क्या विरोधाभास द्वारा सबूत को बिना बहिष्कृत कानून के बीच रखा जा सकता है?


19

मैं हाल ही में विरोधाभास द्वारा सबूत की वैधता के बारे में सोच रहा था। मैंने पिछले कुछ दिनों से अंतर्ज्ञानवादी तर्क और गोडेल के प्रमेयों के बारे में पढ़ा है, यह देखने के लिए कि क्या वे मुझे मेरे प्रश्नों के उत्तर प्रदान करेंगे। अभी मेरे पास अभी भी प्रश्न हैं (शायद नई सामग्री जो मैं पढ़ता हूं) से संबंधित है और कुछ उत्तर पाने की उम्मीद कर रहा था

( चेतावनी : आप तर्क में बहुत उलझी हुई नींव के साथ सामग्री को पढ़ने के लिए आगे बढ़ने वाले हैं, नमक के एक दाने के साथ सब कुछ ले लो, यह एक सवाल है और इसका जवाब नहीं है, इसमें कई गलतफहमियां हैं)।

मुझे लगता है कि मेरा मुख्य प्रश्न है, एक बार जब हमने दिखाया कि ए कुछ विरोधाभास की ओर नहीं जाता है, तो ए को गलत नहीं होना चाहिए, तो हम जाते हैं और निष्कर्ष निकालते हैं कि ए को सच होना चाहिए। उस हिस्से का अर्थ समझ में आता है (विशेषकर यदि मैं बीच के बहिष्कृत कानून को कुछ समझ लेता हूं जो समझ में आता है) लेकिन जो बात मुझे परेशान करती है वह यह है कि विरोधाभास कैसे होता है। पहले हम A के साथ शुरू करते हैं और फिर हम केवल स्वयंसिद्ध और नियमों के नियमों को लागू करते हैं (यंत्रवत् कहते हैं) और देखें कि हमें कहां ले जाता है। यह आमतौर पर एक विरोधाभास तक पहुँच जाता है (कहते हैं कि A सत्य है या और सत्य है)। हम निष्कर्ष निकालते हैं कि A असत्य नहीं होना चाहिए, इसलिए A सत्य है। कोई बात नहीं। लेकिन मेरा सवाल यह है कि औपचारिक प्रणालियों की क्या गारंटी है¬φϕअगर मैंने एक ही प्रक्रिया लागू की, लेकिन ए के साथ शुरू किया कि मुझे वहां विरोधाभास भी नहीं मिलेगा ? मुझे लगता है कि विरोधाभासों के प्रमाण में कुछ छिपी हुई धारणा चल रही है कि अगर इसी तरह ए में एक ही प्रक्रिया एक विरोधाभास तक नहीं पहुंचती है , तो हम किस तरह की गारंटी देते हैं जो नहीं होगा? क्या कोई ऐसा प्रमाण है जो असंभव है? दूसरे शब्दों में, अगर मेरे पास एक टर्निंग मशीन (टीएम) (या सुपर टीएम) थी जो हमेशा के लिए चली गई, जो कि कथित रूप से सही कथन से शुरू होने वाले प्रत्येक स्वयंसिद्ध से सभी तार्किक चरणों की कोशिश की A, तो क्या गारंटी देता है कि यह एक विरोधाभास खोजने के कारण नहीं है ?

फिर मैंने गोडेल की अपूर्णता प्रमेय के साथ अपने पिछले प्रश्न के साथ कुछ संबंध बनाए जो कुछ इस तरह से हैं:

एक औपचारिक प्रणाली F जो con व्यक्त अंकगणित अपनी स्वयं की स्थिरता (F के भीतर) साबित नहीं कर सकती है।

यह मूल रूप से मेरे लिए यह स्पष्ट कर देता है कि यदि सही है तो स्थिरता अर्थात गारंटी है कि ए और ए नहीं होगा असंभव नहीं है। इसलिए, ऐसा लगता है कि विरोधाभास द्वारा यह सबूत सिर्फ स्पष्ट रूप से मानता है कि निरंतरता की गारंटी किसी भी तरह है (अन्यथा यह सिर्फ आगे जाएगा और यह निष्कर्ष निकालता है कि ए सही साबित नहीं होने से यह संभव नहीं है अगर यह पहले से ही पता नहीं था कि स्थिरता और विरोधाभास जहां ठीक है, बयान ए के किसी भी जोड़े के लिए और ए) नहीं? क्या यह गलत है या मुझे कुछ याद आया?

