गणना योग्य गुण के वास्तविक गुण

क्या "राइस प्रमेय फॉर कम्प्यूटेबल रियल्स" है - अर्थात, किसी दिए गए कंप्युटेबल रियल द्वारा दर्शाई गई संख्या की कोई भी गुणात्मक गुणधर्म सत्य नहीं है?

क्या यह वास्तविकताओं की कनेक्टिविटी के लिए कुछ प्रत्यक्ष तरीके से मेल खाता है?

computability real-numbers computable-analysis

— Shachaf
स्रोत

जवाबों:

हां, रियल के लिए राइस का प्रमेय कम्प्यूटेशनल रियल के हर उचित संस्करण में है।

मैं पहली बार एक निश्चित प्रमेय और एक परिणाम साबित करें और बताएं कि यह बाद में कम्प्यूटेबिलिटी के साथ क्या करना है क्या होगा।

प्रमेय: मान लीजिए कि एक नक्शा और दो वास्तविक हैं जैसे कि और । तब एक अनुक्रम मौजूद होता है जैसे कि सभी । $p : \mathbb{R} \to \{0,1\}$ $a, b \in \mathbb{R}$ $p(a) = 0$ $p(b) = 1$ $(x_i)_i$ $p(\lim_i x_i) \neq p(x_j)$ $j \in \mathbb{N}$

सबूत। हम reals के जोड़े का एक अनुक्रम का निर्माण इस प्रकार है: गौर करें कि सभी के लिए : $(y_i, z_i)_i$

\begin{aligned} (y_{0}, z_{0}) & = (a, b) \\ (y_{i + 1}, z_{i + 1}) & = {\begin{cases} (y_{i}, (y_{i} + z_{i}) / 2) & if p ((y_{i} + z_{i}) / 2) = 1 \\ ((y_{i} + z_{i}) / 2, z_{i}) & if p ((y_{i} + z_{i}) / 2) = 0 \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align*} (y_0, z_0) &= (a, b) \\ (y_{i+1}, z_{i+1}) &= \begin{cases} (y_i, (y_i + z_i)/2) & \text{if $p((y_i + z_i)/2) = 1$} \\ ((y_i + z_i)/2, z_i) & \text{if $p((y_i + z_i)/2) = 0$} \\ \end{cases} \end{align*}$

i \in N

$i \in \mathbb{N}$

$p(y_i) = 0$ और $p(z_i) = 1$
$|z_i - y_i| = |b - a| \cdot 2^{-i}$
$|y_{i+1} - y_i| \leq |b - a| \cdot 2^{-i}$
$|z_{i+1} - z_i| \leq |b - a| \cdot 2^{-i}$

इस प्रकार अनुक्रम और कॉची हैं और वे एक सामान्य बिंदु । यदि तो हम लेते हैं , और यदि तो हम लेते हैं । $(y_i)_i$ $(z_i)_i$ $c = \lim_i y_i = \lim_i z_i$ $p(c) = 0$ $(x_i)_i = (z_i)_i$ $p(c) = 1$ $(x_i)_i = (y_i)_i$ $\square$

कोरोलरी: मान लीजिए और दो वास्तविक ऐसे और । तब हर ट्यूरिंग मशीन या तो हमेशा के लिए चलती है या फिर हमेशा के लिए नहीं चलती है। $p : \mathbb{R} \to \{0,1\}$ $a, b \in \mathbb{R}$ $p(a) = 0$ $p(b) = 1$

सबूत। प्रमेय द्वारा, एक अनुक्रम जो कि सभी । व्यापकता के नुकसान के बिना हम मान सकते हैं कि और । $(x_i)_i$ $p(x_j) \neq p(\lim_i x_i)$ $j \in \mathbb{B}$ $p(x_j) = 1$ $p(\lim_i x_i) = 0$

