ध्वनि का अर्थ निरंतरता क्यों है?

Question

मैं प्रश्न पढ़ रहा था संगति और पूर्णता स्पष्टता लग रहा है? और इसमें पहला कथन कहता है:

मैं समझता हूं कि ध्वनि से तात्पर्य है संगति।

जिसके बारे में मैं काफी हैरान था क्योंकि मुझे लगता था कि ध्वनि स्थिरता की तुलना में एक कमजोर बयान था (यानी मुझे लगता है कि सुसंगत प्रणालियों को ध्वनि होना था लेकिन मुझे लगता है कि यह सच नहीं है)। मैं अनौपचारिक परिभाषा का उपयोग कर रहा था स्कॉट आरोनसन अपने 6.045 / 18.400 पाठ्यक्रम में एमआईटी में स्थिरता और ध्वनि के लिए उपयोग कर रहा था :

1. साउंडनेस = एक प्रूफ सिस्टम ध्वनि है अगर यह साबित करता है कि सभी कथन वास्तव में सच हैं (सब कुछ साबित होने वाला सत्य है)। यानी अगर ( $\phi$ साध्य है)$\implies$( $\phi$ यह सच है)। तो IF (सूत्र का एक रास्ता है) तो (वह सूत्र सत्य है)
2. संगति = एक सुसंगत प्रणाली कभी भी A और NOT (A) साबित नहीं होती है। तो केवल एक A या इसका नकार सही हो सकता है।

उन (शायद अनौपचारिक) परिभाषाओं को ध्यान में रखते हुए मैंने निम्न उदाहरण का निर्माण यह प्रदर्शित करने के लिए किया कि एक ऐसी प्रणाली है जो ध्वनि है लेकिन संगत नहीं है:

$$CharlieSystem \triangleq \{ Axioms=\{A, \neg A \}, InferenceRules=\{NOT(\cdot) \} \}$$

इसका कारण यह है कि मैंने सोचा था कि यह एक ध्वनि प्रणाली थी क्योंकि धारणा के अनुसार स्वयंसिद्ध सत्य हैं। तो ए और नॉट ए दोनों सच हैं (हाँ मुझे पता है कि बहिष्कृत मध्य का कानून शामिल नहीं है)। चूँकि एकमात्र अनुमान नियम नकार है इसलिए हमें लगता है कि हम स्वयंसिद्धों से A और A दोनों तक पहुँच सकते हैं और एक दूसरे तक नहीं पहुँच सकते। इस प्रकार, हम केवल इस प्रणाली के संबंध में सच्चे कथन तक पहुँचते हैं। हालाँकि, निश्चित रूप से सिस्टम सुसंगत नहीं है क्योंकि हम सिस्टम में एकमात्र स्टेटमेंट की उपेक्षा को साबित कर सकते हैं। इसलिए, मैंने प्रदर्शित किया है कि एक साउंड सिस्टम सुसंगत नहीं हो सकता है। यह उदाहरण गलत क्यों है? मैंने गलत क्या किया?

मेरे सिर में यह सहज रूप से समझ में आता है क्योंकि ध्वनि केवल यह कहती है कि एक बार जब हम शुरू करते हैं और स्वयंसिद्ध और बचाव नियमों को क्रैंक करते हैं तो हम केवल गंतव्यों (यानी कथनों) तक पहुंचते हैं जो कि सत्य हैं। हालांकि, यह वास्तव में नहीं कहता है कि हम किस गंतव्य तक पहुंचते हैं। हालाँकि, संगति कहती है कि हम केवल गंतव्य तक पहुँच सकते हैं जो या तो या (दोनों नहीं) दोनों तक पहुँच सकते हैं । इसलिए प्रत्येक सुसंगत प्रणाली में एक स्वयंसिद्ध के रूप में बहिष्कृत मध्य का कानून शामिल होना चाहिए, जो कि निश्चित रूप से मैंने नहीं किया था और फिर केवल अन्य स्वयंसिद्ध के रूप में एकमात्र स्वयंसिद्ध के निषेध को शामिल किया था। तो ऐसा नहीं लगता कि मैंने कुछ भी किया है, लेकिन किसी तरह कुछ गलत है?¬ $A$$\neg A$

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मुझे बस एहसास है कि यह एक समस्या हो सकती है क्योंकि मैं स्कॉट की अनौपचारिक परिभाषा का उपयोग कर रहा हूं। प्रश्न लिखने से पहले ही मैंने विकिपीडिया की जाँच कर ली थी, लेकिन उनकी परिभाषा मेरे लिए मायने नहीं रखती थी। विशेष रूप से वे कहते हैं कि हिस्सा:

प्रणाली के शब्दार्थ के संबंध में

उनका पूरा उद्धरण है:

सिस्टम में साबित किया जा सकता है कि हर सूत्र तार्किक रूप से प्रणाली के शब्दार्थ के संबंध में मान्य है।

Comments

हमारे द्वारा रुचि रखने वाले सभी सिस्टम और से विरोधाभास प्राप्त कर सकते हैं । ¬ $A$$\lnot A$

— युवल फिल्मस

@YuvalFilmus मुझे नहीं लगता कि मैं समझता हूं कि आपकी टिप्पणी का क्या मतलब है ... इसका मतलब यह है कि मेरे स्वयंसिद्ध शब्दों से आप हमेशा एक विरोधाभास प्राप्त कर सकते हैं? यह मेरी बात नहीं की तरह था? क्षमा करें, मुझे नहीं मिला। मुझे लगता है कि मेरा प्रश्न सिर्फ शब्द "ध्वनि" और "स्थिरता" के शब्दार्थ के बारे में है क्योंकि मेरा उदाहरण सिर्फ "तर्क प्रणाली" को वर्गीकृत करने से संबंधित है।

— चार्ली पार्कर

इसका मतलब है कि आपका सिस्टम इतना दिलचस्प नहीं है। अनुसंधान में आने वाले सभी सिस्टम इस सेटिंग में विरोधाभास प्राप्त करने के लिए पर्याप्त मजबूत हैं।

— युवल फिल्मस

@YuvalFilmus मेरा सिस्टम असली गणित करने के लिए "दिलचस्प" नहीं है, निश्चित रूप से मुझे पता है कि। मेरे सवाल को स्पष्ट और सरल बनाने के लिए मेरी प्रणाली को स्पष्ट रूप से परिभाषित किया गया था और ध्वनि और स्थिरता के संबंध में मेरे पास भ्रम की स्थिति है। लेकिन उस व्याख्यान में मैं जुड़ा हुआ था, स्कॉट ने बाद में कहा कि साउंडनेस चूंकि "वास्तविक" सत्य के बारे में बात कर रहा है, इसलिए इसे सुसंगत होना चाहिए क्योंकि सत्य को स्वयं के अनुरूप होना चाहिए (अर्थात सत्य गलत के बराबर नहीं हो सकता)। तो ऐसा लगता है कि साउंड सिस्टम को स्वचालित रूप से बहिष्कृत मध्य के स्वयंसिद्ध द्वारा विरासत में मिला है। क्या मेरी वर्तमान समझ है

— चार्ली पार्कर

क्या और दोनों सही हैं? यदि नहीं तो यह कैसी ध्वनि है? ¬ $A$$\neg A$

— user253751

Answer 1

मैं अस्पष्ट, हाथ से लहराती विवरणों से परे औपचारिक तर्क को देखने की सलाह देता हूं। यह कंप्यूटर विज्ञान के लिए दिलचस्प और अत्यधिक प्रासंगिक है। दुर्भाग्य से, विशेष रूप से औपचारिक तर्क के बारे में पाठ्यपुस्तकों की शब्दावली और संकीर्ण ध्यान, तर्क क्या है की एक विकृत तस्वीर पेश कर सकता है। मुद्दा यह है कि अधिकांश समय जब गणितज्ञ "तर्क" के बारे में बात करते हैं, तो वे (अक्सर स्पष्ट रूप से) का अर्थ शास्त्रीय प्रस्ताव तर्क या शास्त्रीय प्रथम-क्रम तर्क होता है। जबकि ये बेहद महत्वपूर्ण तार्किक प्रणाली हैं, वे तर्क की चौड़ाई के पास नहीं हैं। किसी भी दर पर, मैं जो कहने जा रहा हूं वह काफी हद तक उस संकीर्ण संदर्भ में होता है, लेकिन मैं यह स्पष्ट करना चाहता हूं कि यह एक विशेष संदर्भ में हो रहा है और इसके बाहर सच होने की जरूरत नहीं है।