फिर मैंने सोचा, ठीक है, केवल हमारे स्वयंसिद्धों में शामिल है जो बहिष्कृत बीच का नियम है और फिर सभी समस्याएं हल हो जाती हैं। लेकिन तब मुझे एहसास हुआ, रुको अगर हम ऐसा करते हैं कि हम समस्या से निपटने के बजाय समस्या को दूर कर रहे हैं। अगर मैं अपने सिस्टम को परिभाषा के अनुरूप होने के लिए मजबूर करता हूं, तो इसका मतलब यह नहीं है कि यह वास्तव में संगत है ... सही है? मैं सिर्फ इन विचारों को समझने की कोशिश कर रहा हूं और मुझे पूरा यकीन नहीं है कि क्या करना है, लेकिन यह वही है जो सामान को पढ़ने और इन अवधारणाओं के लगभग हर पहलू में वीडियो देखने के बाद मुझे एहसास हो रहा है, विरोधाभास, विशेष मध्य, अंतर्ज्ञानवादी तर्क, Godel की पूर्णता और अपूर्णता प्रमेय…

इससे संबंधित, ऐसा लगता है कि इसका अनिवार्य रूप से वास्तव में सीधे असंभव साबित होता है कि बहिष्कृत मध्य (या विरोधाभास) के नियम के बिना कुछ गलत है। ऐसा लगता है कि प्रूफ सिस्टम सही कथन साबित करने में अच्छे हैं लेकिन मेरी समझ में सीधे तौर पर यह दिखाने में असमर्थ हैं कि चीजें झूठी हैं। शायद जिस तरह से वे ऐसा करते हैं वह परोक्ष रूप से विरोधाभास के साथ होता है (जहां वे दिखाते हैं कि कुछ गलत होना चाहिए या बुरी चीजें होती हैं), या बीच में छोड़ दिया (जहां केवल एक ए का सत्य मूल्य जानना या नहीं ए हमें दूसरे का सत्य देता है) या काउंटर उदाहरण प्रदान करना (जो मूल रूप से दर्शाता है कि विपरीत सच है इसलिए अप्रत्यक्ष रूप से बहिष्कृत मध्य के कानून का उपयोग करता है)। मुझे लगता है कि मैं वास्तव में एक रचनात्मक सबूत चाहता हूं कि कुछ गलत है?

मुझे लगता है कि अगर मुझे पता चल सकता है कि अगर मैं साबित नहीं करता कि A गलत है (कहो तो मैं विरोधाभास स्वीकार करता हूं) तो यह कि यह वास्तव में ठीक है और मुझे A पर असीम रूप से सभी इंजेक्शन नियमों और स्वयंसिद्धों को लागू करने की आवश्यकता नहीं है और मुझे गारंटी है कि A जीता है एक विरोधाभास तक नहीं पहुँच सकते। अगर यह सच था तो मुझे लगता है कि मैं विरोधाभास द्वारा सबूत को अधिक आसानी से स्वीकार कर सकता हूं। क्या यह सच है या गोडेल की दूसरी अपूर्णता की गारंटी है जो मेरे पास नहीं है? अगर मेरे पास यह नहीं हो सकता है, तो मुझे कौन सी पहेलियां हैं जो गणित के गणितज्ञों के इतने वर्षों के बाद भी संभव है कि हमें कोई असंगति नहीं मिली? क्या मुझे निरंतरता के अनुभवजन्य साक्ष्य पर भरोसा करने की आवश्यकता है? या उदाहरण के लिए, मैं सुपर एफ दिखा रहा है के द्वारा संगत है एफ एफ लगातार साबित होता है, लेकिन जब से मुझे वास्तव में सुपरएफ और सिर्फ एफ की आवश्यकता नहीं होगी, तो मैं संतुष्ट नहीं हो सकता है जो वास्तव में काम करता है?


