क्या एक ऐसा कार्य है जो बहुपद समय में हल करने योग्य है लेकिन बहुपद समय में सत्य नहीं है?

Question

मेरे एक सहकर्मी और मैंने अभी-अभी हमारे एक प्रोफेसर के कुछ नोट्स लिए हैं। नोट बताता है कि ऐसे कार्य हैं जो बहुपद समय में हल करने के लिए संभव हैं (पीएफ की कक्षा में हैं) लेकिन यह बहुपद समय में सत्यापन योग्य नहीं हैं (एनपीएफ के वर्ग में नहीं हैं)।

इन वर्गों के बारे में विस्तार से बताने के लिए: हम कुछ इनपुट एक्स प्राप्त करते हैं और कुछ आउटपुट वाई का उत्पादन करते हैं जैसे कि (एक्स, वाई) हमारे कार्य का प्रतिनिधित्व करने वाले आर के संबंध में हैं। यदि बहुपद समय में X के लिए Y प्राप्त करना संभव है, तो कार्य PF के वर्ग का है। यदि बहुपद-लंबाई प्रमाणपत्र जेड को सत्यापित करना संभव है जो एक ट्यूपल (एक्स, वाई) साबित करता है कि बहुपद समय में आर के संबंध में है, तो कार्य एनपीएफ के वर्ग से संबंधित है।

हम निर्णय की समस्याओं के बारे में बात नहीं कर रहे हैं, जहां उत्तर बस हाँ या नहीं (अधिक औपचारिक रूप से अगर कुछ स्ट्रिंग किसी भाषा का है)। निर्णय की समस्याओं के लिए यह प्रतीत होता है कि पीएफ एनपीएफ का एक उचित उपसमूह है। हालाँकि, अन्य कार्यों के लिए यह अलग हो सकता है।

क्या आप एक ऐसे कार्य के बारे में जानते हैं जिसे बहुपद समय में हल किया जा सकता है लेकिन बहुपद समय में सत्यापित नहीं किया जाता है?

Comments

शायद मुझे गलतफहमी है, लेकिन निम्नलिखित एक बहुपद-समय सत्यापन एल्गोरिथ्म क्यों नहीं है? यह देखते हुए $(x,y)$ , बहुपद-काल एल्गोरिथ्म का उपयोग करते हुए अपने आप में फ़ंक्शन गणना करें $f(x)$, और यदि पर "सही" लौटें $f(x)=y$। क्या यह संभव है कि आप गलत पढ़े या प्रोफेसर को गलत लगे और यह कहने के बजाय कि बहुपद के समय में समस्याएँ हैं, लेकिन बहुपद के समय में हल नहीं है?

— लीयूवे विन्खुइजेन

@LieuweVinkhuijzen "यह कहने के लिए कि बहुपद समय में सत्यापन योग्य समस्याएं हैं लेकिन बहुपद समय में हल करने योग्य नहीं हैं?" [रेफरी। जरूरत है]

— टी। वेरॉन

@ T.Verron Haha हाँ, मुझे भी इस दावे के लिए प्रोफेसर के प्रमाण को देखकर बहुत खुशी होगी;)

— Lieuwe Vinkhuijzen

Answer 1

यह केवल तभी संभव है जब किसी दिए गए इनपुट के लिए कई स्वीकार्य आउटपुट हों। यानी, जब संबंध कोई फ़ंक्शन नहीं है क्योंकि यह विशिष्टता का उल्लंघन करता है।$R$

उदाहरण के लिए, इस समस्या पर विचार करें:

यह देखते हुए (एकल में प्रतिनिधित्व) और एक टीएम एम , उत्पादन एक और टीएम एन ऐसी है कि एल ( एम ) = एल ( एन ) और # एन > n (जहाँ # एन एन्कोडिंग के लिए खड़ा है (गोडेल की संख्या) एन एक में प्राकृतिक संख्या)$n \in \mathbb{N}$$M$$N$$L(M)=L(N)$$\# N > n$$\# N$$N$

इसे हल करना तुच्छ है: टीएम कुछ निरर्थक राज्यों को जोड़ना जारी रखें , संभवतः उनके बीच कुछ डमी संक्रमण के साथ, जब तक कि इसकी एन्कोडिंग एन से अधिक न हो जाए । यह टीएम पर पैडिंग लेम्मा का एक बुनियादी दोहराया अनुप्रयोग है। इसके लिए n पैडिंग की आवश्यकता होगी , जिनमें से प्रत्येक एक राज्य को जोड़ सकता है, इसलिए यह बहुपद में किया जा सकता है।$M$$n$$n$

दूसरी ओर, दिया गया है , यह जांचना अनिर्दिष्ट है कि N , n , M के इनपुट के लिए सही आउटपुट है या नहीं । वास्तव में, L ( M ) = L ( N ) की जाँच करना अपरिहार्य है (चावल प्रमेय लागू करें), और बाधा # N > n केवल सूक्ष्मता से कई N को जोड़ती है$n,M,N$$N$$n,M$$L(M)=L(N)$$\#N > n$$N$ उन लोगों से s । चूंकि हम एक अयोग्य समस्या से तत्वों की एक सीमित मात्रा को हटाते हैं, इसलिए हमें अभी भी एक अयोग्य समस्या मिलती है।

आप उन भिन्नताओं को प्राप्त करने के लिए अयोग्य संपत्ति को भी बदल सकते हैं जो अभी भी संगणनीय हैं लेकिन NP हार्ड या पूर्ण हैं। उदाहरण के लिए n (unary में) यह एक ग्राफ G की गणना करने के लिए तुच्छ है , जिसमें n -clique है। लेकिन n , G को देखते हुए यह जांचना मुश्किल है कि n -clique मौजूद है या नहीं।$L(M)=L(N)$$n$$G$$n$$n,G$$n$

Comments

उम्मीद है कि ऐसा न हो। बहुत बढ़िया जवाब!