पहला, अगर स्थिरता दोनों साबित नहीं के रूप में परिभाषित किया गया है और , क्या हुआ अगर हमारे तर्क भी निषेध नहीं है या होता है अगर¬ अ $A$$\neg A$$\neg$कुछ और मतलब है? स्पष्ट रूप से, संगति की यह धारणा तार्किक संदर्भ के बारे में कुछ धारणाएं बनाती है जिसके भीतर यह संचालित होता है। आमतौर पर, यह है कि हम शास्त्रीय प्रस्ताव तर्क में काम कर रहे हैं या इसके कुछ विस्तार जैसे कि शास्त्रीय प्रथम-क्रम तर्क। कई प्रस्तुतियाँ हैं, अर्थात स्वयंसिद्ध और नियमों की सूची, जिसे शास्त्रीय प्रस्ताव / प्रथम-क्रम तर्क कहा जा सकता है लेकिन, हमारे उद्देश्यों के लिए, जो वास्तव में मायने नहीं रखता है। वे कुछ उपयुक्त अर्थों में समान हैं। आमतौर पर, जब हम एक तार्किक प्रणाली के बारे में बात कर रहे हैं तो हमारा मतलब एक (शास्त्रीय) प्रथम-क्रम सिद्धांत है। यह शास्त्रीय प्रथम-क्रम तर्क के नियमों और (तार्किक) स्वयंसिद्धों से शुरू होता है, जिसमें आप दिए गए फ़ंक्शन प्रतीकों, विधेय प्रतीकों, और स्वयंसिद्धों (गैर-तार्किक स्वयंसिद्ध कहा जाता है) को जोड़ते हैं। ये प्रथम-क्रम सिद्धांत आमतौर पर हम हैं '

इसके बाद, ध्वनि का अर्थ आमतौर पर शब्दार्थ के संबंध में ध्वनि होता है। संगति एक वाक्यात्मक संपत्ति है जिसका औपचारिक प्रमाण हम कर सकते हैं। साउंडनेस एक शब्दार्थ संपत्ति है जिसे हमें सूत्रों, फ़ंक्शन प्रतीकों की व्याख्या करने और गणितीय वस्तुओं और बयानों में प्रतीकों की व्याख्या करने के साथ कैसे करना है। यहां तक ​​कि ध्वनि के बारे में बात करना शुरू करने के लिए, आपको एक शब्दार्थ देना होगा, अर्थात उपरोक्त बातों की व्याख्या। फिर, हम तार्किक संयोजकों और तार्किक स्वयंसिद्धों, और फ़ंक्शन प्रतीकों, प्रतीकों की भविष्यवाणी और गैर-तार्किक स्वयंसिद्धों के बीच एक अलगाव रखते हैं। संयोजी संयोजकता और तार्किक स्वयंसिद्ध तर्क-वितर्क को स्वयंसिद्ध दृष्टिकोण से तार्किक स्वयंसिद्ध बनाता है, क्योंकि वे विशेष रूप से शब्दार्थ द्वारा व्यवहार करते हैं, जबकि कार्य प्रतीक, विधेय प्रतीक और गैर-तार्किक स्वयंसिद्ध नहीं करते हैं।$[\![\varphi\land\psi]\!]=[\![\varphi]\!]\cap[\![\psi]\!]$ जहाँ मैं उपयोग करता हूँ सूत्र की व्याख्या के रूप में । विशेष रूप से, जहां डोमेन सेट है। यह विचार एक सूत्र है कि सूत्र को संतुष्ट करने वाले डोमेन तत्वों के (टुपल्स) के सेट के रूप में व्याख्या की गई है। एक बंद फार्मूला (अर्थात बिना किसी फ्री चर के) को एक शून्य संबंध के रूप में व्याख्या की जाती है, जिसे एकल सेट का एक उपसमूह कहना है, जो केवल एकल या खाली सेट हो सकता है। यदि बंद सेट के रूप में व्याख्या नहीं की जाती है तो एक बंद सूत्र "सही" है। तब ध्वनि का कथन है कि उपरोक्त अर्थों में प्रत्येक सिद्ध (बंद) सूत्र "सत्य" है।φ $[\![\varphi]\!]$$\varphi$$[\![\neg\varphi]\!]=D\setminus[\![\varphi]\!]$$D$

यहाँ से यह आसान है, यहां तक ​​कि मैंने जो स्केच दिया है, उससे यह साबित करने के लिए कि ध्वनि की संगति का अर्थ है (शास्त्रीय प्रथम-क्रम लॉगिक्स और शब्दार्थ मैंने स्केच किया है) के संदर्भ में। यदि आपका तर्क है! ध्वनि है, तो हर सिद्ध करने वाला सूत्र एक गैर-खाली सेट के रूप में व्याख्या करता है, लेकिन की व्याख्या हमेशा खाली सेट के रूप में की जाती है, चाहे कोई भी फॉर्मूला क्यों न हो , और ऐसा ही होता है! साबित नहीं किया जा सकता है, यानी आपका तर्क सुसंगत है।

$$[\![\varphi\land\neg\varphi]\!]=[\![\varphi]\!]\cap(D\setminus[\![\varphi]\!])=\varnothing$$ $[\![\varphi\land\neg\varphi]\!]$$\varphi$

