प्रूफ या पी = एनपी के विकार का सबूत जटिलता

Question

क्या P = NP समस्या के समाधान के प्रमाण जटिलता पर कोई शोध हुआ है? यदि नहीं, तो समस्या पर प्रगति की कमी को देखते हुए, क्या यह अनुमान लगाना अनुचित होगा कि P = NP समस्या को हल करने वाले किसी भी प्रमाण के लिए एक सुपर-बहुपद संख्या की आवश्यकता होगी?

Comments

शायद मैं आपके सवाल को नहीं समझ रहा हूँ, लेकिन पी बनाम एनपी के लिए कोई भी संकल्प एक निरंतर आकार का प्रमाण होगा, हाँ?

— कर्ट म्यूलर

@ कर्ट मुलर। प्रमाण में P = NP समस्या को एन्कोड करने के लिए आवश्यक प्रतीकों की संख्या के आधार पर एक सुपर-बहुपद संख्या की आवश्यकता होगी।

— टोनी जॉनसन

एक निरंतरता में @TonyJohnson Superpolynomial अभी भी एक स्थिर है।

— डेविड रिचेर्बी

Answer 1

यह ज्ञात है कि सुपर-बहुपद सर्किट कम सीमा (जो कि तुलना में थोड़े मजबूत बयान हैं ) के किसी भी प्रमाण के लिए संकल्प जैसे कमजोर प्रूफ सिस्टम में सुपर-बहुपद, यहां तक ​​कि घातीय आकार के प्रमाण की आवश्यकता होती है। इसे मजबूत करने के लिए प्रूफ सिस्टम को सामान्य बनाना एक जानी मानी खुली समस्या है।$P\neq NP$

ए। रज़ोरोव द्वारा इस सर्वेक्षण के खंड 5 को देखें जहाँ ये चीजें दिखाई गई हैं।

Answer 2

प्रमाण जटिलता केवल तभी समझ में आता है जब एक पैरामीटर आधार पर बयानों का क्रम होता है । उदाहरण के लिए, प्रस्ताव P H P n राज्यों (अनौपचारिक रूप से) में कहा गया है कि कोई भी आपत्ति नहीं है [ n + 1 ] → [ n ] । प्रस्ताव का यह क्रम कुछ निश्चित प्रूफ सिस्टम के लिए कठिन है।$n$$\mathsf{PHP}_n$$[n+1] \to [n]$

बयान ताकि आप सीधे इसे करने के लिए सबूत जटिलता लागू नहीं कर सकते, एक भी बयान है। हालांकि, बयान के निम्न क्रम विशेष कार्यों के लिए, मेकअप भावना करता है रों ( एन ) : "क्या आकार का कोई सर्किट है रों ( एन ) सही ढंग से लंबाई की घटनाओं के लिए सैट को सुलझाने n "। यह साहित्य में माना जाता है, उदाहरण के लिए रज़बोरोव (जो एक समान प्रमाण जटिलता की स्थापना पर विचार करते हैं, अर्थात, बाउंड अंकगणित)।$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$s(n)$$s(n)$$n$

Answer 3

हमारे पास 3 मामले हैं:

• एक प्रमाण मौजूद है कि । वहाँ एक एल्गोरिथ्म समस्या को हल कर रहा है " O ( 1 ) समय में चलने वाले P = N P " एक प्रमाण को खाली करें । यह ट्यूरिंग मशीन में ही प्रमाण को हार्ड-कोड करता है, और इसका उत्सर्जन करता है। यह उसी समय चलता है, जब इसके इनपुट में कोई फर्क नहीं पड़ता।$P = NP$$P=NP$$O(1)$

• इसी तरह, अगर वहाँ एक सबूत है कि मौजूद है , की तुलना में हम एक एल्गोरिथ्म में इस सबूत उत्सर्जक लिख सकते हे ( 1 ) समय।$P\neq NP$$O(1)$

• यदि किसी भी मामले का कोई सबूत मौजूद नहीं है, तो के लिए कोई प्रमाण खोजने की न्यूनतम जटिलता की तुलना में : कोई भी ट्यूरिंग मशीन कभी भी किसी भी प्रकार के प्रमाण को रोक नहीं सकती और उत्सर्जित कर सकती है, क्योंकि ऐसा कोई भी प्रमाण मौजूद नहीं है।$O(\infty)$

सिर्फ इसलिए कि हमें कोई प्रमाण नहीं मिला है इसका मतलब यह नहीं है कि इसका अस्तित्व नहीं है, और जो मौजूद है उसके संदर्भ में जटिलता वर्गों को परिभाषित किया गया है।

अधिक सटीक रूप से, हम सटीक रूप से यह नहीं जान सकते हैं कि या काफिले का प्रमाण मिलना कितना कठिन है जब तक कि हम परिणाम को नहीं जानते हैं, किस प्रकार का हार बिंदु है।$P=NP$

हम जो जानते हैं, वह यह है कि, सामान्य रूप से, "तर्क में एक कथन ले लो और यह निर्धारित करें कि क्या इसके लिए कोई प्रमाण है" यह समस्या अनिर्णायक है। इसलिए कोई जेनरिक प्रूफ-जनरेटिंग प्रक्रिया नहीं है, जिसे हम P बनाम NP में प्लग कर सकते हैं, जो परिणाम उत्पन्न करने की गारंटी है।

Answer 4

यदि P = NP है, तो आपको केवल कुछ NP- पूर्ण समस्या को हल करने के लिए एक बहुपद समय एल्गोरिथ्म बनाने की आवश्यकता है, और यह साबित करें कि यह वास्तव में बहुपद है (जो कठिन हो सकता है, उदाहरण के लिए सिम्पलेक्स एल्गोरिथ्म आमतौर पर बहुत तेजी से चलता है लेकिन यह साबित होता है कि) यह तेजी से चलता है अविश्वसनीय रूप से कठिन लगता है)।

ठीक है, यह बहुत मुश्किल हो सकता है। मान लें कि हमें एक एल्गोरिथ्म मिला है, जो ओ में ट्रैवलिंग सेल्समैन की समस्या को हल करता है ($n^{100}$

Comments

ठीक है, लेकिन मैं यह नहीं देखता कि यह सवाल का जवाब कैसे देता है। प्रमाण जटिलता कंप्यूटर विज्ञान का एक विशिष्ट क्षेत्र है; सवाल सिर्फ यह नहीं पूछ रहा है " पी = हल करना कितना मुश्किल होगा ?"$\mathbf{P}\overset{?}=\mathbf{NP}\,$? "

— डेविड रिचरबी

वहाँ भी (संभावना नहीं है, लेकिन पूरी तरह से संभव) परिणाम है कि पी = एनपी है, लेकिन वहाँ है कोई provably समान रूप से जैसे SAT के लिए बहुपद समय एल्गोरिथ्म।

— स्टीवन स्टडीनिकी