क्या "सबसेट उत्पाद" समस्या एनपी-पूर्ण है?

Question

उप-योग समस्या एक क्लासिक NP- पूर्ण समस्या है:

की संख्या और लक्ष्य की सूची को देखते हुए , क्या से संख्याओं का एक सबसेट है जो s से ?$L$$k$$L$$k$

एक छात्र ने मुझसे पूछा कि क्या समस्या के इस प्रकार को "सबसेट उत्पाद" कहा जाता है, तो समस्या एनपी-पूर्ण है:

की संख्या और लक्ष्य की सूची को देखते हुए , से संख्याओं का एक उपसमूह है जिसका उत्पाद ?के एल $L$$k$$L$$k$

मैंने कुछ खोज की और इस समस्या के बारे में बात करने वाले किसी भी संसाधन को नहीं पा सका, हालाँकि शायद मैं उनसे चूक गया था।

क्या उप-उत्पाद समस्या एनपी-पूर्ण है?

Comments

दिलचस्प जवाब, लेकिन मैं सोच रहा हूं: क्या हम कश्मीर और सभी नंबरों के लॉग लेकर सबसेट सम को कम नहीं कर सकते हैं? (शायद मुझे एक अलग सवाल पूछना चाहिए?)

— j_random_hacker

@j_random_hacker, हाँ, यदि आपको इस साइट और ऑनलाइन खोज के बाद कोई उत्तर नहीं मिल रहा है, तो मेरा सुझाव है कि आप एक अलग प्रश्न पोस्ट करें। यह एक अच्छा जवाब है (एक संकेत के साथ एक अच्छा सवाल है: लॉग्स आपको एक ऐसी चीज़ के साथ छोड़ देता है जो पूर्णांक नहीं है; दूसरी दिशा में, संख्याओं के आकार के बारे में क्या सोचते हैं, इस बारे में सोचें), लेकिन यह थोड़ा स्पर्शरेखा है और अपने प्रश्न में बेहतर होगा।

— DW

@ डीडब्ल्यू: धन्यवाद, जब मुझे समय मिलेगा तो मैं आपको सुझाव दूंगा!

— j_random_hacker

Answer 1

एक टिप्पणी में याओ को जिम्मेदार ठहराया गया X3C से SUBSET PRODUCT में कमी का उल्लेख है। कटौती के लक्ष्य को देखते हुए यह अनुमान लगाना कठिन नहीं था कि क्या कमी होने की संभावना थी।

परिभाषाएं:

3-SETS (X3C) द्वारा संचालित आवरण

के साथ एक सीमित सेट दिया | एक्स | 3 के कई, और X के 3-तत्व सबसेट का संग्रह $X$$|X|$$C$$X$ , करता एक सटीक कवर होते हैं सी ' के लिए एक्स , जहां सी ' ⊆ सी और में हर तत्व एक्स में में होता है ठीक एक बार सी ' ?$C$$C'$$X$$C' \subseteq C$$X$$C'$

SUBSET PRODUCT

की संख्या और लक्ष्य k की सूची को देखते हुए , L से संख्याओं का एक उपसमूह है जिसका उत्पाद k है ?$L$$k$$L$$k$

SUBSET उत्पाद उदाहरण के लिए X3C उदाहरण को कम करने के लिए:

1. और पहले के सदस्यों के बीच एक विशेषण मानचित्रण स्थापित करें | एक्स | अभाज्य सँख्या। मैप किए गए अपराधों के साथ X और C सबसेट के सदस्यों को बदलें ।$X$$|X|$$X$$C$

2. में प्रत्येक सबसेट के लिए , इसके सदस्यों को एक साथ गुणा करें; उत्पादों की परिणामी सूची SUBSET PRODUCT उदाहरण के लिए L है । क्योंकि चरण 1 में मैपिंग के लिए अभाज्य संख्याओं का उपयोग किया जाता है, उत्पादों को समतुल्य होने की गारंटी दी जाती है यदि उपसमुच्चय अद्वितीय गुणन प्रमेय द्वारा समतुल्य हैं ।$C$$L$

3. के सदस्यों को एक साथ गुणा करें ; परिणामी उत्पाद SUBSET PRODUCT उदाहरण के लिए मूल्य k है ।$X$$k$

मुख्य कारक X के सदस्य हैं । L में संख्याओं के मुख्य कारक C उपसमुच्चय के सदस्यों के अनुरूप हैं । इसलिए नई SUBSET उत्पाद उदाहरण के लिए किसी भी समाधान के समाधान के सदस्यों मैप करके एक X3C समाधान के रूप में तब्दील किया जा सकता है एल में सबसेट के लिए वापस सी ।$k$$X$$L$$C$$L$$C$

