चर्च / स्कॉट एनकोडिंग के लिए HoTT में उत्पादों को कम करना

इसलिए मैं वर्तमान में कुछ लोगों के साथ HoTT बुक कर रहा हूं। मैंने यह दावा किया कि हम जो सबसे अधिक प्रेरक प्रकार देखेंगे, उन्हें केवल निर्भर प्रकार के प्रकारों और ब्रह्मांडों के प्रकारों में घटाया जा सकता है, जो कि पुनरावर्ती के प्रकार को समान प्रकार के लिए प्रेरणा के रूप में लेते हैं। मैंने यह स्केच करना शुरू कर दिया कि मुझे लगा कि यह कैसे काम करेगा और कुछ लड़खड़ाहट के बाद मैंने जो सोचा था, उसका जवाब आया।

\cdot \times \cdot \equiv \prod_{A, B, C : U} (A \to B \to C) \to C

$\cdot \times \cdot \equiv \prod_{A, B, C : \mathcal{U}} (A \to B \to C) \to C$

(\cdot, \cdot) \equiv λ a : A . λ b : B . λ C : U . λ g : A \to B \to C . g (a) (b)

$(\cdot, \cdot) \equiv \lambda a : A. \lambda b : B. \lambda C : \mathcal{U}. \lambda g : A \to B \to C. g(a)(b)$

i n d_{A \times B} \equiv λ C . λ g . λ p . g (p r_{1} (p)) (p r_{2} (p))

$ind_{A \times B} \equiv \lambda C. \lambda g. \lambda p. g(pr_1(p))(pr_2(p))$

यह सही परिभाषित समीकरण देता है ( और लिए समीकरणों को परिभाषित करता है ) लेकिन इसका मतलब यह होगा कि में गलत प्रकार होगा। $pr_1$ $pr_2$ $ind_{A \times B}$

{ind}_{A \times B} : \prod_{C : A \times B \to U} (\prod_{a : A} \prod_{b : B} C ((a, b))) \to \prod_{p : A \times B} C ((p r_{1} (p), p r_{2} (p)))

$\text{ind}_{A \times B} : \prod_{C : A \times B \to \mathcal{U}} (\prod_{a:A} \prod_{b:B} C((a, b))) \to \prod_{p : A \times B} C((pr_1(p), pr_2(p)))$

और यह एक साधारण तय नहीं लगता है। मैंने निम्नलिखित परिभाषा के बारे में भी सोचा।

i n d_{A \times B} \equiv λ C . λ g . λ p . p (C (p)) (g)

$ind_{A \times B} \equiv \lambda C. \lambda g. \lambda p. p(C(p))(g)$

लेकिन यह सिर्फ टाइपकास्ट नहीं करता है।

$uniq_{A \times B}$ $C((pr_1(p), pr_2(p)))$ $C(p)$ $uniq_{A \times B}$ इंडक्शन के उचित रूप के बिना ऐसा प्रतीत नहीं होता है, भले ही मैंने खुद को पहचान के प्रकारों की अनुमति दी हो, जैसा कि पुस्तक में प्रस्तुत किया गया है। मैं परिभाषा के करीब नहीं हूं। $uniq_{A \times B}$

तो ऐसा लगता है कि हम यहाँ पुनरावर्ती को परिभाषित कर सकते हैं लेकिन प्रारंभकर्ता को नहीं। हम किसी ऐसी चीज को परिभाषित कर सकते हैं, जो प्रारंभ में देखने में काफी करीब है, लेकिन यह काफी नहीं बनाता है। पुनरावर्तन हमें तार्किक संयोजन के अर्थ के लिए इस प्रकार का तर्क देने की अनुमति देता है, लेकिन यह हमें उन उत्पादों के बारे में चीजों को साबित नहीं करने देता है जिनकी कमी है।

क्या हम दावा कर सकते हैं कि किस प्रकार की कटौती की जा सकती है? यही है, क्या हम केवल निर्भर फ़ंक्शन प्रकारों और ब्रह्मांडों का उपयोग करके एक प्रकार को परिभाषित कर सकते हैं जिसमें एक युग्मन फ़ंक्शन और प्रारंभ करनेवाला समान परिभाषित समीकरण और उत्पादों के प्रकार हैं? यह मेरा बढ़ता संदेह है कि मैंने एक झूठा दावा किया। ऐसा लगता है कि हम इतनी निराशा के करीब पहुंचने में सक्षम हैं, लेकिन अभी यह काफी नहीं है। अगर हम इसे परिभाषित नहीं कर सकते हैं तो हम किस तरह के तर्क की व्याख्या कर सकते हैं? क्या उत्पाद के रूप में HoTT पुस्तक में प्रस्तुत प्रणाली की ताकत में वृद्धि?

