गणना करने योग्य संख्याएं (ट्यूरिंग के अर्थ में) असंख्य क्यों हैं?

गणना करने योग्य संख्याएं (ट्यूरिंग के अर्थ में) असंख्य क्यों हैं? यह बहुत स्पष्ट होना चाहिए, लेकिन मैं अभी इसे देख नहीं रहा हूं।

computability turing-machines enumeration

— मिकिएल बोर्केंट
स्रोत

क्या यह केवल इसलिए नहीं है क्योंकि सभी टीएम असंख्य हैं?

— यो '

वह तो होना ही चाहिए।

गणनीय होने का अर्थ है (परिभाषा के अनुसार) एक ट्यूरिंग मशीन है जो प्रत्येक हां-उदाहरण के लिए हां-जवाब के साथ रुकती है। चूंकि कम्प्यूटेबल होने का मतलब है कि एक ट्यूरिंग मशीन है जो हर इनपुट के लिए सही उत्तर के साथ है, यह देखना आसान है कि कम्प्यूटेबल होने का मतलब है कि यह गणना योग्य है (यह एक उप मामला है)।

— जोनास जी।

मुझे नहीं लगता कि इस मामले में यह "कम्प्यूटेबल" का अर्थ है। यह एक निर्माण समस्या है, निर्णय समस्या नहीं।

— लावेला

मैं मान रहा हूं कि एक कम्प्यूटेबल संख्या की आपकी परिभाषा यह है: एक ट्यूरिंग मशीन है जो इनपुट पर है $n$ , के साथ रुक जाता है $n$ संख्या का थोड़ा।

मान लीजिए कि ट्यूरिंग मशीनों की एक पुनरावर्ती गणना होती है जो गणना करने योग्य संख्या का उत्पादन करती है। आप एक नए संगणनीय संख्या के साथ आने के लिए विकर्ण का उपयोग कर सकते हैं जो इस पुनरावर्ती गणन का हिस्सा नहीं है।

ट्यूरिंग मशीनों को एन्यूमरेट करके कंप्यूटेबल नंबरों को एन्यूमरेट करना लुभावना है, लेकिन हर ट्यूरिंग मशीन एक कंप्यूटेबल नंबर से मेल नहीं खाती है, और आम तौर पर यह तय करते हुए कि क्या ट्यूरिंग मशीन सभी इनपुट के लिए रुक जाती है (अकेले या तो आउटपुट हो या 1) कॉम्प्यूटेबल न हो। हालांकि, यह संभव है कि सभी कुशल कम्प्यूटेबल नंबरों को एन्यूमरेट किया जाए, उन लोगों का कहना है, जिनके चलने का समय बहुपद है, जो क्लॉकिंग ट्यूरिंग मशीनों का उपयोग करते हैं।

— युवल फिल्मस
स्रोत

इसलिए भले ही एक सेट की कार्डिनैलिटी (इस मामले में, कंप्युटेबल नंबर्स का सेट) बड़ा नहीं है, फिर दूसरे सेट की कार्डिनैलिटी जो कि सुनने योग्य है (सभी टीएम का सेट), इसका मतलब यह नहीं है कि पहला सेट हो सकता है सूचीबद्ध।

— एंड्रे सूजा लेमोस

यदि गणना करने योग्य है, तो आपका मतलब है कि प्राकृतिक संख्याओं (यानी, गणनीय) के साथ एक आपत्ति है, तो नहीं, गणना योग्य संख्याएं गणना योग्य नहीं हैं।

आइए समस्या को और अधिक सटीक रूप से परिभाषित करें: "नंबर-प्रिंटिंग ट्यूरिंग मशीन (एनपीटीएम)" एक ट्यूरिंग मशीन है जो हर राज्य के संक्रमण के लिए, कुछ भी नहीं प्रिंट कर सकती है, या किसी भी दशमलव अंक, माइनस साइन या अवधि को प्रिंट कर सकती है। यह वास्तविक संख्याओं के दशमलव निरूपण के लिए पर्याप्त है।