3 परिवर्तन चरणों में से प्रत्येक कार्य है कि इनपुट के आकार के बहुपद हैं शामिल है या X के सदस्य का आकार । पहला | एक्स | primes समय में उत्पन्न हो सकते हैं O ( | X $|X|$$X$$|X|$$|X|$ प्रमेय द्वारा अंतरिक्ष में हेतोस्थनीज़ की छलनी का उपयोग करके ) और इन्हें स्पेस में फिट करने की गारंटी दी जाती है ।$O(|X|^2 \ln |X|)$

Comments

+1, लेकिन मेरे विचार से घटने के लिए हमें यह आवश्यक है कि पहले | X | अभाज्य संख्याओं को कई बिट्स में दर्शाया जा सकता है जो बहुपद है | X | - क्या मैं इस बारे में सही हूं, और यदि हां, तो क्या हमारे पास इसकी गारंटी है?

— j_random_hacker

बहुत बढ़िया बिंदु। मैंने पता करने के लिए एक पैराग्राफ जोड़ा है।

— काइल जोन्स

धन्यवाद, कि प्रमेय इसे मजबूत करता है! नाइटपिक के लिए नहीं, लेकिन आपके द्वारा लिंक किए गए पृष्ठ के अनुसार, kth अभाज्य संख्या लगभग k लॉग k है, और यह देखते हुए कि Eratosthenes की छलनी स्पष्ट रूप से n में O (n लॉग लॉग n) तक सभी primes की गणना करती है , n = प्रतिस्थापित करती है। k log k, O (k * log (k) * log (लॉग (k लॉग k))) को O (k) (आपका O (| X |)) के बजाय, पहले k की गणना करने का समय देता प्रतीत होता है। उस तरह primes।

— j_random_hacker

काइल जोन्स, यह महत्वपूर्ण नहीं है कि चरण 3 एक नंबर k बनाएगा$k$ घातीय आकार का ? क्या यह कमी वास्तव में बहुपद काल की है?

— user1742364

@ user1742364 नहीं, क्योंकि कंप्यूटिंग को संचालन की एक घातीय संख्या की आवश्यकता नहीं है या बिट्स की एक घातीय संख्या को संग्रहीत करने की आवश्यकता है। कम्प्यूटिंग k की आवश्यकता | एक्स | गुणा और गुणा सबसे खराब O ( n 2 ) ऑपरेशन है। जबकि कश्मीर सबसे बड़ा प्रधानमंत्री से तेजी से बड़ा होगा पी में एक्स , स्टोर करने के लिए आवश्यक बिट्स की संख्या कश्मीर हो जाएगा हे ( लॉग पी ) । $k$$k$$|X|$$O(n^2)$$k$$P$$X$$k$$O(\log P)$

— काइल जोन्स

Answer 2

[ १ ] के अनुसार : हाँ यह है

मैं भी इसी संदर्भ का हवाला देता हूं: टिप्पणियाँ: इस और समस्या 42 के बीच एक सूक्ष्म तकनीकी अंतर है: पूर्व मामले में एक छद्म कुशल एल्गोरिथ्म है जिसे संख्याओं को एकात्मकता में प्रस्तुत करने की अनुमति देकर प्राप्त किया गया है; जब तक सभी एनपी-पूर्ण समस्याओं को तेजी से एल्गोरिदम द्वारा हल नहीं किया जा सकता है, हालांकि, सबसेट उत्पाद समस्या को इस अनुचित इनपुट प्रतिनिधित्व का उपयोग करके भी 'कुशल' तरीकों से हल नहीं किया जा सकता है।

कमी के लिए [2] पर एक नज़र है। [२]: फैलो, माइकल और नील कोब्लिट्ज़। "फिक्स्ड-पैरामीटर जटिलता और क्रिप्टोग्राफी।" एप्लाइड बीजगणित, बीजगणितीय एल्गोरिदम और त्रुटि-सुधार कोड (1993): 121-131।

Comments

यदि संभव हो तो एक जर्नल लेख में एक वास्तविक कमी या प्रशस्ति पत्र अच्छा होगा।

— templatetypedef

@templatetypedef गैरे और जॉनसन में, कमी 3 सेटों तक सटीक कवर के लिए है। याओ के साथ निजी संचार के कारण।

— 20

क्रिप्टोग्राफी पेपर में कमी एक अलग समस्या के लिए है, जिसमें लक्ष्य उत्पाद को संकेत द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, उदाहरण के लिए एक लक्ष्य संख्या modulo एक मापांक के साथ। (हालांकि अगर मैं प्रमाण को सही ढंग से समझता हूं, तो वे वैसे भी केवल कमजोर कठोरता प्राप्त करते हैं क्योंकि मापांक परिमाण में घातीय है।)

— जेफरी बोसबोम