— जेक
स्रोत

जहां तक मैं समझता हूं, सामान्य चर्च एन्कोडिंग हमें एक प्रकार देता है जो गैर-निर्भर उन्मूलन (पुनरावर्ती) को स्वीकार करता है, लेकिन कोई निर्भर उन्मूलन (प्रारंभ करनेवाला) नहीं। आपका प्रश्न इस से संबंधित हो सकता है । मैं अनिश्चित हूं अगर HoTT इस संबंध में कुछ बदलता है।

— ची

यह मददगार लगता है। जैसा कि मैं समझता हूं कि मेरे प्रश्न का उत्तर कंस्ट्रक्शन (Coq minus (co) आगमनात्मक) प्रकारों की अनुमानित गणना के लिए दिया जाएगा। मैं इन मॉडलों (सीओसी के मॉडल जो कि सीवाईसी के मॉडल नहीं हैं) पर जाने के लिए कागजात की तलाश कर रहा हूं लेकिन कोई भी नहीं मिल सकता है। क्या आपके पास मौका है?

— जेक

दुर्भाग्य से मेरे पास साझा करने के लिए संदर्भ नहीं है। मैं भी इस लोककथा तथ्य के लिए एक स्रोत का हवाला देने में दिलचस्पी होगी।

— ची

मैं इस तथ्य के बारे में लोकगीतों के संदर्भ भी खोजता रहता हूं, लेकिन मुझे स्पष्टीकरण नहीं मिल रहा है।

— जेक

अच्छा सवाल है, लेकिन यह cstheory.stackexchange.com

— मार्टिन बर्जर

जवाबों:

मेरे द्वारा अक्सर दिया जाने वाला मानक संदर्भ इंडक्शन हरमन गेवर्स द्वारा दूसरे क्रम पर निर्भर प्रकार के सिद्धांत में व्युत्पन्न नहीं है, जो कहता है कि कोई प्रकार नहीं है

N : T y p e

$N : \mathrm{Type}$

Z : N S : N \to N

$Z:N\qquad S:N\rightarrow N$

ऐसा है कि

i n d : Π P : N \to T y p e . P Z \to (Π m : N . P m \to P (S m)) \to Π n : N . P n

$\mathrm{ind}:\Pi P:N\rightarrow \mathrm{Type}.P\ Z\rightarrow (\Pi m:N.P\ m\rightarrow P\ (S\ m))\rightarrow \Pi n:N. P\ n$

सिद्ध है। इससे पता चलता है कि वास्तव में, इस तरह के एन्कोडिंग जोड़े के लिए काम नहीं कर सकते हैं जैसा कि आप वर्णन करते हैं।

यह जिस प्रणाली के लिए सिद्ध होता है वह कंस्ट्रक्टस ऑफ कंस्ट्रक्शंस का एक सबसेट है, जिसमें शक्तिशाली उत्पाद प्रकार और एक ब्रह्मांड होता है। मुझे संदेह है कि यह परिणाम उस सिस्टम तक बढ़ाया जा सकता है जिसमें आप रुचि रखते हैं, जो आपके पास है।

अफसोस की बात है कि मुझे आपके सवाल का पूरा जवाब नहीं पता है। मुझे संदेह है कि "आंतरिक रूप से" कुछ पैरामीट्रिकिटी सिद्धांतों को जोड़ना वास्तव में वही है जो इन एन्कोडिंग को पूर्ण प्रेरण सिद्धांत के साथ काम करने के लिए आवश्यक है। नील कृष्णास्वामी, जिनका ज्ञान मेरे खुद का एक सख्त सुपरसेट है, ने डेरेक ब्रेयर के साथ इन पंक्तियों के साथ एक पेपर लिखा:

कंस्ट्रक्शंस की एक्सटर्नल कैलकुलस में रिलेशनल पैरामीट्रिकिटी को आंतरिक करना

ब्याज के अलावा बर्नार्डी, जानसन और पैटरसन द्वारा निम्नलिखित पत्र हैं (बर्नार्डी ने इन विषयों के बारे में गहराई से सोचा है):

पैरामीट्रिकिटी और डिपेंडेंट टाइप

जाहिर है कि सामान्य तौर पर परिकल्पना का HoTT के साथ एक मजबूत रिश्ता है, लेकिन मुझे नहीं पता कि विवरण क्या हैं। मुझे लगता है कि स्टीव एवोडी ने इन सवालों पर विचार किया है, क्योंकि एन्कोडिंग चाल संदर्भों में उपयोगी है, जहां हम वास्तव में नहीं जानते हैं कि एलिमिनेटर क्या दिखते हैं।

— कोड़ी
स्रोत

अपने विचार को काम करने के लिए आपको कुछ अतिरिक्त चाहिए, जैसा कि @ कोडी के उत्तर में बताया गया था। सैम स्पाईट ने स्टीव अओवेदी की देखरेख में काम किया, यह देखने के लिए कि एक हू-ब-हू ब्रह्मांड का उपयोग करते हुए HoTT में क्या हासिल किया जा सकता है, HoTT ब्लॉग पोस्ट में Inductive Types के Impredicative Encodings देखें ।

— प्रेमिका बाउर
स्रोत