बता दें कि एक ट्यूरिंग मशीन है। एक अनुक्रम को द्वारा परिभाषित करें अनुक्रम को अच्छी तरह से परिभाषित किया गया है क्योंकि हम स्टेप्स को स्टेप्स का अनुकरण कर सकते हैं और यह तय कर सकते हैं कि यह कई चरणों के भीतर बंद हो गया है या नहीं। इसके बाद, निरीक्षण करें कि एक कॉची अनुक्रम है क्योंकि एक कॉची अनुक्रम है (हम इसे एक अभ्यास के रूप में छोड़ देते हैं)। चलो । या तो या : $T$ $y_i$

y_{i} = {\begin{cases} x_{j} & if T halts in step j and j \leq i \\ x_{i} & if T does not halt within i steps \end{cases}

$y_i = \begin{cases} x_j & \text{if $T$ halts in step $j$ and $j \leq i$}\\ x_i & \text{if $T$ does not halt within $i$ steps} \end{cases}$

T

$T$

i

$i$

(y_{i})_{i}

$(y_i)_i$

(x_{i})_{i}

$(x_i)_i$

z = lim_{i} y_{i}

$z = \lim_i y_i$

p (z) = 0

$p(z) = 0$

p (z) = 1

$p(z) = 1$

अगर तो हमेशा के लिए चलता है। दरअसल, अगर यह चरणों के बाद रुक जाता है , तो हमारे पास , और इसलिए विरोधाभासी । $p(z) = 0$ $T$ $j$ $z = x_j$ $p(z) = p(x_j) = 1$ $p(z) = 0$
यदि तो हमेशा के लिए नहीं चलता है। वास्तव में, अगर ऐसा होता है, तो हमारे पास , और इसलिए , विरोधाभासी । $p(z) = 1$ $T$ $z = \lim_i x_i$ $p(z) = p(\lim_i x_i) = 0$ $p(z) = 0$ $\square$

अब हम बता सकते हैं कि इससे हमें वास्तविक संख्याओं के लिए चावल की प्रमेय क्यों मिलती है। प्रमाण रचनात्मक हैं, इसलिए वे कम्प्यूटेशनल प्रक्रियाओं का उत्पादन करते हैं। यह कम्प्यूटेबिलिटी के किसी भी मॉडल और रियल के किसी भी कंपटीशन स्ट्रक्चर के बारे में सही है, जो तथाकथित होने के लायक है। वास्तव में, आप वापस जा सकते हैं और एक कार्यक्रम बनाने के निर्देश के रूप में सबूत पढ़ सकते हैं - सभी कदम कम्प्यूटेशनल हैं।

इस प्रकार, हम एक गणनीय नक्शा था और गणनीय ऐसी है कि और , फिर हम प्रमेय के रचनात्मक प्रमाणों और खंभे से उत्पन्न होने वाली गणना योग्य प्रक्रियाओं को लागू कर सकते हैं। लेकिन हाल्टिंग ऑरेकल मौजूद नहीं है, इसलिए, प्रत्येक कम्प्यूटेबल मैप निरंतर है। $p : \mathbb{R} \to \{0,1\}$ $a, b \in \mathbb{R}$ $p(a) = 0$ $p(1) = 1$ $p : \mathbb{R} \to \{0,1\}$

पूरक: वहाँ भी है कि क्या चावल की प्रमेय reals की संयुक्तता से संबंधित है एक सवाल था। हां, यह अनिवार्य रूप से बयान है कि वास्तविक जुड़े हुए हैं।

आइए हम पहले यह देखें कि एक निरंतर मानचित्र (हम पर असतत टोपोलॉजी लेते हैं ) असंतुष्ट क्लोपेन (बंद और खुला) सेट एक जोड़ी से मेल खाती है, अवलोकन करें ऐसी है कि । वास्तव में, और । चूँकि निरंतर है और और खुले हैं, और खुले होंगे, असहमत होंगे, और वे स्पष्ट रूप से सभी कवर करेंगे । इसके विपरीत, किसी भी जोड़ी के असंतुष्ट क्लोपेंस जो कवर करते हैं, एक निरंतर मानचित्र निर्धारित करता है $p : X \to \{0,1\}$ $\{0,1\}$ $U, V \subseteq X$ $U \cup V = X$ $U = p^{-1}(\{0\})$ $V = p^{-1}(\{1\})$ $p$ $\{0\}$ $\{1\}$ $U$ $V$ $X$ $(U,V)$ $X$ $p : X \to \{0,1\}$ के तत्वों के नक्शे करने के लिए और के तत्वों करने के लिए । $U$ $0$ $V$ $1$

