कुल छात्र समय को कम करने के लिए प्रश्नों का इष्टतम अनुक्रम खोजना

Question

मान लीजिए कि एक विश्वविद्यालय में एक ट्यूटोरियल सत्र है। हमारे पास प्रश्नों का एक सेट है और छात्रों का एक सेट S = \ {s_1 \ ldots s_n \} । प्रत्येक छात्र को प्रश्नों के एक निश्चित सबसेट में संदेह होता है, अर्थात प्रत्येक छात्र के लिए s_j , Q_j \ subseteq Q प्रश्नों का समूह होता है, जिससे किसी छात्र को संदेह होता है। मान लें कि \ forall 1 \ Leq जे \ Leq n: Q_j \ neq \ फ़ाई और \ bigcup_ {1 \ Leq जे \ Leq n} Q_j = क्यू ।$k$$Q = \{ q_1 \ldots q_k \}$$n$$S = \{ s_1 \ldots s_n \}$$s_j$$Q_j \subseteq Q$$\forall 1 \leq j \leq n: Q_j \neq \phi$$\bigcup_{1\leq j\leq n}Q_j = Q$

सभी छात्र शुरुआत में ट्यूटोरियल सत्र में प्रवेश करते हैं ( $t = 0$ )। अब, एक छात्र ट्यूटोरियल सत्र को छोड़ देता है जैसे ही सभी प्रश्न जिसमें उसे संदेह है, उस पर चर्चा की गई है। मान लीजिए कि प्रत्येक प्रश्न पर चर्चा करने के लिए लिया गया समय बराबर है, 1 इकाई ^ * कहें $^*$। चलो $t_j$ समय द्वारा खर्च हो $s_j$ ट्यूटोरियल सत्र में। हम एक इष्टतम क्रमचय \ sigma का पता लगाना चाहते हैं $\sigma$जिसमें प्रश्नों पर चर्चा की जाती है $(q_{\sigma(1)} \ldots q_{\sigma(n)})$ ऐसी मात्रा $T_\sigma = \Sigma_{1\leq j \leq n}t_j$ को छोटा किया जाता है।

मैं एक बहुपद समय एल्गोरिथ्म डिजाइन करने में सक्षम नहीं है, या $\mathsf{NP}$ -hardness साबित करता हूं।

हम समस्या के एक निर्णय संस्करण को परिभाषित कर सकते हैं

$$\mathsf{TUT} = \{\langle k, n, \mathcal{F}_Q, C \rangle \mid \exists \sigma : T_{\sigma} \leq C\}$$

जहां \ mathcal {F} _Q Q_j$\mathcal{F}_Q$ का सेट है । $Q_j$

हम तो कम से कम पता कर सकते हैं $T_\sigma$ पर द्विआधारी खोज का उपयोग $C$ और इष्टतम पता लगाने के $\sigma$ आंशिक करने के लिए कार्य का उपयोग कर $\sigma$ के लिए एक दैवज्ञ का उपयोग कर बहुपद समय में $\mathsf{TUT}$ । इसके अलावा, $\mathsf{TUT} \in \mathsf{NP}$ क्योंकि इष्टतम $\sigma$ को एक प्रमाण पत्र के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है जिसे हम बहुपद समय में आसानी से सत्यापित कर सकते हैं।

मेरा प्रश्न: Is या क्या हम इसके लिए एक बहुपद समय एल्गोरिदम डिज़ाइन कर सकते हैं?$\mathsf{TUT}$ $\mathsf{NP}$

सिडेनोट: वैसे, मैंने एक वास्तविक ट्यूटोरियल सत्र के बाद इस प्रश्न के बारे में सोचा, जिसमें टीए ने सामान्य क्रम में प्रश्नों पर चर्चा की , जिसके कारण कई छात्रों को अंत तक इंतजार करना पड़ा।$q_1 \ldots q_n$

उदाहरण
Let और । और । हम देख सकते हैं कि एक इष्टतम क्योंकि उस स्थिति में, पत्तियों के बाद और पत्तियों के बाद , इसलिए योग 4. है , लेकिन अगर हम में सवाल पर चर्चा आदेश , फिर और दोनों को अंतिम और तक इंतजार करना होगा , इसलिए योग 6 है।$k=3$$n=2$$Q_1 = \{q_3\}$$Q_2 = \{q_1, q_2, q_3\}$$\sigma = \langle 3, 1, 2 \rangle$$s_1$$t_1 = 1$$s_2$$t_2 = 3$
$\langle 1, 2, 3\rangle$$s_1$$s_2$$t_1 = t_2 = 3$

$^*$ आप अधिक सामान्य मामले को हल करने के लिए स्वतंत्र हैं जहां प्रत्येक प्रश्न चर्चा करने के लिए इकाइयों को लेता है !$q_i$$x_i$

Comments

बस स्पष्ट होने के लिए: क्या सभी छात्र एक ही समय में प्रवेश करते हैं, या वे उसी क्षण से प्रवेश करते हैं जब उनका पहला प्रश्न पूछा जाता है?