Comments

मुझे तर्क पर एक किताब की सिफारिश करने के लिए स्वतंत्र महसूस करें, मैं वास्तव में नहीं जानता कि एक अच्छा संदर्भ क्या है, खासकर तर्क में शुरुआत के लिए। मजेदार बात यह है कि मैंने एल्गोरिदम और वास्तविक विश्लेषण लिया है, इसलिए मैंने वास्तव में तर्क के बारे में कभी भी सख्ती से नहीं सोचा है।

— चार्ली पार्कर

दिलचस्प है, मैंने हमेशा सोचा था कि "सत्य" का मतलब था कि हमने बूलियन मानों 0 और 1. के लिए एक बयान मैप किया था लेकिन ऐसा लगता है कि यह गलत था। मुझे लगता है कि हम खाली सेट मैप को 0 और गैर-रिक्त को 1. ठीक करने के द्वारा मेरे गलत मॉडल को ठीक कर सकते हैं। अन्यथा, मुझे यकीन नहीं है कि फ़ंक्शन के रूप में "सत्य की मेरी परिभाषा" में आपका प्रमाण फिर से कैसे लिखा जा सकता है 1 या 0 पर मैपिंग करें ”।

— चार्ली पार्कर

शास्त्रीय प्रस्तावक तर्क के लिए यह विशिष्ट शब्दार्थ है, जिसे शास्त्रीय प्रथम-क्रम तर्क के एक विशेष मामले के रूप में देखा जा सकता है जहां सभी विधेय शून्य हैं। बूलियन "सत्य" मान वास्तव में रिक्त सेट और इस दृश्य में सिंगलटन सेट के लिए मैप करते हैं। मेरे पहले पैराग्राफ के नॉट-सो-ब्लंट पॉइंट्स में से एक यह सुझाव देना था कि विभिन्न लॉजिक्स में शब्दार्थ की अलग-अलग धारणाएँ हैं। यहां तक ​​कि एक निश्चित तर्क के लिए, कई संभावित शब्दार्थ हैं जो इसके लिए दिए जा सकते हैं। वहाँ एक कारण है कि मैं "विशिष्ट शब्दार्थ" और न केवल "शब्दार्थ" कहता हूँ।

— डेरेक एल्किन्स ने

डेरेक, अगर आपके पास समय है तो आप शायद डोमेन का एक ठोस उदाहरण बनाते हैं और यह वास्तव में खाली सेट की ओर कैसे जाता है? (यदि आप चाहें तो मुझे एक नया प्रश्न बनाने में भी खुशी होगी) मुझे एक उदाहरण ध्यान में था लेकिन इसे पूरा करने का तरीका नहीं पता था। उदाहरण दिखा रहा था कि 2 तर्कसंगत है और 2 खाली सेट (या ) के लिए तर्कहीन नेतृत्व है । मेरे मन में था कि डी पूर्णांक का है। तब पर मैप किया गया था, लेकिन मैं ऐसा नहीं था जो मैप किया गया। क्या आप जानते हैं कि इस उदाहरण को समझदार तरीके से कैसे खत्म किया जाए? $\sqrt 2$( 2 , 1 ) $[\![ 2 \text{ is rational} ]\!]$$(2,1)$$[\![ 2 \text{ is irrational }]\!]$

— चार्ली पार्कर

यही वह जगह है जहाँ गणित के दर्शन हो सकते हैं। प्लैटोनिस्टों का मानना ​​है कि सेट थ्योरेटिक स्टेटमेंट्स की सच्चाई (कहना) तर्क की आवश्यकता के बिना सिर्फ जानने योग्य है। बेशक उनके लिए, सेट थ्योरी आधारित भाव हैं तार्किक सूत्रों के अर्थ। औपचारिकतावादी शब्दार्थवादी दृष्टिकोण का उपयोग करेंगे, न कि शब्दार्थ दृष्टिकोण के बजाय, "सत्य" = "सिद्ध"। Constructivists है "सच" का एक अलग धारणा और उनमें से अधिक गणना उन्मुख उप स्कूल "सच" गवाह हैं एक कार्यक्रम के माध्यम से।

— डेरेक एल्किंस ने एसई

Answer 2

लगन और निरंतरता डिडक्टिव सिस्टम के गुण हैं। साउंडनेस को केवल कुछ शब्दार्थों के संबंध में परिभाषित किया जा सकता है जो कि स्वतंत्र प्रणाली से स्वतंत्र रूप से दिए जाने के लिए माना जाता है।

शब्दार्थ के दायरे में दोनों गुण संबंधित हैं

परिभाषा 1 ( साउंडनेस [शब्दार्थ] - विकिपीडिया से उधार लिया गया ) एक डिडक्टिव सिस्टम का साउंडनेस वह गुण है जो किसी भी वाक्य को उस डिडक्टिव सिस्टम में समझने योग्य होता है, यह उस भाषा के लिए अर्थ सिद्धांत की सभी व्याख्याओं या संरचनाओं पर भी सही है आधारित है।

