मैं हाल ही में विरोधाभास द्वारा सबूत की वैधता के बारे में सोच रहा था। मैंने पिछले कुछ दिनों से अंतर्ज्ञानवादी तर्क और गोडेल के प्रमेयों के बारे में पढ़ा है, यह देखने के लिए कि क्या वे मुझे मेरे प्रश्नों के उत्तर प्रदान करेंगे। अभी मेरे पास अभी भी प्रश्न हैं (शायद नई सामग्री जो मैं पढ़ता हूं) से संबंधित है और कुछ उत्तर पाने की उम्मीद कर रहा था
( चेतावनी : आप तर्क में बहुत उलझी हुई नींव के साथ सामग्री को पढ़ने के लिए आगे बढ़ने वाले हैं, नमक के एक दाने के साथ सब कुछ ले लो, यह एक सवाल है और इसका जवाब नहीं है, इसमें कई गलतफहमियां हैं)।
मुझे लगता है कि मेरा मुख्य प्रश्न है, एक बार जब हमने दिखाया कि ए कुछ विरोधाभास की ओर नहीं जाता है, तो ए को गलत नहीं होना चाहिए, तो हम जाते हैं और निष्कर्ष निकालते हैं कि ए को सच होना चाहिए। उस हिस्से का अर्थ समझ में आता है (विशेषकर यदि मैं बीच के बहिष्कृत कानून को कुछ समझ लेता हूं जो समझ में आता है) लेकिन जो बात मुझे परेशान करती है वह यह है कि विरोधाभास कैसे होता है। पहले हम A के साथ शुरू करते हैं और फिर हम केवल स्वयंसिद्ध और नियमों के नियमों को लागू करते हैं (यंत्रवत् कहते हैं) और देखें कि हमें कहां ले जाता है। यह आमतौर पर एक विरोधाभास तक पहुँच जाता है (कहते हैं कि A सत्य है या और सत्य है)। हम निष्कर्ष निकालते हैं कि A असत्य नहीं होना चाहिए, इसलिए A सत्य है। कोई बात नहीं। लेकिन मेरा सवाल यह है कि औपचारिक प्रणालियों की क्या गारंटी हैअगर मैंने एक ही प्रक्रिया लागू की, लेकिन ए के साथ शुरू किया कि मुझे वहां विरोधाभास भी नहीं मिलेगा ? मुझे लगता है कि विरोधाभासों के प्रमाण में कुछ छिपी हुई धारणा चल रही है कि अगर इसी तरह ए में एक ही प्रक्रिया एक विरोधाभास तक नहीं पहुंचती है , तो हम किस तरह की गारंटी देते हैं जो नहीं होगा? क्या कोई ऐसा प्रमाण है जो असंभव है? दूसरे शब्दों में, अगर मेरे पास एक टर्निंग मशीन (टीएम) (या सुपर टीएम) थी जो हमेशा के लिए चली गई, जो कि कथित रूप से सही कथन ए से शुरू होने वाले प्रत्येक स्वयंसिद्ध से सभी तार्किक चरणों की कोशिश की , तो क्या गारंटी देता है कि यह एक विरोधाभास खोजने के कारण नहीं है ?
फिर मैंने गोडेल की अपूर्णता प्रमेय के साथ अपने पिछले प्रश्न के साथ कुछ संबंध बनाए जो कुछ इस तरह से हैं:
एक औपचारिक प्रणाली F जो con व्यक्त अंकगणित अपनी स्वयं की स्थिरता (F के भीतर) साबित नहीं कर सकती है।
यह मूल रूप से मेरे लिए यह स्पष्ट कर देता है कि यदि सही है तो स्थिरता अर्थात गारंटी है कि ए और ए नहीं होगा असंभव नहीं है। इसलिए, ऐसा लगता है कि विरोधाभास द्वारा यह सबूत सिर्फ स्पष्ट रूप से मानता है कि निरंतरता की गारंटी किसी भी तरह है (अन्यथा यह सिर्फ आगे जाएगा और यह निष्कर्ष निकालता है कि ए सही साबित नहीं होने से यह संभव नहीं है अगर यह पहले से ही पता नहीं था कि स्थिरता और विरोधाभास जहां ठीक है, बयान ए के किसी भी जोड़े के लिए और ए) नहीं? क्या यह गलत है या मुझे कुछ याद आया?
