संदर्भ-मुक्त व्याकरण के लिए पहले और बाद के सेट हमेशा संदर्भ-मुक्त होते हैं?

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आज्ञा देना $G$ एक संदर्भ मुक्त व्याकरण है। टर्मिनल और की nonterminals की एक स्ट्रिंग $G$ एक होना कहा जाता है sentential रूप से $G$ अगर आप इसे का निर्माण लगाने से प्राप्त कर सकते हैं $G$ की शुरुआत प्रतीक को शून्य या अधिक बार $S$ । चलो $\operatorname{SF}(G)$ के sentential रूपों में से सेट हो $G$ ।

चलो और जाने की सबस्ट्रिंग हो - हम फोन एक टुकड़ा के । अब छोडो $\alpha \in \operatorname{SF}(G)$ $\beta$ $\alpha$ $\beta$ $\operatorname{SF}(G)$

$\operatorname{Before}(\beta) = \{ \gamma \ |\ \exists \delta . \gamma \beta \delta \in \operatorname{SF}(G) \}$

तथा

। $\operatorname{After}(\beta) = \{ \delta \ |\ \exists \gamma . \gamma \beta \delta \in \operatorname{SF}(G) \}$

कर रहे हैं और विषय से मुक्त भाषाओं? यदि असंदिग्ध है तो क्या होगा ? तो स्पष्ट है, कर रहे हैं और भी एक स्पष्ट विषय से मुक्त भाषा द्वारा वर्णनीय? $\operatorname{Before}(\beta)$ $\operatorname{After}(\beta)$ $G$ $G$ $\operatorname{Before}(\beta)$ $\operatorname{After}(\beta)$

यह मेरे पहले प्रश्न का अनुवर्ती है , बाद में मेरे प्रश्न को उत्तर देने में आसान बनाने के पहले के प्रयास में विफल रहा। नकारात्मक उत्तर देने से प्रश्न का उत्तर देने में बहुत कठिनाई हो रही है।

— एलेक्स दस कगार
स्रोत

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हमारे लिए एक महसूस पाने के चलो और पहले। एक व्युत्पत्ति पेड़ जिसमें विचार करें ; "शामिल है" यहाँ मतलब है कि आप दूर subtrees कटौती कर सकते हैं ताकि पेड़ के सामने के एक subword है। फिर, इससे पहले (के बाद) सेट पेड़ की ओर के सभी संभावित मोर्चों छोड़ दिया (दाएं) के हैं : $\operatorname{Before}(\beta)$ $\operatorname{After}(\beta)$ $\beta$ $\beta$ $\beta$

tree with before and after sets
^{[ स्रोत ]}

इसलिए हमें पेड़ के क्षैतिज रूप से पंक्तिबद्ध (लंबवत पंक्तिबद्ध) भाग के लिए एक व्याकरण का निर्माण करना होगा। यह काफी आसान लगता है क्योंकि हमारे पास पहले से ही पूरे पेड़ के लिए एक व्याकरण है; हम सिर्फ सुनिश्चित करें कि सभी sentential रूपों शब्द (अक्षर बदल), फिल्टर दूर उन है कि शामिल नहीं है कर रहे हैं बनाने के लिए है (कि एक नियमित संपत्ति के रूप में है तय हो गई है) और के बाद (पहले) सब कुछ दूर कटौती , सहित । यह कटिंग भी संभव होनी चाहिए। $\beta$ $\beta$ $\beta$ $\beta$

अब एक औपचारिक प्रमाण के लिए। हम व्याकरण को रूपांतरित करेंगे और फ़िल्टरिंग और कटिंग करने के लिए क्लोजर गुणों का उपयोग करेंगे , अर्थात हम एक गैर-रचनात्मक प्रमाण का प्रदर्शन करते हैं। $\mathrm{CFL}$

Let एक विषय से मुक्त व्याकरण। यह देखना आसान है कि संदर्भ-मुक्त है; निर्माण इस तरह: $G = (N, T, \delta, S)$ $\operatorname{SF}(G)$ $G'=(N',T',\delta',N_S)$

$N' = \{N_A \mid A \in N\}$
$T' = N \cup T$
$\delta' = \{\alpha(A) \to \alpha(\beta)\mid A\to\beta \in \delta \} \cup \{N_A \to A \mid A\in N\}$

साथ के लिए सभी और सभी के लिए । यह स्पष्ट है कि ; इसलिए इसी उपसर्ग बंद करने और प्रत्यय बंद करने संदर्भ-मुक्त, too are हैं। $\alpha(t)=t$ $t \in T$ $\alpha(A)=N_A$ $a\in N$ $\mathcal{L}(G')=\operatorname{SF}(G)$ $\operatorname{Pref}(\operatorname{SF}(G))$ $\operatorname{Suff}(\operatorname{SF}(G))$

अब, किसी के लिए हैं और नियमित भाषाओं। चूंकि चौराहे के नीचे बंद है और नियमित भाषाओं के साथ दाएं / बाएं भागफल , हमें मिलता है $\beta \in (N\cup T)^*$ $\mathcal{L}(\beta(N\cup T)^*)$ $\mathcal{L}((N\cup T)^*\beta)$ $\mathrm{CFL}$