इससे हम सीखते हैं कि यदि कोई स्पेस डिस्कनेक्ट हो गया है, और केवल अगर, वहां एक निरंतर मैप मौजूद है और जैसे कि और (हमें और आवश्यकता ताकि हमें का एक गैर-तुच्छ अपघटन मिल जाए )। एक ही बात कहने का एक और तरीका है: एक स्पेस जुड़ा हुआ है अगर, और केवल अगर, सभी निरंतर नक्शे निरंतर हैं। $X$ $p : X \to \{0,1\}$ $a, b \in X$ $p(a) = 0$ $p(1) = b$ $a$ $b$ $X$ $X$ $X \to \{0,1\}$

कम्प्यूटेशनल गणित में हमारे पास एक मूल प्रमेय है: प्रत्येक कम्प्यूटेशनल मानचित्र निरंतर है । इसलिए, जब तक हम अभिकलन वस्तुओं के दायरे में हैं, राइस का प्रमेय वास्तव में यह बताता है कि एक निश्चित स्थान जुड़ा हुआ है। क्लासिक राइस के प्रमेय के मामले में विचाराधीन स्थान आंशिक कम्प्यूटेशनल फ़ंक्शन । $\mathbb{N} \to \mathbb{N}$

— लेडी बाउर
स्रोत

धन्यवाद! यह वही है जिसे मैं देख रहा था। क्या यह सीधे reals की संयुक्तता से संबंधित है - अन्य प्रश्न के बारे में कोई विचार?

— शाचफ

मैंने इस तथ्य के बारे में एक स्पष्टीकरण जोड़ा कि राइस का प्रमेय वास्तव में एक प्रकार का प्रमेय है।

— बाउर

मान लीजिए कि और को परिभाषित करता है यदि चरणों में नहीं और अन्यथा। टी तो रोक नहीं है, तो converges के लिए , अन्यथा यह converges के लिए । यदि गणना योग्य हैं, तो दिया जाता है , एक मशीन की सीमा की गणना कर सकती है । क्यों कि दिखाने के लिए यह पर्याप्त नहीं है गणना कर सका, या यहाँ तक semidecidable नहीं किया जा सकता है (जैसा कि iff को रोकने नहीं करता है है

p (x) = 1, p (x^{'}) = 0

$p(x)=1, p(x')=0$

y_{i} = x

$y_i=x$

T

$T$

i

$i$

y_{i} = x^{'}

$y_i=x'$

y_{i}

$y_i$

x

$x$

x^{'}

$x'$

x, x^{'}

$x,x'$

T

$T$

y_{i}

$y_i$

p

$p$

T

$T$

p

$p$

1

$1$ सीमा पर)। जाहिर है कि मैं कुछ याद कर रहा हूं, क्योंकि वहाँ nontrivial गुण हैं जो कि semidecidable हैं।

— एरियल

की आपकी परिभाषा ठीक है, लेकिन आपको यह दावा करने के लिए अनुक्रम के अभिसरण की एक दर की भी आवश्यकता है ताकि यह दावा किया जा सके कि इसकी सीमा कम्प्यूटेबल है। जब से हम गणना नहीं कर सकते हैं जो सूचकांक में अनुक्रम से कूद सकता है के लिए (या कोई अन्य हम गणना कर सकता है, जिस पर कदम को रोकती है), अभिसरण की इस तरह के एक गणनीय दर नहीं किया जा सकता है।

