ट्यूरिंग मशीन के रुकने के बराबर गणितीय अनुमान

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यह प्रश्न इस बारे में है कि क्या प्रत्येक गणितीय प्रमेय को इस प्रश्न के लिए कम किया जा सकता है कि क्या एकल ट्यूरिंग मशीन रुकती है। विशेष रूप से, मुझे ऐसे अनुमानों में दिलचस्पी है जो वर्तमान में अप्रमाणित हैं।

उदाहरण के लिए: विकिपीडिया कहता है कि यह वर्तमान में अज्ञात है कि क्या कोई विषम संख्या है। चूंकि यह निर्णायक है कि क्या कोई दी गई संख्या सही है, इसलिए कोई ट्यूरिंग मशीन लिख सकता है जो प्रत्येक विषम संख्या को बारी-बारी से जांचता है और यदि वह सही है तो उसे खोज लेता है। (यह ट्यूरिंग मशीन कोई इनपुट नहीं लेती है।) अगर हमें पता होता कि क्या ट्यूरिंग मशीन रुक जाती है, तो हमें पता चलता कि क्या अनुमान सही है, और इसके विपरीत।

हालांकि, एक अन्य उदाहरण के रूप में, जुड़वां primes अनुमान के बारे में क्या ? यह निर्णायक है कि क्या एक दी गई संख्या एक जुड़वां जोड़ी में पहला प्रमुख है, लेकिन इस मामले में हम केवल तब रुक नहीं सकते हैं जब हम पहली बार पाते हैं, क्योंकि सवाल यह है कि क्या कोई अनंत संख्या है। यह मेरे लिए स्पष्ट नहीं है कि क्या ट्यूरिंग मशीन बनाना संभव है, जो केवल और केवल तभी जुड़ता है जब जुड़वां प्राइम अनुमान सही हों।

हम निश्चित रूप से एक ट्यूरिंग मशीन बना सकते हैं, जो केवल और केवल तभी जुड़ती है जब पीनो अंकगणित या किसी अन्य औपचारिक प्रणाली के भीतर जुड़वाँ प्रमेय सिद्ध हो, लेकिन यह एक अलग प्रश्न है, क्योंकि यह सच हो सकता है, लेकिन उस विशेष प्रणाली में जो हम चुन सकते हैं।

तो मेरे सवाल हैं

क्या ट्यूरिंग मशीन बनाना संभव है, जो केवल और केवल तभी जुड़ती है जब जुड़वाँ प्रिन्सेस अनुमान सही हो? (और यदि हां, तो कैसे?)
क्या यह संभव है, सामान्य रूप से, एक ट्यूरिंग मशीन बनाने के लिए जो कुछ दिए गए गणितीय कथन सत्य है और केवल तभी रुकता है? क्या औपचारिक विवरण से इस ट्यूरिंग मशीन का निर्माण एल्गोरिदम से किया जा सकता है?
यदि यह सामान्य रूप से संभव नहीं है, तो क्या गणितीय कथनों को वर्गीकृत करने का कोई तरीका है कि क्या वे एक एकल ट्यूरिंग मशीन के ठहराव के बराबर हैं, या एक ओरेकल , आदि के साथ एक ट्यूरिंग मशीन ? यदि हां, तो क्या यह वर्गीकरण किसी दिए गए कथन के लिए निर्णायक है?

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— नथानिएल
स्रोत

"सत्य" का क्या अर्थ है? किस प्रकार के मॉडल हम इस सत्य के सापेक्ष मूल्यांकन कर रहे हैं? आपको लगता है कि पहले मुझे लगता है परिभाषित करना होगा।

— जेक

मुझे लगता है कि ऐसी सभी ट्यूरिंग मशीनें केवल उकसावे का परीक्षण कर सकती हैं। यहां तक कि अगर आप पीई में स्पष्ट बयान पर स्पष्ट रूप से ध्यान नहीं दे रहे हैं, तब भी आप दूसरे रूप में प्रमाण की तलाश कर रहे हैं। अंतर यह है कि विषम पूर्ण संख्या अस्तित्व स्पष्ट रूप से सच और अप्राप्य दोनों नहीं हो सकता है, जबकि जुड़वां प्राइम हो सकता है।