किसी भी वास्तविक संख्या के रूप में एक कम्प्यूटेबल वास्तविक संख्या को परिभाषित करने देता है जो एक खाली टेप से शुरू होने वाले एनपीटीएम द्वारा पर्याप्त रूप से दिए गए, मनमाने ढंग से लंबे प्रतिनिधित्व के साथ मुद्रित किया जा सकता है। यह भी कहते हैं कि एक संख्या एक दिए गए NPTM द्वारा गणना की जाती है, अगर यह या तो एक अच्छी तरह से बनाई गई वास्तविक संख्या को प्रिंट करने के बाद रुक जाती है (जिस स्थिति में, संख्या का एक परिमित दशमलव निरूपण होता है) या विल, समय की एक सीमित मात्रा में, अच्छी तरह से प्रिंट संख्या को प्रिंट करता है। एक दशमलव बिंदु के साथ, और कभी अधिक समय को देखते हुए, और अधिक अंकों को प्रिंट करके संख्या की शुद्धता बढ़ाएगा।

यह बाद की स्थिति की आवश्यकता है, क्योंकि अगर हमारे पास एक मशीन है, जो, उदाहरण के लिए, कुछ अंकों के अनंत अनुक्रम को प्रिंट करता है 1111111111111111111, तो ..., यह किसी भी वास्तविक संख्या की गणना करने के लिए नहीं कहा जा सकता है, क्योंकि वास्तविक संख्याओं में केवल दाईं ओर अनंत प्रतिनिधित्व है दशमलव अवधि का पक्ष। दूसरी ओर, यदि मशीन प्रिंट करती है 3.14और फिर छपाई बंद कर देती है, लेकिन कभी भी रुकती नहीं है, तो यह किसी भी वास्तविक संख्या की गणना करने के लिए नहीं कहा जा सकता है क्योंकि संख्या की सटीकता बढ़ नहीं रही है, इस प्रकार, यह विशेष मशीन इसका निर्माण नहीं करेगी। आगे की।

ये NPTM के उदाहरण हैं जो कुछ संख्या की गणना करते हैं। एक एनपीटीएम

प्रिंट 1, फिर रुका। यह संख्या 1 की गणना करता है।
प्रिंट 1.0, फिर रुका। यह नंबर 1 की गणना भी करता है।
प्रिंट करता है 1.0000000, और ज़ीरो को हमेशा के लिए प्रिंट करता रहता है। यह भी संख्या 1 की गणना करता है।
प्रिंट 3.14, फिर रुका। यह संख्या 3.14 की गणना करता है।
प्रिंट करता है 3.14159, और हमेशा के लिए मुद्रण अंकों पर चला जाता है $\pi$ । यह एक संख्या की गणना करता है $\pi$ ।
प्रिंट्स -42., और फिर हाल्ट्स। यह संख्या -42 की गणना करता है।

और ये NPTM के उदाहरण हैं जो किसी संख्या की गणना नहीं करते हैं । एक एनपीटीएम

प्रिंट करता है 123123123और फिर अनुक्रम को 123हमेशा के लिए प्रिंट करता है। एक संख्या की गणना नहीं कर रहा है क्योंकि यह अनंत अनुक्रम किसी भी वास्तविक संख्या का प्रतिनिधित्व नहीं करता है।
प्रिंट 1.0.0और फिर हाल्ट। नहीं है क्योंकि यह परिमित अनुक्रम अच्छी तरह से नहीं बना है।
प्रिंट ....-..---और फिर हाल्ट। नहीं है क्योंकि यह अच्छी तरह से गठित वास्तविक संख्या भी नहीं है।
कभी कुछ नहीं छापता, लेकिन कभी भी नहीं रोकता है। कोई संख्या का निर्माण नहीं किया जा रहा है।
कभी भी कुछ नहीं छापता और तुरंत रुक जाता है। कोई संख्या का निर्माण नहीं किया गया था।
प्रिंट 3.14, रुकता नहीं है, लेकिन कभी भी कुछ और प्रिंट नहीं करता है। संख्या की गणना नहीं कर रहा है क्योंकि इसकी सटीकता समय के साथ नहीं बढ़ रही है।