मैंने अभी देखा कि मेरी शिकायत प्रत्यक्ष प्रमाण को भी सामान्य करती है। ठीक है, अगर मैंने A का प्रत्यक्ष प्रमाण किया तो मुझे पता है कि A सत्य है ... लेकिन मुझे कैसे पता चलेगा कि यदि मैंने A का प्रत्यक्ष प्रमाण नहीं किया तो मुझे सही प्रमाण नहीं मिलेगा? एक ही सवाल लगता है बस थोड़ा अलग जोर ...।


1
टिप्पणियाँ विस्तारित चर्चा के लिए नहीं हैं; इस वार्तालाप को बातचीत में स्थानांतरित कर दिया गया है ।
डीडब्ल्यू


अंतर्विरोधी तर्क बहिष्कृत मध्य / दोहरे निषेध उन्मूलन के सामान्य कथन को अस्वीकार करता है , लेकिन यह विशिष्ट प्रस्तावों के लिए हो सकता है। सबसे अच्छा है, अंतर्ज्ञानवादी तर्क में एक दोहरे नकार को साबित करने का मतलब सिर्फ इतना है कि एक सकारात्मक प्रमाण की तलाश व्यर्थ नहीं है।
कार्ल दामगार्ड ने असामुसेन

जवाबों:


30

आपने पूछा (मैं आपके प्रश्न को थोड़ा क्रिस्प कर रहा हूं): "क्या औपचारिक गारंटी है कि ऐसा नहीं हो सकता कि दोनों और एक विरोधाभास की ओर ले जाएं?" आप चिंता करने लगते हैं कि यदि तर्क असंगत है, तो विरोधाभास द्वारा प्रमाण समस्याग्रस्त है। लेकिन ऐसा बिल्कुल नहीं है।¬pp

यदि तर्क असंगत है, तो विरोधाभास द्वारा प्रमाण अभी भी तर्क का एक वैध नियम है, लेकिन ऐसा ही इसकी उपेक्षा है, और नियम जो कहता है कि हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि आप अगले पोप हैं। तर्क में एक असंगतता कुछ भी अमान्य नहीं करती है: बिल्कुल विपरीत, यह सब कुछ मान्य करता है !1+1=2

भ्रम का एक और संभावित स्रोत है: आपके प्रश्न के शीर्षक को यह कहते हुए पढ़ा जा सकता है कि बहिष्कृत मध्य का नियम कहता है कि तर्क संगत है। यह गलत है। तर्क की संगति मात्रा में करने के लिए "यह मामला है कि दोनों ने एक बयान और उसका निषेध सबूत नहीं है", जबकि बाहर रखा बीच शासन जो हमें प्रपत्र का बयान साबित करने के लिए अनुमति देता है p¬p


पूरक: मुझे समझ में नहीं आता कि यह सवाल इतनी चर्चा क्यों पैदा कर रहा है। मुझे यह समझने में परेशानी है कि वास्तव में दुविधा क्या है, और जहां तक ​​मैं बता सकता हूं, सवाल किसी तरह की गलतफहमी से उत्पन्न होता है। अगर कोई इस सवाल पर सवाल उठा सकता है, तो मैं आभारी रहूंगा। इसके अलावा, मैं निम्नलिखित बिंदुओं पर ध्यान आकर्षित करना चाहूंगा:

  1. विरोधाभास और बहिष्कृत बीच के सबूत एक दूसरे के बराबर हैं, और इसलिए शीर्षक, जैसा कि लिखा गया है, गैर-संवेदी है। बेशक हम एक दूसरे के बिना नहीं हो सकते, वे समकक्ष हैं।

  2. प्रश्न में लंबी चर्चा से मैं जो समझ सकता हूं, वह ओपी कह रहा है, या चिंताजनक है कि तर्क में एक असंगतता एक सबूत को अमान्य करती है। यह गलत है, जैसा कि मैंने ऊपर बताया। मैं ओपी से किसी प्रकार की प्रतिक्रिया की सराहना करूंगा: क्या ओपी देख सकता है कि कैसे तर्क में असंगतता (यानी, सब कुछ साबित करने में सक्षम) किसी भी सबूत को अमान्य नहीं करती है?