— कारोलिस जुओडेलो

ट्यूरिंग मशीनों का उपयोग करके बेशुमार सेट के बारे में कोई अनुमान व्यक्त नहीं किया जा सकता है।

— राफेल

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आपके प्रश्न का उत्तर अंकगणितीय पदानुक्रम द्वारा दिया गया है । एक अजीब सही संख्या का अस्तित्व एक है बयान है, और एक का उपयोग कर ताकि आप इसे परीक्षण कर सकते हैं मशीन है, जो हाल्ट बयान iff सच है। जुड़वां प्रधानमंत्री अनुमान एक है बयान है, और इसलिए आप हॉल्टिंग ओरेकल जो बयान iff हाल्ट गलत है करने के लिए उपयोग के साथ एक टीएम निर्माण कर सकते हैं। $\Sigma_1$ $\Sigma_1$ $\Pi_2$

एक सख्त तार्किक अर्थ में, आप हमेशा एक ट्यूरिंग मशीन बना सकते हैं जो iff स्टेटमेंट को है: $\phi$

यदि रखती है, तो एक मशीन जो हाल्ट ले। $\phi$
यदि नहीं रखता है, तो एक मशीन जो पड़ाव नहीं है ले लो। $\phi$

यह देखने के लिए कि यह निर्माण वैध है, अपने कथन के तार्किक रूप पर विचार करें:

आप कुछ अलग प्रश्न पूछकर इस भ्रम को दूर कर सकते हैं:

\forall ϕ \exists T . ϕ \Leftrightarrow T halts .

$\forall \phi \exists T . \phi \Leftrightarrow T\text{ halts}.$

क्या बयान का एक सेट है इस तरह के एक ट्यूरिंग मशीन जिस पर हाल्ट मौजूद है iff मान्य है? $\Phi$ $\phi \in \Phi$ $\phi$

कि ऊपर मैं संकेत दिया है बयान इस तरह के एक सेट के रूप में। $\Sigma_1$

— युवल फिल्मस
स्रोत

धन्यवाद, मुझे लगता है कि अंकगणितीय पदानुक्रम वही है जो मैं पूछ रहा था। मुझे लगता है कि जो मैं वास्तव में पूछना चाहता था, "क्या ट्यूरिंग मशीनों के लिए गणितीय कथनों का कुल संगणनात्मक कार्य है (ट्यूरिंग मशीन जो कोई इनपुट नहीं लेती है, जैसे कि दिए गए कथन के अनुरूप मशीन, यदि कथन सत्य है तो?" लेकिन निश्चित रूप से यह आपके द्वारा प्रस्तावित संस्करण के बराबर है।

— नथानिएल

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$f(1)=2$ $f(2)=4$ $f(n+1)=f(n)!$ $n \geq 2$ $n$ $\Theta_n$

S \subseteq {x_{i}! = x_{k} : i, k \in {1, \dots, n}} \cup {x_{i} \cdot x_{j} = x_{k} : i, j, k \in {1, \dots, n}}

$S \subseteq \{x_i! = x_k: i,k \in \{1,\ldots,n\}\} \cup \{x_i \cdot x_j=x_k: i,j,k \in \{1,\ldots,n\}\}$

$x_1,\ldots,x_n$ $1$ $(x_1,\ldots,x_n)$ $\min(x_1,\ldots,x_n) \leq f(n)$ $\Theta_1,\ldots,\Theta_{16}$

$\Theta_{16}$ $f(16)+3$ $W \subseteq \mathbb{N}$ $W$ $W$ $W$

$\Theta_{16}$ $0'$

— अपोलोनियस टिज़्का
स्रोत