एनपी पूर्णता एक फैली हुई वृक्ष समस्या का प्रमाण है

Question

मैं अपने प्रशिक्षक द्वारा पूछे गए प्रश्न में कुछ संकेत ढूंढ रहा हूं।

इसलिए मैंने अभी यह निर्णय लिया है कि समस्या :$\sf{NP\text{-}complete}$

एक ग्राफ में , वहाँ में एक फैले पेड़ है कि की एक सटीक सेट शामिल लीफ़्स के रूप में। मुझे लगा कि हम इस फैसले की समस्या के बारे में हैमिल्टन के रास्ते को कम करके यह साबित कर सकते हैं कि यह {sf {NP \ text {-} पूरा} है।$G$$G$$S=\{x_1, x_2,\ldots, x_n\}$$\sf{NP\text{-}complete}$

लेकिन मेरे प्रशिक्षक ने हमें कक्षा में भी पूछा:

यदि यह " S का सटीक सेट" के बजाय $\sf{NP\text{-}complete}$ होगा , तो हम करते हैं$S$

" S का पूरा सेट $S$और संभवतः अन्य लीफ़्स शामिल करें" या " S का सबसेट $S$"

मुझे लगता है कि "एस का सबसेट" $\sf{NP\text{-}complete}$ , लेकिन मैं इसे साबित नहीं कर सकता, मुझे नहीं पता कि मैं इसे किस समस्या से कम कर सकता हूं। " एस का सेट शामिल करें $S$..." के रूप में मुझे लगता है कि यह बहुपद समय में हल किया जा सकता है।

Comments

क्या आप विस्तृत कर सकते हैं कि आपको क्यों लगता है कि एक संस्करण को बहुपद समय में हल किया जा सकता है?

— राफेल

@पैड: "मेरे प्रशिक्षक ने कक्षा में पूछा" एक असाइनमेंट नहीं बल्कि एक पहेली है। इसके अलावा, होमवर्क टैग पर इस मेटा चर्चा को देखें ।

— राफेल

Answer 1

संक्षेप में, आपके अनुमान सही हैं। इस उत्तर के उद्देश्य के लिए, आइए प्रश्न में तीन समस्याओं को निम्नानुसार हल करें:

• समानता संस्करण: एक ग्राफ को देखते हुए और एक सेट यह तय करें कि एक फैले पेड़ है ऐसी है कि में पत्तियों का सेट के बराबर है । जैसा कि आपने कहा, यह हैमिल्टन की पथ समस्या से कमी के द्वारा एनपी-पूर्ण है।$G = (V, E)$$S \subseteq V$$G$$T$$T$$S$
• सबसेट संस्करण: को देखते हुए और ऊपर के रूप में यह तय करें कि एक फैले पेड़ है ऐसी है कि में पत्तियों का सेट के एक सबसेट है ।$G$$S$$G$$T$$T$$S$
• Superset संस्करण: को देखते हुए और ऊपर के रूप में यह तय करें कि एक फैले पेड़ है ऐसी है कि में पत्तियों का सेट का सुपरसेट है ।$G$$S$$G$$T$$T$$S$

यह साबित करने के लिए कि सबसेट संस्करण एनपी-पूर्ण है, आप अभी भी हमिटोनियन पथ की समस्या को कम कर सकते हैं। समानता संस्करण के एनपी-पूर्णता के प्रमाण को संशोधित करने का प्रयास करें।

यह साबित करने के लिए कि सुपरसेट संस्करण को बहुपद समय में हल किया जा सकता है, ऐसे पेड़ के अस्तित्व के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति खोजने की कोशिश करें ।$T$

दोनों संस्करणों (साथ ही पेड़ों को फैलाने के बारे में कुछ अन्य समस्याओं) का अध्ययन [SK05] में किया जाता है। लेकिन मुझे लगता है कि बेहतर होगा यदि आप पेपर में सबूतों को देखने से पहले खुद से समस्याओं को हल करने की कोशिश करें, क्योंकि पेपर को देखना एक बड़ा स्पॉइलर हो सकता है। दुर्भाग्य से मैंने सुपरसेट संस्करण के लिए बहुपद-कालिक एल्गोरिथ्म खोजने की कोशिश करने से पहले कागज को देखा था!

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[SK05] मोहम्मद सोहेल रहमान और मोहम्मद कयाकोबद। पेड़ों पर फैले कुछ दिलचस्प समस्याओं की जटिलताएं। सूचना संसाधन पत्र , 94 (2): 93–97, अप्रैल 2005. [ doi ] [ लेखक प्रति ]

Comments

आपको यहाँ देखकर अच्छा लगा! ध्यान दें कि हमारे यहाँ MathJax भी है।

— राफेल

मार्गदर्शन के लिए धन्यवाद !! काश कि मैं इसे पढ़ता इससे पहले कि मैं कक्षा में जाता, हालांकि, उसने आज इसे बिगाड़ दिया। यदि कोई सुपरसेट संस्करण बहुपद एल्गोरिथ्म में रुचि रखता है, तो एक और संकेत V \ L के साथ एक नया ग्राफ बना रहा है।

— इनिशियलाइज़ करें

Answer 2

ये संकेत मुझे S समस्या के सुपरसेट के समाधान के लिए पर्याप्त नहीं थे - हालांकि संकेत सहायक और सही हैं। यह मेरे विचार की ट्रेन है जो मुझे एक समाधान के लिए मिली है।

यदि आप S से G, (VS) के सभी कोने हटाते हैं, और फिर DFS के साथ एक फैले हुए पेड़ T को पाते हैं तो क्या होता है? यदि जी में कोई अभी तक असंबद्ध कोने हैं, तो v1 कहें; एस में हटाए गए कोने में से कम से कम एक की भूमिका के बारे में क्या कहना है? यह कुछ वर्टेक्स से वर्तमान में v1 में निहित है जो वर्तमान में फैले पेड़ में है। इस प्रकार, यह एक पत्ती नहीं हो सकता है (क्योंकि पत्तियों का कोई संतान नहीं है)। यदि कोई असंबद्ध नोड्स नहीं हैं, तो इसका मतलब है कि एस में प्रत्येक शीर्ष एक पत्ती हो सकता है, बशर्ते इसके किनारे एक किनारे पर होते हैं, जो फैले हुए पेड़ के लिए अग्रणी होता है। S में वर्टिकल जो केवल S के अन्य कोने से जुड़ते हैं, उनमें फैले हुए पेड़ से कोई संबंध नहीं होगा और स्थिति का उल्लंघन होगा। तो, वहाँ दो मामलों के लिए जाँच कर रहे हैं:

1. यदि सभी नोड्स S में नहीं हैं, तो G से S को निकालने के बाद और एक फैले हुए पेड़ को खोजने के बाद जुड़ा हुआ है
2. यदि S के प्रत्येक नोड को सीधे फैले हुए पेड़ से जोड़ा जा सकता है।