  3. मैं यह संभावना लगता है, लेकिन वास्तव में, यह सुनिश्चित करें के लिए नहीं बता सकता ओपी सोचता है कि कि बाहर रखा मध्य राज्यों के कानून है कि यह दोनों के लिए असंभव है और ¬ पी पकड़ करने के लिए (एक नियम के साथ: ¬ ( पी ¬ पी ) )। इसे बीच में नहीं रखा गया है। इसे कभी-कभी गैर-विरोधाभास का कानून भी कहा जाता है, और यह साबित करने योग्य है (बीच में बाहर किए बिना)।p¬पी¬(p¬p)

  4. ओपी को लगता है कि "यह सीधे तौर पर साबित करना असंभव है कि कुछ को बीच में छोड़े बिना झूठा है"। वह विरोधाभास द्वारा नकारात्मकता का सबूत और सबूत को भ्रमित कर रहा है , जो एक ही बात नहीं है । लिंक किए गए पोस्ट में रचनात्मक प्रमाण के बहुत सारे उदाहरण हैं कि कुछ गलत है। वास्तव में, अधिकांश प्रमाण जो पाठ्यपुस्तकों में पाए गए कुछ झूठे हैं, पहले से ही रचनात्मक हैं।

  5. गोडेल की अपूर्णता को इस कारण से घसीटा जाता है कि मैं विचार कर सकता हूं। Gödel की अपूर्णता एक वाक्य प्रदान करती है जो न तो G और न ही el G के लिए सिद्ध है। यह नहीं करता है मतलब है कि जी ¬ जी unprovable (यह है, बाहर रखा बीच का एक सरल आवेदन के द्वारा) है! न तो यह संकेत करता है कि ¬ जी ¬ ¬ जी रखती है, या कुछ इस तरह। तो गोदेल का अधूरापन यहाँ कैसे प्रासंगिक है?GG¬GG¬G¬G¬¬G

PS मैं पूरक के पिछले संस्करण के लिए माफी माँगता हूँ जो असभ्य था।


1
टिप्पणियाँ विस्तारित चर्चा के लिए नहीं हैं; इस वार्तालाप को बातचीत में स्थानांतरित कर दिया गया है ।
राफेल

# 5 का सवाल है, मुझे लगता है कि चिंता का विषय यह है: प्लस जी ¬ जी यह सूचित करते हैं लगता है कि ¬ जी लेकिन वास्तव में ¬ जी के साथ-साथ सच है। और यह निश्चित रूप से अजीब है। यह वास्तव में कुछ है जो मुझे समझ में नहीं आता है और जब मैं इस प्रश्न पर आया था तब मैं इसका उत्तर ढूंढ रहा था। क्या आप इसका जवाब दे सकते हैं? GG¬G¬G¬G
स्क्विर्टले

मेरा मानना है कि समाधान यह है: तर्क की लाइन है कि प्लस जी ¬ जी मतलब ¬ जी ढंग Tollendo Ponens द्वारा; हालाँकि, हमारे पास which G है जो ¬ G के समान नहीं है । ढंग Tollendo Ponens का एक अच्छा उदाहरण होगा ¬ जी और जी ¬ जी इसलिए ¬ जी (जो अनावश्यक है)। या ¬ ¬ जी और जी ¬GG¬G¬GG¬G¬GG¬G¬G¬¬G इसलिएजी । बेशक, इन पहला बयान (¬ जी और¬ ¬ जी याजी ) ठीक गोडेल की अपूर्णता प्रमेय द्वारा की संभावना से इनकार कर रहे हैं। G¬GG¬G¬¬GG
स्क्विर्टल