T

$T$

y_{i}

$y_i$

i

$i$

y_{i}

$y_i$

x

$x$

x^{'}

$x'$

T

$T$

— बाउर

-1

नहीं या, कम से कम, सबूत तुच्छ नहीं है, क्योंकि आप एक वास्तविक गणना करने के लिए (आम तौर पर कई) संभावित तरीकों में से चुन सकते हैं, और एक संरचना के साथ एक का चयन करने में सक्षम हो सकते हैं जो कुल संपत्ति को चुना है ताकि आप संपत्ति को रोकने की समस्या के परीक्षण को कम नहीं करते हैं।

इसके अलावा, मैं मैं एक बेहतर क्या "nontrivial" का अर्थ है संख्याओं के गुणों WRT की समझ की जरूरत है। राइस के प्रमेय के लिए, "नैन्टिवियल" मूल रूप से गैर-वाक्यगत है और वाक्यविन्यास द्वारा निहित नहीं है। हालांकि प्रत्येक कम्प्यूटेशनल वास्तविक संख्या एक एकल कार्यक्रम नहीं है, बल्कि कार्यक्रमों से भरा एक समतुल्य वर्ग है।

— बॉयड स्टीफन स्मिथ जूनियर।
स्रोत

मुझे यकीन नहीं है कि आपका क्या मतलब है, यहां। क्या आप गणना करने योग्य वास्तविक संख्याओं (जैसे, , , , आदि) और उन्हें संकलित करने वाले कार्यक्रमों के बीच अंतर करने की कोशिश कर रहे हैं? निश्चित रूप से, असीम रूप से कई कार्यक्रम हैं जो प्रत्येक कम्प्यूटेशनल वास्तविक की गणना करते हैं, लेकिन असीम रूप से कई ट्यूरिंग मशीन भी हैं जो किसी भी निर्णायक भाषा को तय करते हैं, और साधारण चावल के प्रमेय को इससे कोई समस्या नहीं है।

2

$2$

22 / 7

$22/7$

π

$\pi$

— डेविड रिचरबी

कम्प्यूटेशनल रियल्स के विभिन्न अभ्यावेदन वास्तव में काफी अलग कम्प्यूटेशनल गुण हैं? मान लीजिए कि मैं en.wikipedia.org/wiki/Computable_number पर परिभाषाओं में से एक का उपयोग कर रहा हूं , उदाहरण के लिए एक कम्प्यूटेशनल वास्तविक को एक प्रोग्राम द्वारा दर्शाया गया है जो एक तर्कसंगत त्रुटि को बाध्य करता है और उस सीमा के भीतर एक सन्निकटन पैदा करता है। मेरा मतलब है "तुच्छ" समान अर्थों में राइस के प्रमेय के रूप में: एक संपत्ति जो सभी कम्प्यूटेशनल रियल पर या उनमें से किसी पर भी लागू होती है। यह सच है कि प्रत्येक संख्या को कई कार्यक्रमों द्वारा दर्शाया जा सकता है, लेकिन यह आंशिक कार्यों के रूप में भी सच है।

— शाचफ

@ शचाफ यह चावल के प्रमेय की तुलना में अधिक "तुच्छ" है। "सिंथेटिक" गुण भी तुच्छ हैं - उदाहरण के लिए "प्रारंभिक अवस्था से कम से कम 4 राज्य हैं", "एक जुड़ा राज्य ग्राफ है", "कोई संक्रमण नहीं है जो एक्स को टेप में लिखता है", आदि - और उन्हें ज़रूरत है हर मशीन पर लागू नहीं।

— बॉयड स्टीफन स्मिथ जूनियर 19

@DavidRicherby हाँ, मुझे लगता है कि भेद आवश्यक है। यदि आप कुल या उत्पादक प्रतिनिधित्व के साथ विशेष रूप से काम करने में सक्षम हैं, तो आपके पास अधिक शक्ति है।

— बॉयड स्टीफन स्मिथ जूनियर।

चावल की प्रमेय आंशिक काम करता है, नहीं एल्गोरिदम कि उन्हें गणना के गुणों के बारे में है। इसी तरह मैं गणनीय reals, नहीं कार्यक्रमों है कि उन्हें गणना के गुणों के बारे में पूछ रहा हूँ।

— शाचफ