— छिपकली

@Discretelizard सभी छात्र शुरुआत में एक ही समय में प्रवेश करते हैं (टी = 0 पर)।

— skankhunt42

वर्तमान परिभाषा में, प्रश्न सेट अद्वितीय हैं, अर्थात अधिकांश छात्रों में प्रश्नों का एक सेट है। यह एक उचित सरलीकरण हो सकता है, लेकिन मुझे शक है इस यथार्थवादी है (और मुझे शक है यह बहुत समस्या की जटिलता के लिए करना होगा)

— असतत छिपकली

मुझे लगता है कि दो छात्रों के प्रश्नों का सटीक समान सेट हो सकता है, इसलिए प्रतीक्षा समय दो से गुणा किया जाएगा।

— gnasher729

Answer 1

मुझे एनपी-हार्ड होने के लिए समस्या पर संदेह है । मैं दिखाऊंगा कि समस्या को कैसे बदलना है, यह दृढ़ता से एक समस्या से संबंधित है जो एनपी-हार्ड है। (हां, यह सब अस्पष्ट है। मुझे मूल रूप से लगता है कि मेरा सामान्य दृष्टिकोण सही है, लेकिन मैं वर्तमान में आगे बढ़ने में असमर्थ हूं।)$\mathsf{TUT}$

सबसे पहले, ध्यान दें कि समस्या का सुधार निम्न प्रकार से किया जा सकता है:$\mathsf{TUT}$

प्रश्नों के एक सेट को देखते हुए , का आकार , सबसेट का एक सेट और एक पूर्णांक , वहाँ एक अनुक्रम ऐसा है, जो सभी :$Q$$k$$n$$\mathcal{F}_Q\subseteq \mathcal{P}(Q)$$C$$\Sigma : \langle S_1,\ldots, S_k\rangle$$i \in\{1,\ldots,k\}$

1. $S_i\subseteq Q$ और ; तथा$|S_i|=i$
2. $S_i \subset S_j$ सभी ; तथा$j>i$
3. $\sum_{i=1}^k |\{q\in\mathcal{F}_Q\mid q\not\subseteq S_i\}| \leq C$ ?

ध्यान दें कि सेट पहले प्रश्नों का प्रतिनिधित्व करता है जिन्हें समझाया जाएगा। परिस्थितियां 1 और 2 यह सुनिश्चित करती हैं कि इस व्याख्या के अनुसार सबसेट का गठन किया गया है। शर्त 3 ​​उन छात्रों की मात्रा को गिनाती है जो समय पर हर पल नहीं छोड़ते हैं, इसलिए यह वास्तव में सभी छात्रों के बीच कुल प्रतीक्षा समय तक रहता है।$S_i$$i$

अब, हम इन के आकार को से तक सीमित कर देते हैं, इसलिए हम इन सबसेट्स को एक ग्राफ़ पर किनारों के रूप में दर्शा सकते हैं जहाँ कोने से तत्व हैं । (इस विशेष मामले के लिए एक कठोरता परिणाम सामान्य समस्या की कठोरता के लिए पर्याप्त है)$\mathcal{F}_Q$$2$$Q$

अब, छोटा करने की समस्याएक (यह अनिवार्य रूप से शर्त 2 की अनदेखी कर रहा है) निम्नलिखित समस्या के बराबर है, जिसे मैं ' ':$|\{q\in\mathcal{F}_Q\mid q\not\subseteq S_i\}|$$i$$\mathsf{\text{Double max $k$-vertex-cover}}$

एक अप्रत्यक्ष ग्राफ और पूर्णांक और को देखते हुए , क्या अधिकांश पर के आकार का एक सेट मौजूद है जैसे कि सेट आकार कम से कम ?$G=(V,E)$$k$$t$$V'\subseteq V$$k$$\{(u,v)\in E\mid u\in V' \wedge v \in V' \}$$t$

यह समस्या एनपी-हार्ड है, क्योंकि -clique इस समस्या का एक विशेष मामला है, क्योंकि यह उत्तर दिखाता है। हालाँकि, यह NP- हार्ड होने के लिए को साबित करने के लिए पर्याप्त नहीं है , क्योंकि हमें शर्त का सम्मान करते हुए हर लिए अधिकतम खोजने की आवश्यकता है । यह शर्तें हर अनुक्रम द्वारा संतुष्ट नहीं हैं जो केवल शर्त को संतुष्ट करती हैं 1 और 3: तिरछे चक्रों पर ग्राफ को दो असमान चक्रों के साथ विचार करें , आकार , अन्य आकार । के लिए , में सभी कोने का चयन चक्र, अधिकतम देता है, जबकि के सभी कोने का चयन चक्र के लिए इष्टतम है$k$$\mathsf{TUT}$$i$$\Sigma$$7$$4$$3$$i=3$$3$$4$$i=4$ ।

ऐसा लगता है कि स्थिति 2 समस्या को और भी कठिन बना देती है और निश्चित रूप से आसान नहीं है, जिसका अर्थ है कि को NP-hard होना चाहिए, लेकिन मैंने औपचारिक रूप से इसे साबित करने के लिए कोई विधि नहीं देखी है।$\mathsf{TUT}$

इसलिए, संक्षेप में, मैंने निम्नलिखित प्रश्न को कम कर दिया है:

• क्या लिए कठोरता प्रमाण को पूरा करने के लिए शर्त 2 को शामिल करना संभव है ?$\mathsf{TUT}$

---

साइड नोट: मैंने जो फॉर्म्युलेशन दिया है, वह इसे पुनरावृत्ति एल्गोरिथ्म की कोशिश करने के लिए लुभाता है जो पाता है2 से हालत के तहत , लिए सभी अधिकतम सेटों के सभी अधिकतम 'विलोपन' प्राप्त करके । यह एक कुशल एल्गोरिथ्म के लिए नेतृत्व नहीं करता है, क्योंकि एक एकल पुनरावृत्ति में अधिकतम सेट की मात्रा में घातीय हो सकती है । साथ ही, मैं निर्धारित करने के लिए कुछ के लिए एक सबसेट है कि क्या एक विधि नहीं देखा है अंत में 'वैश्विक' सबसेट के एक घातीय राशि जाँच को रोकने के लिए अधिक से अधिक हो जाएगा।$|\{q\in\mathcal{F}_Q\mid q\not\subseteq S_i\}|$$i=1\ldots k$$i-1$$k$$i$