8

मुझे लगता है कि आपका प्रश्न "किसी प्रकार के औपचारिक तर्क के साथ औपचारिक सत्यापन करते समय उबलता है, मुझे क्या गारंटी है कि तर्क संगत है?"। और जवाब है: कोई नहीं। यह कुछ ऐसा है जिसे आपको ग्रहण करना है। औपचारिक सत्यापन सभी मान्यताओं को समाप्त नहीं करता है; यह सिर्फ आपको जो आप ग्रहण कर रहे हैं उसके बारे में स्पष्ट होने में मदद करता है, और शायद यह सुनिश्चित करने में आपकी मदद करता है कि आप मान्यताओं से शुरू करते हैं जो उचित लगता है।

यदि आप एक मानक तर्क के भीतर काम करते हैं, तो आमतौर पर ज्यादातर लोग यह मानकर खुश होते हैं कि तर्क संगत है, भले ही उनके पास उस तथ्य का प्रमाण न हो। यह सच है कि हम किसी दिन यह जान सकते हैं कि तर्क वास्तव में असंगत है ... लेकिन ज्यादातर लोगों का मानना ​​है कि यह बहुत संभावना नहीं है।

कुछ मामलों में कोई यह साबित कर सकता है कि एक तर्क संगत है, लेकिन इसके लिए एक और अधिक शक्तिशाली तर्क का उपयोग करने की आवश्यकता है, जहां हमें यह मानना ​​होगा कि दूसरा तर्क संगत है, इसलिए हमें अभी भी कुछ धारणाएं बनाने के लिए छोड़ दिया गया है (मान लें कि कुछ तर्क संगत हैं )। इसे इस बात के प्रमाण के रूप में लिया जा सकता है कि पहला तर्क संभवतः सुसंगत है, यदि आप मानते हैं कि दूसरा तर्क संभवतः सुसंगत है, लेकिन तर्क को कहीं नीचे करना है - कुछ चीजें हैं जिन्हें हमें बस मानना ​​है, और साबित नहीं कर सकते हैं।

देखें, उदाहरण के लिए, हिल्बर्ट की दूसरी समस्या और ZFC की संगति की यह चर्चा (और यह और यह और यह और शायद बहुत अधिक)।


यह कहना थोड़ा भ्रामक है कि "आपके पास निरंतरता की कोई गारंटी नहीं है" क्योंकि इससे ऐसा लगता है जैसे हवा में सभी तर्क उठ रहे हैं। बेशक औपचारिक प्रणालियों की स्थिरता के सबूत हैं, लेकिन वे बोलने के लिए "विश्वास को कम नहीं" करते हैं, क्योंकि इस तरह के सबूतों को मजबूत प्रणालियों की स्थिरता में और भी अधिक विश्वास की आवश्यकता होती है। फिर भी, स्थिरता के प्रमाण के लिए यह काफी उपयोगी है।
बाउर

1
@AndrejBauer यह विश्वास का सवाल नहीं है, लेकिन क्या आप स्वयंसिद्ध सहमत हैं। औपचारिक प्रणालियाँ स्वयंसिद्धों को स्पष्ट करती हैं।
राफेल

1
मुझे आपकी बात समझ में नहीं आई @ राफेल। क्या आप कह रहे हैं कि स्वयंसिद्धों के बारे में एक राय किसी तरह से स्वयंसिद्ध धारणाओं से बेहतर है? ये ऐसे शब्द हैं जो स्थिरता की ताकत के बारे में प्रसिद्ध तथ्य को व्यक्त करते हैं। और जैसे ही शब्द चलते हैं, ये विशेष रूप से प्रकाशित या उपयोगी नहीं होते हैं। मैं इशारा कर रहा था कि कंबल के बारे में सबूत की कमी के बारे में कंबल बयान करने के लिए यह बहुत शैक्षणिक नहीं है।
बाउर

@AndrejBauer मुझे लगा कि न तो "[संगति] ऐसी कोई चीज है जिसे आपको ग्रहण करना है" और न ही "निरंतरता में विश्वास" ने छाप छोड़ी। आप (कभी-कभी) एकरूपता साबित कर सकते हैं, लेकिन अंतत: सभी सबूत स्वयंसिद्ध शब्दों के आधार पर "हवा में उठ" रहे हैं। (इसके अलावा, मैं "एक्सिओम" का नामकरण करना चाहता था जो मुझे लगा कि यहां गायब है।)
राफेल