परिभाषा 2 ( संगति [शब्दार्थ] ) वाक्य का एक सेट भाषा में संगत है, अगर केवल और केवल भाषा संरचना मौजूद है, जो में सभी वाक्यों को संतुष्ट करता है । यदि कोई संरचना मौजूद है, तो इसमें कटौती योग्य प्रणाली संगत है जो इसमें मौजूद सभी सूत्रों को संतुष्ट करती है।L L$A$$\mathfrak{L}$$\mathfrak{L}$$A$

ऊपर दी गई दो परिभाषाओं के साथ यह स्पष्ट है कि ध्वनि का अर्थ संगति है। Ie यदि सभी सिद्ध वाक्यों का सेट भाषा की सभी संरचनाओं में स्थित है, तो कम से कम एक संरचना मौजूद है जो उन्हें संतुष्ट करती है।

Comments

वास्तव में मैंने विकिपीडिया से स्पष्ट रूप से परहेज किया क्योंकि मुझे समझ में नहीं आया कि "शब्दार्थ के संबंध में क्या मतलब है"। क्या आप इसका मतलब स्पष्ट करते हैं? इसके अलावा क्या आपको थोड़ा और स्पष्ट रूप से समझ में आता है कि इसकी स्पष्टता में स्थिरता क्यों है? बेशक यह मेरे लिए स्पष्ट नहीं है क्योंकि यह प्रश्न मौजूद है: पी

— चार्ली पार्कर

@CharlieParker मैंने अन्य पोस्ट के तहत आपकी टिप्पणियों को पढ़ा। मुझे यकीन नहीं है कि शुरुआती लोगों के लिए एक पाठ मौजूद है जो हॉजेस द्वारा "मॉडल थ्योरी" के परिचयात्मक अध्यायों की तुलना में प्रूफ सिस्टम और मॉडल सिद्धांत की मूल बातें बताते हैं। एक लेखक द्वारा एक अपवाद "ए शार्ट मॉडल थ्योरी"। मैं स्वीकार करता हूं, अपने पद में मैंने धोखा दिया और स्थिरता को संतोषजनकता के रूप में परिभाषित किया , क्योंकि निरंतरता के बारे में बोलने का बिंदु प्रमाण प्रणाली के भीतर संतोष की विशेषता है।

— दिमित्री चुबरोव

धन्यवाद! मैं उन लोगों की जाँच करूँगा! वास्तव में, मुझे "शुरुआती पुस्तक" की आवश्यकता नहीं है और अच्छी पुस्तक अच्छी है। अगर किताब केवल सबूतों के बजाय अंतर्ज्ञान और विचारों पर भी जोर देती है जो और भी बेहतर होगा!

— चार्ली पार्कर

Answer 3

आपका प्रूफ सिस्टम न तो ध्वनि है और न ही सुसंगत है, क्योंकि एक सच्चा प्रस्ताव नहीं है जब तक , उस स्थिति में एक वास्तविक प्रस्ताव नहीं है। यह तर्क बताता है कि प्रत्येक ध्वनि प्रूफ प्रणाली भी सुसंगत है।एक ≡ ⊤ ¬ एक ≡ $A$$A \equiv \top$$\lnot A \equiv \bot$

Comments

एक फ़ंक्शन होने में गलत है, जो चीजों को True या False के लिए मैप करता है। और दोनों के लिए मैपिंग हैं True (जैसा मैंने सिस्टम में परिभाषित किया है)। मुझे यकीन नहीं है कि असली गणित करने के लिए "दिलचस्प" न होने के अलावा तकनीकी रूप से क्या गलत है। लेकिन गणित करने के लिए एक वास्तविक प्रणाली को परिभाषित करना मेरे सवाल का लक्ष्य नहीं था। एक ¬ $Truth(\cdot)$$A$$\neg A$

— चार्ली पार्कर

सत्य की एक अर्थपूर्ण परिभाषा है: सभी सत्य कार्य के तहत सत्य का मूल्यांकन। आपको यह चुनने की ज़रूरत नहीं है कि आप इस शब्द को कैसे परिभाषित करते हैं।

— युवल फिल्मस

शायद इसलिए जहां मैं उलझन में हूं इसलिए मेरा सवाल है। यद्यपि तकनीकी रूप से स्कॉट का उल्लेख किया गया सत्य गणितीय रूप से परिभाषित नहीं किया जा सकता है ... लेकिन तर्क की खातिर उस तकनीकी को अनदेखा कर देता है ताकि मैं इस मुद्दे को समझ सकूं। क्या आप फिर से समझा सकते हैं कि सत्य का क्या अर्थ है? आपके धैर्य के लिए धन्यवाद। :)

