ट्यूरिंग मशीनों से संबंधित एक दिलचस्प मीट्रिक स्थान

इस सवाल में हम केवल ट्यूरिंग मशीनों पर विचार करते हैं जो सभी इनपुटों पर रोकती हैं। अगर $k \in \mathbb{N}$ तब तक $T_k$ हम ट्यूरिंग मशीन जिसका कोड है निरूपित $k$ ।

निम्नलिखित कार्य पर विचार करें

s (x, y) = min {k ∣ | L (T k) \cap {x, y} | = 1}

$s(x,y) = \min\{k \mid |L(T_k) \cap \{x,y\}| = 1\}$

दूसरे शब्दों में, सबसे छोटी ट्यूरिंग मशीन का कोड है जो स्ट्रिंग्स एक को ठीक से पहचानता हैअब हम निम्नलिखित नक्शे को परिभाषित कर सकते हैं $s(x,y)$ $x,y.$

d (x, y) = {2 - s (x, y) 0 if x \neq y, otherwise.

$d(x,y) = \left\{ \begin{array}{ll} 2^{-s(x,y)} & \mbox{if } x \ne y, \\ 0 & \mbox{otherwise.} \end{array} \right.$

यह जल्दी से सत्यापित किया जा सकता है कि एक मीट्रिक स्पेस (वास्तव में एक अल्ट्रामेट्रिक्स) को पर प्रेरित करता है $d(x,y)$ $\Sigma^{*}.$

अब मैं यह साबित करना चाहूंगा कि यदि $f:\Sigma^{*} \mapsto \Sigma^{*}$ एक समान रूप से निरंतर कार्य है तो प्रत्येक पुनरावर्ती भाषा L, $f^{-1}(L)$ लिए भी पुनरावर्ती है।

दूसरे शब्दों में, $f$ को ऐसा मानचित्र कि प्रत्येक $\epsilon > 0$ लिए एक $\delta > 0$ ऐसा है कि यदि स्ट्रिंग के लिए $x,y \in \Sigma^{*}$

d (x, y) \leq δ

$\quad d(x,y) \leq \delta$ तब

d (f (x), f (y)) < ϵ .

$d(f(x),f(y)) < \epsilon.$ फिर हमें यह दिखाना होगा कि

f−1(L) $f^{-1}(L)$ एक पुनरावर्ती भाषा है जिसे

L $L$ पुनरावर्ती है।

अब जैसा कि इस पोस्ट में पहले ही नोट किया गया है कि समस्या को हल करने का एक तरीका यह है कि ट्यूरिंग मशीन है जो एक स्ट्रिंग गणना करती है $x \in \Sigma^{*}$ $f(x).$

मैं इस दावे को साबित कर रहा हूं और धीरे-धीरे सोच रहा हूं कि क्या इसे हल करने के लिए कुछ अन्य दृष्टिकोण है?

संकेत, सुझाव और समाधान का स्वागत है!

computability turing-machines

— जरनेज
स्रोत

आप यह साबित करने की कोशिश क्यों कर रहे हैं? यह मुझे बाणच-माजुर संगणना की याद दिलाता है, जो बहुत अच्छा व्यवहार नहीं है।

— बाउर

@AndrejBauer होमवर्क असाइनमेंट!

— जर्नजी 14

संपादित करें: हटाए गए संकेत, मेरे समाधान को पोस्ट किया।

यहाँ मेरा समाधान है। हम एक संदर्भ बिंदु लेने के लिए जा रहे हैं जहां और से ब्रह्मांड पर विचार और $x$ $f(x) \in L$ $x$ को देखने के के अंक। यह पता चला है कि एक बिंदु का हर "पड़ोस" एक पुनरावर्ती भाषा से मेल खाता है। तो , आस-पास का एक पड़ोस है, और आस-पास कुछ पड़ोस भी होंगे,जो इसके नक्शे बनाते हैं; यह पड़ोस एक पुनरावर्ती भाषा है। $f(x)$ $L$ $f(x)$ $x$

लेम्मा। इस स्थान में, एक भाषा पुनरावर्ती है अगर और केवल अगर यह उसके प्रत्येक तार का पड़ोस है।

सबूत । सबसे पहले, एक पुनरावर्ती भाषा को ठीक और जाने । बता दें कि , लिए एक डीसाइडर का न्यूनतम सूचकांक है । फिर हम है कि अगर , , इसलिए । इस प्रकार कि तात्पर्य $L$ $x \in L$ $K$ $L$ $y \not \in L$ $s(x,y) \leq K$ $d(x,y) \geq 1/2^K$ $d(x,y) < 1/2^K$ । $y \in L$

दूसरा, चलो एक मनमाना स्ट्रिंग और ठीक हो ; चलो । चलो ; तब । फिर हम लिख सकते हैं $x$ $\varepsilon > 0$ $K = \lfloor \log(1/\varepsilon) \rfloor$ $L_K = \{y : d(x,y) < \varepsilon\}$ $L_K = \{y : s(x,y) > K\}$

L K = {y : (\forall j = 1, \dots, K) | L (T j) \cap {x, y} | \neq 1} .

