ट सेलमैन। NIPS-06। तंत्रिका सूचना प्रसंस्करण प्रणालियों पर 20 वां वार्षिक सम्मेलन, पीपी 481-488, वैंकूवर, ईसा पूर्व, कनाडा, दिसंबर 2006।

• मॉडल की गिनती के लिए लघु XORs: अभ्यास से सिद्धांत । कार्ला पी। गोम्स, जोर्ज हॉफमैन, आशीष सभरवाल, बार्ट सेलमैन सैट -07। थ्योरी पर 10 वीं अंतर्राष्ट्रीय सम्मेलन और संतुष्टि परीक्षण के अनुप्रयोग, LNCS मात्रा 4501, पीपी 100-106, लिस्बन, पुर्तगाल, मई 2007।

• लीवरिंग बिलीफ प्रचार, बैकट्रैक सर्च, और मॉडल काउंटिंग के लिए सांख्यिकी । लुकास क्रो, आशीष सभरवाल, बार्ट सेलमैन ANOR-2011। एनल्स ऑफ ऑपरेशंस रिसर्च, वॉल्यूम 184, नंबर 1, पीपी 209-231, 2011।

• तेजी से सटीक मॉडल की गिनती के लिए आंकड़े । तियान सांग, पॉल बीम और हेनरी कौत्ज़। संतुष्टि परीक्षण के सिद्धांत और अनुप्रयोग (SAT 2005), पीपी 226-240।