— चार्ली पार्कर

प्रपोजल लॉजिक के संदर्भ में, एक सूत्र एक तानशास्त्र है यदि यह सभी सत्य असाइनमेंट के तहत सही है। एक प्रस्तावना प्रूफ सिस्टम ध्वनि है यदि सभी सूत्र यह साबित करते हैं कि यह तात्विक है।

— युवल फिल्मस

मुझे पता है कि आपकी मदद करने की कोशिश कर रहा हूं और मैं इसकी सराहना करता हूं, लेकिन किसी भी तरह से उर प्रूफ वास्तव में मुझे समझाने के लिए बहुत कम है कि मूल पोस्ट में मेरे उदाहरण के साथ क्या गलत हुआ। यदि आप स्पष्ट कर सकते हैं कि भयानक होगा। मुझे लगता है कि मेरा सवाल यह है कि, जो सत्य असाइनमेंट मेरे द्वारा सुझाई गई प्रणाली में समस्याएं लाते हैं?

— चार्ली पार्कर

Answer 4

अक्सर जब हम तार्किक प्रणालियों के साथ आते हैं, तो वे पहले से मौजूद घटना का वर्णन करने के प्रयास से प्रेरित होते हैं। उदाहरण के लिए, पीनो अंकगणितीय जोड़ और गुणा के संचालन के साथ-साथ प्राकृतिक संख्याओं को स्वयंसिद्ध करने का एक प्रयास है।

ध्वनि को केवल उस घटना के सापेक्ष परिभाषित किया जा सकता है जिसे आप वर्णन करने का प्रयास कर रहे हैं, और अनिवार्य रूप से इसका मतलब है कि आपके स्वयंसिद्ध और अनुमान नियम वास्तव में प्रश्न का वर्णन करते हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, पीनो अंकगणित ध्वनि है क्योंकि इसके स्वयंसिद्ध और अनुमान नियम वास्तव में प्राकृतिक संख्याओं के सच हैं।

यह, निश्चित रूप से, आपको लगता है कि आपके पास पीनो की परिभाषा से परे "प्राकृतिक संख्या" की अवधारणा है, और कुछ विशेष धारणाओं के किसी भी सेट से इन सच्चाइयों को निकाले बिना प्राकृतिक संख्या के लिए क्या सच है या गलत है, इस बारे में कुछ धारणा है। यह समझाने की कोशिश की जा रही है कि वे सत्य कहाँ से आते हैं या उन्हें कैसे सत्यापित किया जा सकता है। लेकिन अगर आप इसे एक दिए गए के रूप में लेते हैं कि प्राकृतिक संख्याएं हैं, और उनके बारे में सही तथ्यों का कुछ संग्रह है, तो आप स्वयंसिद्धिकरण परियोजना को केवल एक संक्षिप्त औपचारिक विनिर्देश के साथ आने का प्रयास कर सकते हैं जिसमें से कई महत्वपूर्ण हैं सत्य की व्युत्पत्ति की जा सकती है। तब एक स्वयंसिद्धता ध्वनि है यदि सब कुछ यह साबित कर सकता है कि वास्तव में सत्य के पूर्व-निर्दिष्ट संग्रह में है, अर्थात,

(विशेष रूप से ध्यान दें कि आपका औपचारिक विनिर्देश सब कुछ साबित करने वाला नहीं है जो प्राकृतिक संख्याओं के बारे में सच है, और इसके अलावा प्राकृतिक संख्याओं का विशिष्ट रूप से वर्णन नहीं किया जाएगा कि प्राकृतिक संरचनाओं से अलग अन्य संरचनाएं हैं, जिसमें पीनो के स्वयंसिद्ध हैं यह भी सच है।)

पहले क्रम के तर्क में, कम से कम, एक सिद्धांत सुसंगत है यदि यह कोई भी मॉडल है। ध्वनि का अर्थ है कि यह विशिष्ट मॉडल है जिसे आप चाहते थे: जिस विशेष संरचना का आप अपने सिद्धांत के साथ वर्णन करने का प्रयास कर रहे थे वह वास्तव में आपके सिद्धांत का एक मॉडल है। इस दृष्टिकोण से, यह स्पष्ट है कि ध्वनि में स्थिरता क्यों है।

