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Question

चलो $L_\epsilon$ सभी की भाषा बनो $2$-सीएनएफ के सूत्र $\varphi$, ऐसा कम से कम $(\frac{1}{2}+\epsilon)$ का $\varphi$क्लाज संतुष्ट हो सकते हैं।

मुझे यह साबित करने की जरूरत है कि वहां मौजूद है $\epsilon'$ सेंट $L_\epsilon$ है $\mathsf{NP}$-किसी के लिए भी $\epsilon<\epsilon'$।

हम जानते हैं कि $\text{Max}2\text{Sat}$ के लिए लगभग हो सकता है $\frac{55}{56}$ एक से खंड के पूर्व $\text{Max}3\text{Sat}$कमी। मुझे इसे कैसे हल करना चाहिए?

Answer 1

अपने प्रसिद्ध पत्र में, Håstad से पता चलता है कि यह अधिकतम MAX2SAT से बेहतर एनपी-कठिन है$21/22$। इस संभावना का मतलब है कि उदाहरणों को भेद करने के लिए एनपी-हार्ड है$\leq \alpha$ संतोषजनक और उदाहरण जो हैं $\geq (22/21) \alpha$ संतोषजनक, कुछ के लिए $\alpha \geq 1/2$। अब एक उदाहरण की कल्पना करें ताकि यह एक बन जाए$p$-एक नए उदाहरण का निष्कर्षण, जिसमें से बाकी बिल्कुल है $1/2$-संतोषजनक (कहते हैं कि इसमें समूह के समूह शामिल हैं $a \land \lnot a$)। नंबर अब बन गए$1/2 + p (\alpha - 1/2)$ तथा $1/2 + p((22/21)\alpha - 1/2)$। बाद की संख्या को करीब के रूप में बनाया जा सकता है$1/2$ जैसा हम चाहते हैं।

Comments

क्या आपकी विधि तब काम करती है जब ε एक मनमाना (लेकिन पर्याप्त रूप से छोटा) वास्तविक संख्या है? जब तक मैं out के बारे में कुछ नहीं मान लेता, तब तक मैं यह पता नहीं लगा सकता कि उचित संख्या का उपयोग कैसे करें। (ध्यान दें कि input इनपुट का हिस्सा नहीं है, और इसलिए इसे वास्तविक संख्या पर विचार करने के लिए अच्छी तरह से परिभाषित किया गया है।)

— Tsuyoshi Ito

यहीं से बीच का फासला $1/2+p(\alpha-1/2)$ तथा $1/2+p((22/21)\alpha-1/2)$उपयोगी हो सकता है। यह मानते हुए$\alpha$ तर्कसंगत है, कुछ तर्कसंगत लें $p$, और आपको ठीक करना चाहिए।

— युवल फिल्मस

अहा, किसी तरह मैंने सोचा कि जब मैंने पहले कोशिश की थी तो वह तरीका काम नहीं कर रहा था, लेकिन अब मैं देखता हूं कि यह कैसे काम करता है। धन्यवाद!

— १२:२६ पर त्सुओशी इटो

Answer 2

यदि आप जानते हैं कि ε एक तर्कसंगत संख्या है, तो आपको अपने कथन को साबित करने के लिए Max-2-SAT के लिए अनुपयुक्तता की आवश्यकता नहीं है। मैक्स -2-सैट (उदाहरण के लिए, पापादिमित्रिउ द्वारा पाठ्यपुस्तक कम्प्यूटेशनल जटिलता में एक ) की एनपी-कठोरता का एक विशिष्ट प्रमाण वास्तव में एल _1/5 की एनपी-पूर्णता साबित करता है । की एनपी कठोरता साबित करने के लिए एल _ε के लिए सकारात्मक तर्कसंगत संख्याओं ε <1/5, हम कम कर सकते हैं एल _1/5 करने के लिए एल _ε इस प्रकार है: एक 2CNF सूत्र दिया φ (के लिए एक उदाहरण एल _1/5 ), चलो मीटर हो इसमें खंडों की संख्या। चलो आर औररों धनात्मक पूर्णांक ऐसा है कि (1/5 हो ε ) श्री = 2 ε रों रखती है। फिर एक 2CNF सूत्र (के लिए एक उदाहरण का निर्माण एल _ε ) को दोहराते हुए φ के लिए आर बार और जोड़ने रों का खंडन खंड के जोड़े। एक साधारण गणना से पता चलता है कि यह वास्तव में से एक कमी है एल _1/5 करने के लिए एल _ε ।

यह कमी स्पष्ट रूप से सिर्फ तभी काम करता है ε , तर्कसंगत है, क्योंकि अन्यथा r और रों पूर्णांक के रूप में नहीं लिया जा सकता है। सामान्य मामले में जहां ε जरूरी तर्कसंगत नहीं है, inapproximability की आवश्यकता होती है लगता है के रूप में युवाल Filmus अपने जवाब में लिखा था।