यह कैसे साबित करें कि दो गुणा 2 गुणा 2 मेट्रिक्स का मैट्रिक्स गुणा 7 गुणा से कम में नहीं किया जा सकता है?

Question

स्ट्रैसेन के मैट्रिक्स गुणन में, हम एक अजीब (कम से कम मेरे लिए) तथ्य को कहते हैं कि दो 2 x 2 का मैट्रिक्स गुणन 7 गुणा लेता है।

प्रश्न: कैसे साबित करें कि 6 गुणा में दो 2 x 2 मैट्रिसेस को गुणा करना असंभव है?

कृपया ध्यान दें कि मैट्रिक्स पूर्णांक से अधिक हैं।

Comments

अन्य मैट्रिक्स गुणन एल्गोरिदम हैं जो तेज हो सकते हैं। स्टैनफोर्ड सीएमई 323 वर्ग के इस वेब लेख में स्ट्रैसन के एल्गोरिथ्म, मैट्रिक्स गुणन: स्ट्रैसेन के एल्गोरिथ्म के बारे में विवरण दिया गया है । एक विकिपीडिया विषय है, स्ट्रैसोन एल्गोरिथ्म जो विवरण में जाता है और अतिरिक्त जानकारी के लिए लिंक है।

— रिचर्ड चेम्बर्स

@ रिचर्डचैम्बर्स ने नोटिस किया है कि स्ट्रैसन के एल्गोरिथ्म में गुणन हैं। यह मेरे लिए प्रशंसनीय लगता है कि यह निचली सीमा सत्य है। $7$

— स्टेला बिडरमैन

जैसा कि यह प्रश्न गलत है। बहुत सारे मेट्रिसेस हैं जिन्हें गुणा से गुणा किया जा सकता है। आप एक सबूत के लिए पूछने का मतलब है कि, सबसे खराब स्थिति में, यह 7 उर्फ ​​लेता है वहाँ कुछ मैट्रिक्स मौजूद है जिसके लिए 7 की आवश्यकता होती है$6$

— स्टेला बिडरमैन

@StellaBiderman हाँ मैंने देखा कि स्ट्रैसन की 7 गुणाएँ हैं। मैंने कम जटिलता के साथ दूसरे, तेज और एल्गोरिदम को नहीं देखा। मैं जो बता सकता हूं, वे स्ट्रैसेन के समान उप-मैट्रिक्स दृष्टिकोण का उपयोग करते हैं, लेकिन मुझे यकीन नहीं है। मैं स्ट्रैसेन के बारे में विशेष रूप से कुछ अतिरिक्त जानकारी जोड़ रहा था।

— रिचर्ड चैम्बर्स

लगता है कि आपके प्रश्न से कुछ गायब है। मैं आसानी से एक एल्गोरिथ्म दे सकता हूं जो कम से कम कुछ मैट्रिसेस को 0 गुणा से गुणा कर सकता है। शायद एक अड़चन है जिसका आप उल्लेख नहीं कर रहे हैं।

— जोर्ग डब्ल्यू मित्तग

Answer 1

यह Winograd का एक शास्त्रीय परिणाम है: 2x2 मैट्रिसेस के गुणन पर ।

$n\times n$$O(n^\alpha)$$\langle n,n,n \rangle$$n\times n$$O(n^\alpha)$$O(n^{\log_27})$$R(\langle 2,2,2 \rangle) \leq 7$

$R(\langle 2,2,2 \rangle)=7$$\langle 2,2,2 \rangle$

Answer 2

आप इस पर परिणाम पा सकते हैं:

S.Winograd, 2 × 2 मेट्रिसेस के गुणन पर , रैखिक बीजगणित और Appl। 4 (1971), 381–388, MR0297115 (45: 6173)।