@AndrejBauer, ठीक है, काफी उचित है। मैंने उस बारे में अधिक स्पष्ट होने के लिए अपने उत्तर को संपादित किया है। उम्मीद है कि अब यह बेहतर लगेगा। दुर्भाग्य से, यह मान्यताओं की आवश्यकता को समाप्त नहीं करता है। यह सिर्फ बदलाव करता है कि हम कौन सा तर्क मान रहे हैं। अंततः, यह कुछ तर्क पर बात करता है जो आपको माननी होगी।
DW

8

कई दिलचस्प दार्शनिक बिंदु हैं जो आपकी पोस्ट को छूते हैं।

बूलियन तर्क की संगति

शास्त्रीय तर्क में प्रूफ थ्योरी की निरंतरता का मुद्दा उतना गंभीर नहीं है जितना कि आप इसे समझ लेते हैं। यह मूल रूप से निम्नलिखित को कम करता है:

हम बूलियन तर्क को सत्य मूल्यों पर तार्किक संचालन कार्यों के संग्रह के रूप में परिभाषित कर सकते हैं 1और 0। लेकिन हम यह कैसे जानते हैं 0≠1?

(ध्यान दें कि मैं बस का उपयोग कर रहा 0है और 1दो सच्चाई मूल्यों के लिए अमूर्त प्रतीक के रूप में, विशेष रूप से, मैं यहाँ पूर्णांक में से किसी धारणा यह सोचते हैं नहीं कर रहा हूँ)

हम निश्चित रूप से, यह नहीं जानते कि 0और 1अलग हैं। लेकिन बूलियन तर्क इतनी हास्यास्पद रूप से सरल है कि इस संभावना को अस्वीकार करना संदेह का चरम स्तर है।

लेकिन शास्त्रीय प्रस्तावना तर्क इसको कम करता है। याद रखें कि हम किसी भी फैशन में परमाणु प्रस्तावों को बूलियन मान निर्दिष्ट कर सकते हैं, और यह उन सभी प्रस्तावों के लिए एक मूल्य प्रदान करता है जो परमाणु से निर्मित हो सकते हैं।

बयान " Pआप से घटा सकते हैं Q" का शाब्दिक अर्थ केवल एक आदेश देने वाला संबंध है; इसका मतलब वही है जो यह दावा करता है कि " परमाणु प्रस्तावों में सत्य मूल्यों को निर्दिष्ट करने वाले v(P) ≤ v(Q)प्रत्येक कार्य के लिए vहै"।

प्रपोजल लॉजिक के लिए आक्षेप के नियम ठीक ऑर्डर देने के साथ काम करने के गुण हैं । विरोधाभास का प्रमाण, विशेष रूप से, अवलोकन है कि यदि P ≤ 0, तब P = 0

और अपने मुद्दे पर वापस जा रहे हैं ... अगर हम दोनों जानते थे P ≤ 0और ¬P ≤ 0, सच मानों में प्लग करने के बाद हम अंततः यही निष्कर्ष निकालेंगे 0=1; यह सच और गलत का मतलब एक ही है।

इसलिए, यदि आपको विश्वास है कि "सत्य" और "असत्य" का अर्थ अलग-अलग चीजें हैं, तो आपको बुलियन लॉजिक की निरंतरता में समान विश्वास होना चाहिए।

अंतर्ज्ञान तर्क में विरोधाभास का प्रमाण

इस बात का ध्यान रखना चाहिए कि विरोधाभास द्वारा प्रमाण बेहतर रूप में तैयार किया गया है:

  • यदि आप विरोधाभास को प्राप्त कर सकते हैं P, तो निष्कर्ष निकालें¬P

वास्तव में, कोई भी इस संपत्ति के साथ संयोजी होने के लिए नकारात्मक रूप से परिभाषित कर सकता है। उदाहरण के लिए, बीजगणित में आप आमतौर पर .P का अर्थ पी → 0 से परिभाषित देखेंगे।

