यह साबित करना कि निर्देशित ग्राफ़ निदान एनपी-हार्ड है

मेरे पास एक होमवर्क असाइनमेंट है जो मैं कुछ समय के लिए अपने सिर को काट रहा हूं, और मैं किसी भी संकेत की सराहना करूंगा। यह एक ज्ञात समस्या को चुनने के बारे में है, जिसमें से एनपी-पूर्णता सिद्ध होती है, और उस समस्या से निम्न समस्या के निर्माण को मैं DGD (निर्देशित ग्राफ निदान) कहूंगा।

मुसीबत

DGD का एक उदाहरण कोने से मिलकर , निर्देशित किनारों और उसे धन पूर्णांक । केवल आने वाले किनारों के साथ कोने: वहाँ कोने के तीन प्रकार हैं , केवल बाहर जाने वाले किनारों के साथ कोने और दोनों ही इनकमिंग और आउटगोइंग किनारों के साथ कोने । इसके अलावा चलो । $(V,E,k)$ $V = I \overset{.}{\cup} O \overset{.}{\cup} B$ $E$ $k$ $I$ $O$ $B$ $D=O\times I$

अब, समस्या यह है कि क्या हम अधिकांश तत्वों पर सभी नोड्स को कवर कर सकते हैं , अर्थात $k$ $D$

$\qquad \displaystyle \exists\,S\subseteq D, |S|\leq k.\ \forall\, v\in V.\ \exists\,(v_1,v_2) \in S.\ v_1 \to^* v \to^* v_2$

जहाँ अर्थ है कि से तक निर्देशित पथ है । $a\to^* b$ $a$ $b$

मुझे लगता है कि डोमिनेटिंग सेट समस्या वह है जिसे मुझे कम करना चाहिए, क्योंकि यह भी एक अन्य सबसेट के साथ नोड्स के सबसेट को कवर करने के बारे में चिंतित है। मैंने पहले वर्चस्व वाले सेट के प्रत्येक तत्व के लिए दो नोड्स बनाकर, सभी किनारों को कॉपी करके, और फिर डीएसडी उदाहरण के बराबर डीजीडी उदाहरण के की स्थापना करके एक DGD उदाहरण बनाने की कोशिश की । $k$

मान लीजिए , और और किनारों और साथ एक सरल डीएस-उदाहरण । यह साथ एक हाँ-उदाहरण है ; इस मामले में वर्चस्व सेट केवल नोड होते हैं । केवल वर्णित विधि के साथ कम करने पर, यह दो पथों और साथ एक DGD उदाहरण के लिए ले जाएगा ; सभी नोड्स को कवर करने के लिए, बस एक जोड़ी पर्याप्त होगी। यह पूरी तरह से काम करेगा, क्या यह इस तथ्य के लिए नहीं था कि डीएस-इंस्टेंस का वर्चस्व सेट निश्चित रूप से, बहुपद समय में निर्धारित नहीं किया जा सकता है, जो यहां की आवश्यकता है। $1$ $2$ $3$ $(1,2)$ $(1,3)$ $k = 1$ $1$ $(1 \to 2 \to 1')$ $(1 \to 3 \to 1')$ $(1, 1')$

मैं पाया है वहाँ कई अच्छे दिखने वाले तरीके किनारों और कोने जब कम करने को बदलने के लिए कर रहे हैं कि है, लेकिन मेरी समस्या किसी भी तरह DGD के व्यक्त कर रहा है डी एस के के मामले में । डोमिनेटिंग सेट एक कम करने के लिए एक उपयुक्त समस्या लग रहा था, लेकिन इस वजह से मुझे लगता है कि शायद मुझे ऐसी समस्या से कम करने की कोशिश करनी चाहिए जिसमें ऐसी कोई ? $k$ $k$ $k$

complexity-theory np-hard graph-theory

— user8879
स्रोत

स्वागत हे! मैंने समस्या कथन को स्पष्ट करने की कोशिश की; यह आप कैसे मतलब है? Btw, आप "user8879" की तुलना में अधिक पहचानने योग्य उपयोगकर्ता नाम चुनना चाह सकते हैं। :)

— राफेल

हां, धन्यवाद, यह वास्तव में एक अधिक कॉम्पैक्ट संस्करण है।

— user8879

इसके बजाय NP-complete SET-COVER से कम करें ।

चलो के साथ सेट कवर का एक उदाहरण। इस तरह के DGD के एक उदाहरण को परिभाषित करें: $S_1,\dots,S_m \subseteq\{1,\dots,n\}$ $k\in\mathbb{N}$ $(V,E,k')$

$V= \{s_1,\dots,s_m,o_1,\dots,o_m,e_1,\dots,e_n,o\}$
$E= \{(s_i,o_i) \mid i = 1,\dots,n \} \cup \{(s_i,e_j)\mid j \in S_i\} \cup\{(e_j,o)\mid j=1,\dots,n\}$
$k' = m + k$

यह देखना आसान है कि निर्मित डीजीडी उदाहरण के पास एक सकारात्मक उत्तर है और यदि केवल दिए गए सेट कवर का सकारात्मक उत्तर है। विशेष रूप से, सभी जोड़े को कोई फर्क नहीं पड़ता है कि सभी को कवर करने के लिए क्या ; फिर जोड़े में से को सभी को कवर करना , और जो चुने गए उनमें से पहले घटक SET-COVER उदाहरण के समाधान हैं। यदि ऐसा कोई विकल्प संभव नहीं है तो SET-COVER उदाहरण का भी कोई समाधान नहीं है। $m$ $(s_i,o_i)$ $o_i$ $k$ $m$ $(s_i,o)$ $e_j$

जैसा कि निर्माण बहुपद समय में संभव है, यह SET-COVER DGD साबित होता है । $\leq_p$

एक उदाहरण के रूप में, विकिपीडिया पर दिए गए उदाहरण सेट कवर उदाहरण पर विचार करें , अर्थात् और । यह निम्नलिखित ग्राफ में बदल जाता है: $\{1,2,3,4,5\}$ $S=\{\{1,2,3\},\{2,4\},\{3,4\},\{4,5\}\}$

उदाहरण
^{[ स्रोत ]}

— राफेल
स्रोत

यह लगभग सही है, इसमें I और B वास्तव में पूरी तरह से शामिल हैं, लेकिन O नहीं है। सेट-कवर का उदाहरण k = 2 के लिए एक हां-इंस्टेंस है , लेकिन DGD इंस्टेंस k = 2 में s2 और s3 खुला है। मुझे लगता है कि यह संभवतः ओ से ओ में प्रत्येक नोड से एक किनारे जोड़कर हल किया जा सकता है ।

— user8879

(s_{i}, o)

$(s_i,o)$

s_{i}

$s_i$

S

$S$

अब इसे प्राप्त करें: O में प्रत्येक नोड के लिए B में एक अतिरिक्त नोड बनाएं , फिर इसे O और o में इसी नोड से लिंक करें । इस उदाहरण में आपको चार अतिरिक्त पथ मिलते हैं (s1 -> s1 '-> o, आदि)। अंत में, चार के साथ k बढ़ाने के बाद यह पूरा होना चाहिए।

— user8879

s_{i}

$s_i$