— फिलिप हगलुंड

इस सवाल का जवाब नहीं है। ओपी ने विशेष रूप से सामान्य अर्थों में सत्यापित नहीं होने वाली समस्या के लिए कहा, जहां, इनपुट और कथित उत्तर के अलावा, हमें एक प्रमाणपत्र मिलता है जो उत्तर की शुद्धता को प्रमाणित करता है। आपके मामले में, प्रमाण पत्र है जो बिट्स को nondeterministically नए समतुल्य ट्यूरिंग मशीन बनाने के लिए उपयोग किया जाता है। M , N और z को देखते हुए , यह जांचना आसान है कि z मशीन M को देता है या नहीं । जेड के बिना , सवाल यह है कि क्या (एनपीसी) भाषाओं के कठिन उदाहरणों को उत्पन्न करना आसान है, जो कि केवल मिनिकक्रिप्ट और क्रिप्टोमेनिया में सच है। $z$$M, N$$z$$z$$M$$z$

— लीयूवे विन्खुइजेन

@chi सभी जोड़े को प्रमाणित किया जा सकता है, लेकिन आपके एल्गोरिदम द्वारा उत्पन्न जोड़े एम , एन के सेट को प्रमाणित किया जा सकता है। प्रमाण पत्र के उत्पादन अपने एल्गोरिथ्म की प्रतिलिपि है एन से एम (उदाहरण के लिए "के साथ शुरू M , तो यह राज्य जोड़ने के लिए, और इस संक्रमण, फिर ... और देखा, जोड़ने एन !")। सामान्य तौर पर, यदि T एक नॉनडेर्मिनिस्टिक एल्गोरिथ्म है, जिसे x दिया गया है , तो हमेशा एक स्वीकार्य y की गणना करता है , तो T ( x ) की गणना पथ का एक प्रतिलेख एक प्रमाण पत्र है जो किसी दिए गए y को स्वीकार्य है।$M, N$$M, N$$N$$M$$M$$N$$T$$x$$y$$T(x)$$y$

— Lieuwe Vinkhuijzen

@chi There is a slight nuance in the question: For an arbitrary relation $R$, it is possible that not all admissible $y$ are certifiable, and you give an elegant example. However, the question does not ask whether admissible but uncertifiable relations exist (the answer is yes, by your example), instead it asks whether we can have an algorithm which produces admissible, uncertifiable output. The answer, here, must be no, because of the argument above.

— Lieuwe Vinkhuijzen

@ मैं नहीं जानता कि ओपी क्या पूछना चाहता है, लेकिन मुझे आपका उत्तर बहुत ही रोशन करने वाला लगा, फिर भी, मैंने कुछ सीखा! imo सवाल को आप जिस तरह से पढ़ते हैं, या समान रूप से " एक ही तरह के कार्यों को करते हैं? " (हो सकता है) या " एनपी समस्याओं के कठिन उदाहरण उत्पन्न करने के लिए आसान हो? " (मुझे उम्मीद है कि आरएसए के लिए), या? जिस तरह से मैंने इसे पढ़ा, के रूप में " Is ?$NP\subsetneq P$ " (कोई)।

— लेउवे विन्खुइजेन

Answer 2

यह केवल @ ची के उत्तर के पहले वाक्य का विस्तार है, क्योंकि मुझे यह स्पष्ट नहीं लगा।

विचार यह है, यदि आपके पास एक एल्गोरिथ्म है जो बहुपद समय में कुछ समस्या का उत्तर ढूंढता है, तो दो संभावनाएं हैं:

1. आपने पहले (गणितीय रूप से) यह साबित कर दिया है कि एल्गोरिथ्म का आउटपुट समस्या का समाधान है, इस स्थिति में, एल्गोरिथ्म के चरण स्वयं शुद्धता का प्रमाण बनाते हैं।

2. आपके पास यह जांचने के लिए एक अलग एल्गोरिथ्म है कि आउटपुट वास्तव में एक समाधान है, जिस स्थिति में आपको इस एल्गोरिथ्म को चलाना चाहिए (अन्यथा आप केस # 1 के तहत गिर रहे होंगे), इसका मतलब है कि आप इसे बहुपद समय में कर रहे हैं।

इसलिए, ऐसी कोई समस्या नहीं हो सकती है।

Comments

मैं # 2 नहीं समझता। क्या मतलब है कि विभिन्न एल्गोरिथ्म बहुपद समय में चलता है?

— अल्बर्ट हेंड्रिक्स

@AlbertHendriks: यदि सत्यापनकर्ता बहुपद समय में नहीं चलता है, तो मूल सॉल्वर बहुपद समय में एक सही समाधान खोजने का दावा नहीं कर सकता है, क्योंकि यह सुनिश्चित करने के लिए सत्यापनकर्ता को चलाने की जरूरत है कि इसका समाधान सही है।

— मेहरदाद