दुमियों के लिए मोनाडिक दूसरा ऑर्डर लॉजिक

मैं ऑटोमेटा पर पकड़ के साथ प्रोग्रामर हूं, लेकिन तर्क पर नहीं।

मैंने कागजों में पढ़ा कि दोनों बहुत कसकर संबंधित हैं। नियतात्मक परिमित ऑटोमेटा (डीएफए), ट्री ऑटोमेटा और दृश्यमान पुशडाउन ऑटोमेटा सभी मोनाडिक सेकेंड ऑर्डर लॉजिक (एमएसओ) से संबंधित हैं। यद्यपि, मैं समझता हूं कि ऑटोमेटा और लोगों (कागजों में) ने एमएसओ के संबंध को मुझे समझाने की कोशिश की है, वे हमेशा तर्क में एक मजबूत पृष्ठभूमि और एमएसओ की समझ रखते हैं।

जब मैं तर्क पर पुस्तकों और पाठ्यक्रमों को देखता हूं, तो वे ज्यादातर पहले आदेश तर्क को संभालते हैं, जो बहुत सरल लगता है और केवल कुछ अवधारणाओं से मिलकर बनता है: चर, या, और, इसका मतलब है, सभी के लिए, मौजूद है, आदि।

क्या कोई मुझे समझा सकता है या एक ऐसे संसाधन की ओर संकेत कर सकता है जो समझा सकता है:

प्रथम आदेश तर्क के विपरीत दूसरा आदेश तर्क क्या है?
अद्वैत बनाम गैर-विवादास्पद तर्क क्या है?
दूसरे आदेश तर्क के लिए यह महत्वपूर्ण है कि निर्णायक होने के लिए विवादास्पद होना या यह गलत प्रश्न क्यों है?
विमुद्रीकरण दूसरा आदेश तर्क क्यों निर्णायक है?
कम से कम डीएफए से संबंध?

अगर यह एक संसाधन है तो अच्छा होगा यदि यह मान लिया जाए कि मैं एक प्रोग्रामर हूं और तर्कशास्त्री नहीं। इसका मतलब है कि मैं यह समझना चाहूंगा कि मैं इसे कोड के रूप में कैसे लागू करूंगा, क्योंकि तब तक गणित मुझे जादू जैसा लगता है;)

आप मुझे जो कुछ भी मदद करेंगे उसके लिए धन्यवाद। मुझे वास्तव में इसकी प्रशंसा करनी होगी।

— वाल्टर शुल्ज़
स्रोत

"एक दूसरे आदेश तर्क के लिए यह महत्वपूर्ण है कि विवादास्पद होना उचित है या यह गलत प्रश्न क्यों है?" यदि आप एक बाइनरी विधेयकों जैसे

अनुमति देते हैं

तब आप तुरंत एक एकल बाइनरी विधेय के साथ फर्स्ट ऑर्डर लॉजिक की शक्ति को पकड़ लेते हैं, जो पहले से ही अनिर्दिष्ट है (बिना एरिटी के फंक्शन्स> 0, और इक्वैलिटी के बिना) [कलमार, सुरानी, 1950]

\exists M [. . . M (x, y) . . .]

$\exists M[...M(x,y)...]$

— वोर

प्रथम आदेश तर्क के विपरीत दूसरा आदेश तर्क क्या है?

अद्वैत बनाम गैर-विवादास्पद तर्क क्या है?

मोनैडिक सेकंड-ऑर्डर लॉजिक पहले-ऑर्डर लॉजिक और सेट्स पर मात्रा का ठहराव है। तो, के साथ-साथ कहने के लिए कुछ संपत्ति के साथ एक डोमेन तत्व मौजूद है कि सक्षम किया जा रहा ( ), तो आप यह भी कह सकते एक मौजूद है सेट कुछ संपत्ति के साथ डोमेन तत्वों की। इसलिए, उदाहरण के लिए, हम कहकर रेखांकन की 3-colourability को परिभाषित कर सकते हैं $\exists x\dots$

\begin{aligned} \exists R \exists G \exists B [ & \forall x (x \in R \lor x \in G \lor x \in B) \\ \land \neg \exists x ((x \in R \land x \in G) \lor (x \in G \land x \in B) \lor (x \in B \land x \in R)) \\ \land \forall x \forall y (E (x, y) \to \neg ((x \in R \land y \in R) \lor (x \in G \land y \in G) \\ \lor (x \in B \land y \in B)))] . \end{aligned}