$\qquad \displaystyle \operatorname{Before}(\beta) = (\operatorname{Pref}(\operatorname{SF}(G))\ \cap\ \mathcal{L}((N\cup T)^*\beta))\,/\,\beta \in \mathrm{CFL}$

तथा

। $\qquad \displaystyle \operatorname{After}(\beta) = (\operatorname{Suff}(\operatorname{SF}(G))\ \cap\ \mathcal{L}(\beta(N\cup T)^*))\,\backslash\, \beta \in \mathrm{CFL}$

¹ $\mathrm{CFL}$ is closed under right (and left) quotient; $\operatorname{Pref}(L) = L / \Sigma^*$ and similar for $\operatorname{Suff}$ yield prefix resp. suffix closure.

— Raphael
स्रोत

I started to write an answer then realized my proof was the same as yours. I'd have put it this way (compressed to fit here): form a grammar

G^{'}

$G'$ by adding a new terminal

\hat{A}

$\hat A$ (a metavariable) for each non-terminal

A

$A$ and a production

A \to \hat{A}

$A\to\hat A$ . Then sentential forms of

G

$G$ are the words recognized by

G

$G$ that consist of metavariables. This is the intersection of a CFG with a regular language and thus is regular. The prefix set of a CFG is a CFG (take a PDA and make every state final).

B e f o r e (γ) = {γ ∣ γ β \in L (P r e f i x (\hat{G}))}

$\mathrm{Before}(\gamma) = \{\gamma \mid \gamma\beta\in L(\mathrm{Prefix}(\hat G))\}$ is again a CFG.

— Gilles 'SO- stop being evil'

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@Gilles, three comments on that: 1) the sentential forms typically (properly) contain the language. 2) "make every state final" -- that won't work; you'll accept prefixes of non-words, too. 3) The last step of "cutting off" a suffix seems to be tricky to get rigorous. :/ Do you have a rigorous but more compact proof than mine?

— Raphael

1) doesn't matter (change

G

$G$ to have or not have a nonterminal for each terminal). 2) Oops, I cut off too much: make every state that can reach a final state final. 3) Do it one terminal

b

$b$ at a time; in the PDA, mark the states from which one can reach a final state by consuming

b

$b$ as final instead. Yes, it would take more expansion to make this rigorous.

— Gilles 'SO- stop being evil'

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Yes, $\mbox{Before}(\beta)$ and $\mbox{After}(\beta)$ are context-free languages. Here's how I would prove it. First, a lemma (which is the crux). If $L$ is CF then:

$\mbox{Before}(L,\beta) = \{ \gamma \ |\ \exists \delta . \gamma \beta \delta \in L \}$

and

$\mbox{After}(L,\beta) = \{ \gamma \ |\ \exists \delta . \delta \beta \gamma \in L \}$

are CF.

Proof? For $\mbox{Before}(L,\beta)$ construct a non-deterministic finite-state transducer $T_{\beta}$ that scans a string, outputting every input symbol it sees and simultaneously searches non-deterministically for $\beta$ . Whenever $T_{\beta}$ sees the first symbol of $\beta$ it forks non-deterministically and ceases outputting symbols until either it finishes seeing $\beta$ or it sees sees a symbol that deviates from $\beta$ , stopping in either case. If $T_{\beta}$ sees $\beta$ in full, it accepts upon stopping, which is the only way it accepts. If it sees a deviation from $\beta$ , it rejects.

The lemma can be jiggered to handle cases where $\beta$ could overlap with itself (like $abab$ -- keep looking for $\beta$ even while in the midst of scanning for a prior $\beta$ ) or appears multiple times (actually, the original non-determinisic forking already handles that).

It's fairly clear that $T_\beta(L) = \mbox{Before}(L,\beta)$ , and since the CFLs are closed under finite-state transduction, $\mbox{Before}(L,\beta)$ is therefore CF.

A similar argument goes for $\mbox{After}(L,\beta)$ , or it could be done with string reversals from $\mbox{Before}(L,\beta)$ , CFLs also being closed under reversal:

$\mbox{After}(L,\beta) = \mbox{rev}(\mbox{Before}(\mbox{rev}(L),\mbox{rev}(\beta)))$

Actually, now that I see the reversal argument, it would be even easier to start with $\mbox{After}(L,\beta)$ , since the transducer for that is simpler to describe and verify -- it outputs the empty string while looking for a $\beta$ . When it finds $\beta$ it forks non-deterministically, one fork continuing to look for further copies of $\beta$ , the other fork copying all subsequent characters verbatim from input to output, accepting all the while.

What remains is to make this work for sentential forms as well as CFLs. But that is pretty straightforward, since the language of sentential forms of a CFG is itself a CFL. You can show that by replacing every non-terminal $X$ throughout $G$ by say $X^\prime$ , declaring $X$ to be a terminal, and adding all productions $X^\prime \rightarrow X$ to the grammar.

I'll have to think about your question on unambiguity.

— David Lewis
स्रोत