ध्यान दें, विशेष रूप से, विशेष मामला

  • यदि आप विरोधाभास को प्राप्त कर सकते हैं ¬P, तो निष्कर्ष निकालें¬¬P

जिसे आपने "विरोधाभास द्वारा प्रमाण" के रूप में वर्णित किया है, के ¬¬Pसाथ पहचान करने से आता है P। अंतर्ज्ञानवादी तर्क यह नहीं मानते हैं कि ये समतुल्य हैं।

एक औपचारिक अनुबंध के रूप में संगति

एन्कोडिंग तर्क के लिए अधिक कम्प्यूटेशनल औपचारिकताएं हैं; बस टाइप किए गए लैम्ब्डा कैलकुलस, आश्रित प्रकार और विशेष रूप से "प्रस्ताव के प्रकार" प्रतिमान देखें।

विस्तार से जाने के बिना, विरोधाभास मूल रूप से औपचारिक अनुबंध के रूप में माना जाता है। एक प्रकार है, जिसे मैं कॉल करूंगा 0, और अनुबंध है "इन कार्यों का उपयोग तत्व के प्रकार का निर्माण करने के लिए नहीं किया जा सकता है 0"।

यदि ऐसी प्रणाली इतनी बोल्ड है कि आप एक फ़ंक्शन का निर्माण करने की अनुमति दे सकते हैं T → 0, तो यदि यह वास्तव में अनुबंध पर पकड़ है, तो इसका मतलब है कि किसी भी प्रकार की वस्तुओं का निर्माण करना असंभव है T। यह एक कम्प्यूटेशनल दृष्टिकोण है जो विरोधाभास द्वारा एक सबूत का मतलब है।

अंतत: यह बहुत भिन्न नहीं है, उदाहरण के लिए, एक सी फ़ंक्शन जो एक पॉइंटर देता है जो एक अशक्त पॉइंटर को वापस नहीं करता है, या एक सी ++ फ़ंक्शन अपवाद को नहीं फेंकने का वादा करता है।

और पूरी तरह से जा रहा है, शास्त्रीय तर्क पर वापस, कि वास्तव में हम क्या कर रहे हैं।

हमें औपचारिक अनुबंध की पेशकश की जाती है, जैसे "पीनो के स्वयंसिद्ध शब्दों से, अनुमान के नियम आपको विरोधाभास प्राप्त करने की अनुमति नहीं देंगे"। यदि यह अनुबंध वास्तव में बरकरार है, तो यदि आप ¬Pएक विरोधाभास बताते हैं , तो Pयह भी दिखा सकते हैं कि विरोधाभास नहीं है।

और अगर अनुबंध का उल्लंघन करना संभव था, तो हम बस कहेंगे "पीनो के स्वयंसिद्ध असंगत हैं"।


P0P=0P=1P0

0पी¬पी0

1
P=0P=1=(P0P1)=(¬PP)=0P=0P0", तो इसका कोई प्रस्ताव नहीं है (यह मेटलोगिक है), यह वास्तव में कहने का कोई मतलब नहीं है कि प्रस्ताव का तर्क का उपयोग करने से इंसाफ के नियमों का उपयोग करने वाला तर्क इसे प्राप्त कर सकता है, क्योंकि आप इसे प्रस्ताव की भाषा में भी नहीं कह सकते ।

¬AAA¬AP¬P

1
01P¬P

1

जब एक औपचारिक बयान की सच्चाई की गारंटी देने के लिए उपयोग किया जाता है, तो सभी सबूत स्पष्ट रूप से उस प्रणाली की स्थिरता मान लेते हैं जो वे आधारित हैं। यह इसलिए है क्योंकि यदि सिस्टम असंगत है, तो सिस्टम की संपूर्णता टूट गई है, और हमने जो भी काम किया है। उस प्रणाली में मूल रूप से कचरा है।