$\begin{align*} \exists R\,\exists G\,\exists B\, \big[&\forall x\,\big(x\in R\lor x\in G\lor x\in B\big)\\ &\land \neg\exists x\,\big((x\in R\land x\in G) \lor (x\in G\land x\in B) \lor (x\in B\land x\in R)\big)\\ &\land \forall x\,\forall y\,\big(E(x,y)\rightarrow \neg \big((x\in R\land y\in R)\lor (x\in G\land y\in G)\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\lor (x\in B\land y\in B)\big)\big)\big]\,. \end{align*}$

शब्दों में, लाल, हरा और नीला जैसे रंग हैं

हर शीर्ष पर एक रंग होता है
और किसी भी शीर्ष पर दो रंग नहीं होते हैं
और, अगर दो कोने के बीच एक धार है, तो उन दो कोने में एक ही रंग नहीं है।

$k$ $k$ $k=1$ $1$

दूसरे आदेश तर्क के लिए यह महत्वपूर्ण है कि निर्णायक होने के लिए विवादास्पद होना या यह गलत प्रश्न क्यों है?

विमुद्रीकरण दूसरा आदेश तर्क क्यों निर्णायक है?

ईमानदारी से, मुझे समझ में नहीं आता है। एक महत्वपूर्ण बिंदु यह है कि पूर्ण द्वितीय-क्रम तर्क आपको डोमेन के एक रैखिक क्रम को अस्तित्व में लाने देता है

\begin{aligned} \exists R \forall x \forall y \forall z [ & (R (x, y) \lor R (y, x)) \\ ((R (x, y) \land R (y, x)) \to x = y) \\ ((R (x, y) \land R (y, z)) \to R (x, z))] . \end{aligned}

$\begin{align*} \exists R\,\forall x\,\forall y\,\forall z\,\big[&(R(x,y)\lor R(y,x)\big)\\ &\big((R(x,y)\land R(y,x))\rightarrow x=y\big)\\ &\big((R(x,y)\land R(y,z))\rightarrow R(x,z)\big)\big]\,. \end{align*}$

$D$ $D^n$ $n$ $D^n$ $n$

(मुझे लगता है कि, यदि आपका डोमेन अनंत है, तो आपको संभवतः यह निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है कि रैखिक क्रम असतत है और एक न्यूनतम तत्व है; तो आप जानते हैं कि इसका एक प्रारंभिक खंड है जो प्राकृतिक संख्याओं के लिए आइसोमोर्फिक है, और यह होना चाहिए बस।)

$\exists R_1\dots \exists R_k\,\varphi$ $R_i$ $\varphi$

कम से कम डीएफए से संबंध?

$\Sigma$ $\leq$ $R_a$ $a\in\Sigma$ $R_a$

$k$ $Q_1, \dots, Q_k$ $Q_i$ $i$

$j$ $Q_1, \dots, Q_k$
$Q_1$
$j$ $Q_i$ $(j+1)$
अंतिम स्थिति स्वीकार करने की स्थिति में है।

$j$ $j$ $j'>j$ $j'$

अभी, मुझे इस बात का प्रमाण याद नहीं है (कि एमएसओ में निश्चित सब कुछ एक उपयुक्त ऑटोमेटन द्वारा पहचाना जा सकता है)। अगर मेरे पास समय है, तो मैं देखूंगा और एक स्केच पोस्ट करूंगा।

$i$ $X$ $1$ $i$ $X$

$R_a(i)$ $i$ $a$ $i\in X$ $i$ $X$ $i<j$ $i$ $j$

$\lor, \lnot$ $\exists i, \exists X$ $\cup$ ${}^c$

— डेविड रिचेर्बी
स्रोत

आक्षेप के लिए मेरे सुझाव को जोड़ा। @DavidRicherby

— Hendrik Jan

शानदार प्रतिक्रिया के लिए धन्यवाद। मैं अभी भी यह सब संसाधित कर रहा हूं और इसके माध्यम से काम कर रहा हूं, शब्दों को देख रहा हूं, सोच रहा हूं कि मैं इसे कैसे लागू करूंगा, आदि इस बीच मुझे लगता है कि नंबर 3 गलत सवाल था। शायद यह बल्कि होना चाहिए था कि क्यों ऑटोमेटा और तर्क के बीच संबंध इतना महत्वपूर्ण है, कि यह इतने सारे लेखों में उल्लिखित है?

— वाल्टर शुल्ज़

उत्कृष्ट उत्तर के लिए धन्यवाद!

— क्लैस।