सिद्धांत के एक उदाहरण के रूप में, जो सुसंगत है, लेकिन ध्वनि नहीं है: पीनो अंकगणितीय, पीए, अंकगणितीय निर्माणों के रूप में तार्किक सूत्रों को कूटबद्ध करने में सक्षम है, और विशेष रूप से आप वाक्य को "पीए संगत है" ("असत्य का कोई सबूत नहीं है) सांकेतिक शब्दों में बदलना कर सकते हैं। पीए का स्वयंसिद्ध ")। इस वाक्य को कॉन (PA) कहिए। आपको यह भी पता हो सकता है कि (चूंकि यह ध्वनि है, और इसलिए सुसंगत है) पीए कोन (पीए) को साबित नहीं कर सकता है, गोडेल के पहले अपूर्णता प्रमेय द्वारा। इसका मतलब यह भी है कि सिद्धांत PA +$\neg$कॉन (PA) एक विरोधाभास साबित नहीं कर सकता है, इसलिए यह सुसंगत होना चाहिए। लेकिन यह ध्वनि नहीं है: यह दावा करता है कि पीए के स्वयंसिद्धों से मिथ्यात्व का प्रमाण देने वाली एक प्राकृतिक संख्या मौजूद है, लेकिन संभवतः "वास्तविक" प्राकृतिक संख्याओं में ऐसी संख्या नहीं हो सकती है, अन्यथा हम निकालने में सक्षम होंगे इससे पीए की असंगति का एक वास्तविक प्रमाण।

पीए + कॉन (पीए) में मॉडल हैं, लेकिन वे मॉडल हैं जिनमें "अतिरिक्त" ऑब्जेक्ट, "गैर-मानक प्राकृतिक संख्या" शामिल होना चाहिए, जिसमें से एक यह दावा करता है कि प्रश्न में "प्रमाण" को एन्कोड करता है। सिद्धांत केवल इन गैर-मानक तत्वों को वास्तविक के वास्तविक बोना-फ़ाइड सदस्यों से अलग करने के लिए आवश्यक उपकरण से सुसज्जित नहीं है , या यह प्रदर्शित करने के लिए कि प्रमाण एक वैध प्रमाण नहीं है।$\neg$$\mathbb N$

आप इसे वैकल्पिक रूप से व्याख्या कर सकते हैं: पीए + कॉन (पीए) एक पूरी तरह से वैध तार्किक प्रणाली है - यह केवल प्राकृतिक संख्याओं का सही वर्णन नहीं करता है, और प्राकृतिक संख्याएं इसका एक मॉडल नहीं हैं।$\neg$

एक और बात: हम यह नहीं मानते हैं कि परिभाषा के अनुसार स्वयंसिद्ध सत्य हैं। सभी स्वयंसिद्ध परिभाषाओं के आधार पर प्रमाणों के मूल निर्माण खंड हैं। वे केवल दावे कर रहे हैं: विशेष गणितीय वस्तुओं पर लागू होने पर वे केवल सही या गलत हैं। आपके पास झूठे स्वयंसिद्ध हो सकते हैं, यह सिर्फ बहुत मूर्खतापूर्ण है, क्योंकि आपका सिस्टम फिर जरूरी होगा और तुरंत ध्वनि नहीं होगी।

Answer 5

एक संक्षिप्त (और सहज) उत्तर देने के लिए, मैं स्कॉट एरोन्सन ने अपने 6.045 / 18.400 एमआईटी व्याख्यान में क्या कहा है, उसे मैं विमुग्ध कर दूंगा। उसने कुछ ऐसा ही कहा था:

साउंडनेस का मतलब है कि सब कुछ सच साबित हो। चूँकि संगति का अर्थ है कि कोई विरोधाभास नहीं हैं और ध्वनि में पहले से ही सत्य की अवधारणा शामिल थी और सत्य को सुसंगत होना चाहिए (अर्थात सत्य! = मिथ्या), तो इसका अर्थ ध्वनि सिस्टम भी सुसंगत होना चाहिए। इसलिए साउंडनेस का अर्थ है स्थिरता (क्योंकि) वास्तव में सच्ची चीजों में विरोधाभास नहीं है।

अब जब मुझे लगता है कि मुझे एहसास है कि मेरी कुछ गलत धारणाएँ / विचार हैं:

1. मुझे एहसास नहीं था कि ध्वनि शब्दार्थ के बारे में था। इस प्रकार, मैं यह महसूस करने में विफल रहा कि केवल स्वयंसिद्ध नियमों से आक्षेप नियमों का उपयोग करना सही परिणाम देने के लिए पर्याप्त नहीं है (और यह इसकी गारंटी नहीं देता है, जो मुझे लगा कि विरोधाभासी चीजों तक पहुंचना असंभव है जब तक कि हम स्वयंसिद्धों से शुरू करते हैं और असफल वैध निष्कासन नियमों का इस्तेमाल किया)।
2. मैंने सोचा था कि जब तक स्वयंसिद्ध सत्य थे और जब तक आगे बढ़ते नियमों में सब कुछ समझ में आता है, तब तक यह सच होगा। जो कि मुझे अब एहसास हुआ कि यह सच नहीं हो सकता है क्योंकि हमारे पास केवल स्वयंसिद्धों की एक विशाल सूची है और यदि हर चीज का पालन किया जाता है, तो अनुमान इसकी कठिनता को नियंत्रित करता है। यानी सिर्फ एक स्वयंसिद्ध से शुरू करना और एक वैध इंजेक्शन नियम का उपयोग करना यह गारंटी देने के लिए पर्याप्त नहीं है कि अगला कदम सही होगा।
3. पिछले अनिवार्य रूप से इस तथ्य के साथ युग्मित किया गया है कि मुझे एहसास नहीं हुआ कि जटिलता के दो स्तर हैं, 1) शब्दार्थ 2) वाक्यविन्यास। क्रंचिंग प्रतीकों के क्रैंकिंग खेल से विरोधाभास हो सकता है।
4. मुझे नहीं पता था कि मुझे सच्चाई के उचित लक्षण वर्णन का पता नहीं था, जो डेरेक ने चरित्र चित्रण में बहुत अच्छा काम किया।

Comments

"मुझे लगा कि जब तक स्वयंसिद्ध सत्य थे और अनुमान नियमों ने सब कुछ समझ लिया था जो आगे बढ़ेगा वह सच होगा।" "समझदारी" की एक सटीक सटीक धारणा के लिए यह आईएस सही है। यदि आपका सिस्टम असत्य है, तो (कम से कम) आपका एक स्वयंसिद्ध गलत है, या अनुमान के नियम अमान्य हैं।

— बेन मिलवुड

@BenMillwood लेकिन गलत है, नहीं? गोडेल की दूसरी अपूर्णता प्रमेय के कारण। किसी भी औपचारिक प्रणाली एफ के लिए जो अंकगणित को शामिल करती है, कोई एफ के भीतर अपनी स्थिरता साबित नहीं कर सकता है। मैंने इसका मतलब यह निकाला कि मेरी ध्वनि की धारणा असंभव है (यानी हमारे पास एक औपचारिक प्रणाली नहीं हो सकती है कि इसमें जो भी साबित हो सकता है वह सब सत्य है क्योंकि स्पष्ट रूप से निरंतरता जो असंभव है ऐसा लगता है, जब तक कि मुझे 2 के अधूरे प्रमेय के बारे में कुछ गलत धारणा नहीं है)। ईमानदार होने के लिए मैं ठीक हूं अगर हमारे पास पूर्णता नहीं है, जो मुझे परेशान करता है वह यह है कि हममें स्थिरता भी नहीं हो सकती है।

— चार्ली पार्कर

एफ निश्चित रूप से सुसंगत हो सकता है, आप सिर्फ एफ में उस तथ्य का प्रमाण नहीं पा सकते हैं। आपको या तो कुछ अधिक शक्तिशाली प्रणाली, या अनौपचारिक तर्कों के लिए अपील करनी होगी, या बस कुछ प्रकार की अनिश्चितता स्वीकार करनी होगी, भले ही एफ आपके अनुरूप हो। वाटरटाइट तर्क का निर्माण करने में सक्षम नहीं होगा कि ऐसा है।

— बेन मिलवुड

@BenMillwood मुझे लगता है कि मैं अपने जवाब में क्या मान रहा हूँ। यह अनिश्चितता है कि सबूत वास्तव में काम करते हैं और एक अगला कदम कुछ झूठ का कारण बन सकता है। अगर मुझे पता था कि यह सच नहीं है, तो मुझे यकीन है कि किसी भी तरह से मुझे पता चल जाएगा कि मैं कभी भी एक विरोधाभास तक नहीं पहुंचूंगा, जो गोडेल की दूसरी अपूर्णता प्रमेय का उल्लंघन करता है। या जो मैं अभी तक समझ में आता है।

— चार्ली पार्कर

@BenMillwood मुझे लगता है कि मैंने इस विश्वास को त्याग दिया है कि निष्कर्ष नियम लागू करने से हमें अगले कथन मिलते हैं जो 100% के साथ सही कथन हैं। इसके बजाय मुझे लगता है कि मेरा यह मानना ​​है कि आगे बढ़ना सिर्फ शब्दार्थ की बजाय वाक्य-रचना का विषय है ... निश्चित रूप से गलत हो सकता है, यह विषय भ्रामक और सूक्ष्म लगता है।

— चार्ली पार्कर