क्योंकि हम यह साबित नहीं कर सकते कि कोई भी प्रणाली (या कम से कम कोई जटिल प्रणाली) उस प्रणाली के दायरे के अनुरूप है, हमें इसे औपचारिक रूप से सिद्ध सत्य के बजाय एक अनुभवजन्य सत्य के रूप में लेना होगा। मूल रूप से, यदि गणितज्ञ एक औपचारिक प्रणाली के साथ काम करने में लंबा समय लगाते हैं और कभी कोई विरोधाभास नहीं खोजा जाता है, तो यह प्रणाली की स्थिरता के पक्ष में अनुभवजन्य साक्ष्य है। इसके अलावा, हम जिस सिस्टम के साथ काम कर रहे हैं, उसकी स्थिरता साबित करने के लिए हम एक अधिक शक्तिशाली प्रणाली का उपयोग कर सकते हैं (हालाँकि इस अधिक शक्तिशाली प्रणाली की संगति अभी भी आनुभविक होगी - हिरन कहीं रुक जाता है)।

इसके मूल में, गणित की स्थिति विज्ञान के समान है। हम उन सिद्धांतों के आधार पर गणित का निर्माण करते हैं जो उन सभी सूचनाओं के आधार पर सही लगते हैं जो हमारे पास उपलब्ध हैं, और विज्ञान की तरह, आप यह साबित नहीं कर सकते कि एक सिद्धांत सही है; आप इसे केवल गलत साबित कर सकते हैं।

S

कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम स्वयंसिद्ध प्रणाली के आधार पर किस आधार पर गणित चुनते हैं, हमेशा एक खतरा होता है कि हम उस प्रणाली में विरोधाभास खोज लेंगे। यही कारण है कि गणितज्ञों ने गणित में नए स्वयंसिद्धों को पेश नहीं किया है: प्रत्येक नए स्वयंसिद्ध के पास पहले से ही उपयोग में आने वाले स्वयंसिद्धों के साथ असंगत होने का एक मौका है, और नए स्वयंसिद्ध का उपयोग करने वाले सभी कार्यों को पूरी तरह से पुनर्मूल्यांकन करना होगा।

परिशिष्ट: जब मैं किसी दिए गए सिस्टम के लिए एक कथन के सही होने की बात करता हूं तो मेरा मतलब है कि यह उस प्रणाली के भीतर असम्बद्ध नहीं हो सकता है यदि वह प्रणाली सुसंगत है।


2
यह गलत है कि "सभी प्रमाण एकरूपता मान लेते हैं"। एक सही प्रमाण स्थिरता के बावजूद वैध है।
बाउर

यदि मैं कुछ साबित करने के लिए ZFC के स्वयंसिद्ध शब्दों का उपयोग करता हूं, तो मेरा प्रमाण ZFC के अनुरूप है। यदि ZFC असंगत है, तो मेरा प्रमाण अब मेरे द्वारा सिद्ध की गई सच्चाई की गारंटी नहीं देता है
जे। एंटोनियो पेरेज़

1
वह सिर्फ झूठ है। यदि ZFC असंगत है तो सभी कथन सिद्ध होते हैं, और आपका प्रमाण अभी भी एक प्रमाण है। केवल एक चीज जो असंगतता के साथ बदलती है वह यह है कि ZFC एक बेकार सिद्धांत बन जाता है जिसका कोई मॉडल नहीं है (और इसलिए यह मामला है कि आपका प्रमाण अभी भी दिखाता है कि आपका कथन सभी मॉडलों में सत्य है)।
बाउर

मैंने अपने जवाब में संशोधन किया
जे एंटोनियो पेरेज़

2
दुर्भाग्य से आप सिर्फ स्वीकृत शब्दों की परिभाषा नहीं बना सकते। "सही" का अर्थ है "एक मॉडल में मान्य"। एक अलग शब्द खोजें, या उससे भी बेहतर, बस यह मान लें कि आपसे गलती हुई है। मैं थोड़ा नुकीला होने के लिए माफी भी मांगता हूं लेकिन मैं तर्क में चीजों को सीधा रखने की परवाह करता हूं।
एंड्रेज बॉयर
हमारी साइट का प्रयोग करके, आप स्वीकार करते हैं कि आपने हमारी Cookie Policy और निजता नीति को पढ़ और समझा लिया है।
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.