आपको आइडिया मिल गया है। फिर हमारे पास एनपीटीएम के दो वर्ग हैं: जो कुछ वास्तविक संख्या की गणना करते हैं, और जो नहीं करते हैं।

कम्प्यूटेशनल संख्याओं के लिए कुछ गणना करने में समस्या यह है कि, भले ही NPTM स्वयं गणनीय हो, हमारे पास एक ऐसी प्रक्रिया नहीं हो सकती है जो एक प्रकार के NPTM को दूसरे से अलग करती है।

गणनीय सेट की परिभाषा पर विचार करें: एक सेट के लिए $S$ गिनने योग्य होने के लिए, कुछ विशेषण फ़ंक्शन मौजूद होना चाहिए $F: \mathbb{N} \rightarrow S$ ।

"साबित" करने के लिए कि गणना करने योग्य संख्याएं गिनने योग्य हैं, किसी को एनपीटीएम की गिनती से इस तरह के एक फ़ंक्शन को परिभाषित करने के लिए लुभाया जा सकता है (और यह है कि लोग अक्सर करते थे, जब वे मानते हैं कि गणना योग्य संख्याएं गिनने योग्य हैं)। कुछ इस तरह:

NPTM गणनीय हैं, इसलिए एक विशेषण फ़ंक्शन है $E_\text{NPTM}: \mathbb{N} -> \text{NPTM}$ इस प्रकार, हम हमेशा के लिए मौजूद सभी NPTM की गणना कर सकते हैं। इसलिए, सभी अभिकलन संख्याओं की गणना करने के लिए, और विशेषण फ़ंक्शन को ठीक से परिभाषित करें $E_\text{Computabe}: \mathbb{N} \rightarrow \text{Computable}$ , सभी को बस एनपीटीएम की गणना करनी चाहिए, लेकिन केवल उन गणना करें जो कुछ वास्तविक संख्या की गणना करते हैं। लेकिन हम कैसे जानते हैं कि यह कुछ वास्तविक संख्या की गणना करता है?

खैर, हम नहीं करते। एक मशीन पर विचार करें जो तुरंत प्रिंट करता है 1.0, और फिर मुद्रण बंद कर देता है और पोस्ट पत्राचार समस्या का एक उदाहरण हल करने की कोशिश करता है । यदि यह समस्या को हल करता है, यह रुक जाता है, तो मशीन ने नंबर एक की गणना की। लेकिन यह समस्या अनिर्णायक है, इसलिए यह कभी रुक नहीं सकती है, और यदि यह कभी रुकती नहीं है, तो यह कभी भी वास्तविक संख्या की गणना नहीं करती है। लेकिन हम यह नहीं जान सकते कि क्या यह कभी रुका होगा, क्योंकि हॉल्टिंग समस्या भी अनिर्णायक है! इसलिए, चूंकि यह जानने का कोई तरीका नहीं है कि यह विशेष मशीन, और असीम रूप से कई अन्य मशीनें, या तो कुछ वास्तविक संख्या की गणना करती हैं या नहीं, हम इस तरह से अपने विशेषण फ़ंक्शन का निर्माण / परिभाषित नहीं कर सकते हैं।

जीवद्रव्य को परिभाषित करने का भोला तरीका विफल हो जाता है, और यह साबित करना बहुत मुश्किल नहीं है कि कोई रास्ता नहीं है, जो भी हो। जैसा कि युवल फिल्मस ने सुझाव दिया था, विकर्णीकरण का उपयोग किया जा सकता है।

— lvella
स्रोत

आप शायद कहना चाहते थे कि "गणना करने योग्य संख्याएँ गणना योग्य नहीं हैं" के बजाय "गणना योग्य संख्याएँ गिनने योग्य नहीं हैं"।

— IllidanS4 मोनिका को