फिर मैंने सोचा, ठीक है, केवल हमारे स्वयंसिद्धों में शामिल है जो बहिष्कृत बीच का नियम है और फिर सभी समस्याएं हल हो जाती हैं। लेकिन तब मुझे एहसास हुआ, रुको अगर हम ऐसा करते हैं कि हम समस्या से निपटने के बजाय समस्या को दूर कर रहे हैं। अगर मैं अपने सिस्टम को परिभाषा के अनुरूप होने के लिए मजबूर करता हूं, तो इसका मतलब यह नहीं है कि यह वास्तव में संगत है ... सही है? मैं सिर्फ इन विचारों को समझने की कोशिश कर रहा हूं और मुझे पूरा यकीन नहीं है कि क्या करना है, लेकिन यह वही है जो सामान को पढ़ने और इन अवधारणाओं के लगभग हर पहलू में वीडियो देखने के बाद मुझे एहसास हो रहा है, विरोधाभास, विशेष मध्य, अंतर्ज्ञानवादी तर्क, Godel की पूर्णता और अपूर्णता प्रमेय…
इससे संबंधित, ऐसा लगता है कि इसका अनिवार्य रूप से वास्तव में सीधे असंभव साबित होता है कि बहिष्कृत मध्य (या विरोधाभास) के नियम के बिना कुछ गलत है। ऐसा लगता है कि प्रूफ सिस्टम सही कथन साबित करने में अच्छे हैं लेकिन मेरी समझ में सीधे तौर पर यह दिखाने में असमर्थ हैं कि चीजें झूठी हैं। शायद जिस तरह से वे ऐसा करते हैं वह परोक्ष रूप से विरोधाभास के साथ होता है (जहां वे दिखाते हैं कि कुछ गलत होना चाहिए या बुरी चीजें होती हैं), या बीच में छोड़ दिया (जहां केवल एक ए का सत्य मूल्य जानना या नहीं ए हमें दूसरे का सत्य देता है) या काउंटर उदाहरण प्रदान करना (जो मूल रूप से दर्शाता है कि विपरीत सच है इसलिए अप्रत्यक्ष रूप से बहिष्कृत मध्य के कानून का उपयोग करता है)। मुझे लगता है कि मैं वास्तव में एक रचनात्मक सबूत चाहता हूं कि कुछ गलत है?
मुझे लगता है कि अगर मुझे पता चल सकता है कि अगर मैं साबित नहीं करता कि A गलत है (कहो तो मैं विरोधाभास स्वीकार करता हूं) तो यह कि यह वास्तव में ठीक है और मुझे A पर असीम रूप से सभी इंजेक्शन नियमों और स्वयंसिद्धों को लागू करने की आवश्यकता नहीं है और मुझे गारंटी है कि A जीता है एक विरोधाभास तक नहीं पहुँच सकते। अगर यह सच था तो मुझे लगता है कि मैं विरोधाभास द्वारा सबूत को अधिक आसानी से स्वीकार कर सकता हूं। क्या यह सच है या गोडेल की दूसरी अपूर्णता की गारंटी है जो मेरे पास नहीं है? अगर मेरे पास यह नहीं हो सकता है, तो मुझे कौन सी पहेलियां हैं जो गणित के गणितज्ञों के इतने वर्षों के बाद भी संभव है कि हमें कोई असंगति नहीं मिली? क्या मुझे निरंतरता के अनुभवजन्य साक्ष्य पर भरोसा करने की आवश्यकता है? या उदाहरण के लिए, मैं सुपर एफ दिखा रहा है के द्वारा संगत है एफ एफ लगातार साबित होता है, लेकिन जब से मुझे वास्तव में सुपरएफ और सिर्फ एफ की आवश्यकता नहीं होगी, तो मैं संतुष्ट नहीं हो सकता है जो वास्तव में काम करता है?
मैंने अभी देखा कि मेरी शिकायत प्रत्यक्ष प्रमाण को भी सामान्य करती है। ठीक है, अगर मैंने A का प्रत्यक्ष प्रमाण किया तो मुझे पता है कि A सत्य है ... लेकिन मुझे कैसे पता चलेगा कि यदि मैंने A का प्रत्यक्ष प्रमाण नहीं किया तो मुझे सही प्रमाण नहीं मिलेगा? एक ही सवाल लगता है बस थोड़ा अलग जोर ...।