$L_K = \{ y : (\forall j=1,\dots,K) |L(T_j) \cap \{x,y\}| \neq 1\}.$

लेकिन का उपयोग करने योग्य नहीं है: इनपुट , कोई पहले deciders को और पर अनुकरण कर सकता है और स्वीकार कर सकता है और यदि प्रत्येक या तो दोनों को स्वीकार करता है या दोनों को अस्वीकार करता है। $L_K$ $y$ $K$ $x$ $y$ $~\square$

अब हम लगभग हो चुके हैं:

प्रोप। चलो निरंतर होना। अगर $f$ पुनरावर्ती है, तो पुनरावर्ती है। $L$ $f^{-1}(L)$

प्रमाण। एक सतत कार्य के तहत, एक पड़ोस का शिकार एक पड़ोस है।

दिलचस्प बात यह है मुझे लगता है कि इस क्षेत्र में एक सतत समारोह समान रूप से निरंतर है: Let , निरंतर होना के लिए बहुत प्रत्येक बिंदु , प्रत्येक के लिए वहाँ एक इसी मौजूद । एक फिक्स और जाने । आकार की गेंदों की एक निश्चित संख्या में हैं : वहाँ $f$ $x$ $\varepsilon$ $\delta$ $\varepsilon$ $K = \lfloor \log(1/\varepsilon) \rfloor$ $\varepsilon$ ; फिर वहाँ है $L(T_1) \cup L(T_2) \dots \cup L(T_K)$ संबद्ध व्यास के साथ। प्रत्येक ; तो , और इतने पर। की इन भाषाओं से प्रत्येक के लिए सहयोगियों एक preimage भाषा $\overline{L(T_1)} \cup L(T_2) \dots \cup L(T_K)$ $L(T_1) \cup \overline{L(T_2)} \dots \cup L(T_K)$ $f$ $L_i$ $L_i^{\prime}$ $\delta_i$ , $x \in L_i^{\prime}$ । इसलिए हम पर इन परिमित कई न्यूनतम ले जा सकते हैं रों वर्दी निरंतरता निरंतर प्राप्त करने के लिए इस के साथ जुड़े । $d(x,y) \leq \delta_i \implies d(f(x),f(y)) \leq \varepsilon$ $\delta$ $\delta$ $\varepsilon$

— usul
स्रोत

जाहिर है

लेकिन मुझे अभी भी याद है कि कैसे दिखाना है कि

पुनरावर्ती है! d(x′,y′)≤12K $d(x',y') \leq \frac{1}{2^K}$

f−1(L) $f^{-1}(L)$

— जर्नजीज

@Jernej ठीक है, इसलिए सबसे पहले, हम भी है यिद - अगर

तब या तो दोनों

या न ही है। अब हम

लेते हैं $d(x^{\prime},y^{\prime}) > \frac{1}{2^K}$

$L$

। तो फिर वहाँ कुछ है

इसलिए, अगर

, तो

। विशेष रूप से,

साथकुछ

चुनें। अब हम जानना चाहते हैं कि

के अन्य सभी तत्वकहां हैं, और इसलिए

के अन्य सदस्यों को कहां होना चाहिए $\epsilon = \frac{1}{2^K}$

$\delta$

$d(x,y) \leq \delta$

$\left| L \cap \{f(x),f(y)\} \right| = 1$

$x$

$x^{\prime} = f(x) \in L$

$L$ के लिए झूठ रिश्तेदार

$x^{\prime}$

सापेक्ष झूठ? $f^{-1}(L)$

$x$

— usul

@ जेर्नेज मैंने अब अपना समाधान पोस्ट कर दिया है। मुझे आशा है कि मैंने पहले जो पोस्ट किया था वह मददगार था! इस समस्या को पोस्ट करने के लिए धन्यवाद, यह बहुत अच्छा है।

— usul

उत्तर देने के लिए आपका धन्यवाद। संकेतों को पचाने में मुझे थोड़ा समय लगा इसलिए मैंने उत्थान नहीं किया और आपका उत्तर स्वीकार कर लिया!

— जर्नीज

त्वरित प्रश्न। हमने दिखाया है कि

निर्णायक है। मैं यह नहीं देखता कि यह इस प्रकार कैसे पुनरावर्ती है? खिचड़ी भाषा यह है कि नकली

कभी नहीं रुकता है? $L_K$

$T_j$

— जर्नियज