SAT के लिए निम्न समस्या को कम करें

Question

यहाँ समस्या है। यह देखते हुए है, जहां प्रत्येक टी मैं ⊆ { 1 , ... , n } । वहाँ एक सबसेट है एस ⊆ { 1 , ... , n } अधिक से अधिक आकार के साथ कश्मीर ऐसी है कि एस ∩ टी मैं ≠ ∅ सभी के लिए मैं ? मैं सैट के लिए इस समस्या को कम करने की कोशिश कर रहा हूं। एक समाधान का मेरा विचार एक चर x $k, n, T_1, \ldots, T_m$$T_i \subseteq \{1, \ldots, n\}$$S \subseteq \{1, \ldots, n\}$$k$$S \cap T_i \neq \emptyset$$i$$x_i$प्रत्येक 1 से । प्रत्येक के लिए टी मैं , एक खंड बनाने के ( एक्स मैं 1 ∨ ⋯ ∨ एक्स मैं कश्मीर ) यदि टी मैं = { मैं 1 , ... , मैं k } । तब और ये सभी एक साथ क्लॉज़ होते हैं। लेकिन यह स्पष्ट रूप से एक पूर्ण समाधान यह बाधा है कि प्रतिनिधित्व नहीं करता है के रूप में नहीं है एस अधिक से अधिक होना आवश्यक है कश्मीर तत्वों। मुझे पता है कि मुझे अधिक चर बनाने होंगे, लेकिन मुझे यकीन नहीं है कि कैसे। इसलिए मेरे दो सवाल हैं:$n$$T_i$$(x_{i_1} \vee \cdots \vee x_{i_k})$$T_i = \{i_1, \ldots, i_k\}$$S$$k$

1. क्या मेरा विचार सही रास्ते पर है?
2. नए चर कैसे बनाए जाने चाहिए ताकि उनका उपयोग कार्डिनैलिटी बाधा के प्रतिनिधित्व के लिए किया जा सके ?$k$

Comments

बस एक टिप्पणी: आपकी समस्या को HITTING SET के रूप में जाना जाता है , जो SET COVER समस्या के समतुल्य सूत्रीकरण है।

— शुकुल

Answer 1

ऐसा लगता है कि आप आकार k के एक हाइपरग्राफ ट्रांसवर्सल की गणना करने की कोशिश कर रहे हैं । यानी, { T 1 , … , T m } आपका हाइपरग्राफ है, और S आपका ट्रांसवर्सल है। एक मानक अनुवाद क्लॉस को व्यक्त करना है जैसा कि आपके पास है, और फिर लंबाई प्रतिबंध का कार्डिनलिटी बाधा में अनुवाद करें।$k$$\{T_1,\dots,T_m\}$$S$

तो अपने मौजूदा एन्कोडिंग, यानी उपयोग करते हैं, और फिर एन्कोडिंग शर्तें जोड़ें Σ 1 ≤ मैं ≤ n x मैं ≤ k ।$\bigwedge_{1 \le j \le m} \bigvee_{i \in T_j} x_i$$\sum_{1 \le i \le n} x_i \le k$

एक प्रमुखता बाधा। सैट में विभिन्न विभिन्न कार्डिनैलिटी बाधा अनुवाद हैं।$\sum_{1 \le i \le n} x_i \le k$

सबसे सरल बल्कि बड़ी प्रमुखता बाधा अनुवाद है बस । इस तरह प्रत्येक अलगाव का प्रतिनिधित्व करता है बाधा ¬ ⋀ मैं ∈ एक्स एक्स मैं - सभी सबसेट के लिए एक्स की { 1 , ... , n $\bigwedge_{X \subseteq \{1,\dots,n\}, |X| = k+1} \bigvee_{i \in X} \neg x_i$$\neg \bigwedge_{i \in X} x_i$$X$$\{1,\dots,n\}$का आकार k + 1। यही है, हम यह सुनिश्चित करते हैं कि ऐसा कोई तरीका नहीं है कि k से अधिक चर सेट किए जा सकें। ध्यान दें कि यह k में बहुपद का आकार नहीं है$k$

और अधिक स्थान की कुशल प्रमुखता बाधा अनुवाद पर कागजात के लिए कुछ लिंक जिसमें बहुपद आकार के होते हैं $k$ :

• एसएटी में निकोडे ईलेन और निकलास सोरेंसन, जेएसएटी खंड 2 (2006), पृष्ठ 1-26 (एक अच्छा सर्वेक्षण) में छद्म-बूलियन बाधाओं का अनुवाद करना ।
• बूलियन कार्डिनैलिटी बाधाओं के कुशल CNF एन्कोडिंग - ओलिवियर बाइल्यूक्स और यासीन बूफखड, प्रोसीडिंग्स ऑफ प्रिंसिपल्स एंड प्रैक्टिस ऑफ कॉन्सट्रेंट प्रोग्रामिंग 2003, एलएनसीएस वॉल्यूम 2833, पृष्ठ 108-122 (अनुवाद को लागू करने के लिए एक अच्छा, काफी आसान)।
• बूलियन कार्डिनलिटी की कमी के एक इष्टतम CNF एन्कोडिंग की ओर - कार्स्टन सिनज़ - सिद्धांतों की कार्यवाही और कांस्ट्रेक्ट प्रोग्रामिंग 2005 का अभ्यास, LNCS 3709, पृष्ठ 827-831।
• कार्डिनैलिटी बाधाओं के रोबस्ट सीएनएफ एन्कोडिंग्स की ओर - जोआ मार्केस-सिल्वा और इनस लिनस, प्रोसीडिंग्स ऑफ प्रिन्सिपल्स एंड प्रैक्टिस ऑफ कॉन्सट्रेंट प्रोग्रामिंग 2007, एलएनसीएस 4741, पीजी 483-497।

यदि आप वास्तव में इस तरह की समस्याओं को हल करने में रुचि रखते हैं, तो शायद उन्हें छद्म-बूलियन समस्याओं के रूप में तैयार करना बेहतर है ( स्यूडो-बूलियन समस्याओं पर विकी लेख देखें ) और स्यूडो-बूलियन सॉल्वर का उपयोग करें (देखें छद्म-बूलियन प्रतियोगिता )। इस तरह से कार्डिनैलिटी की बाधाएं सिर्फ छद्म बूलियन बाधाएं हैं और भाषा का हिस्सा हैं - उम्मीद है कि छद्म बूलियन सॉल्वर तब सीधे उन्हें संभालता है और इसलिए अधिक कुशलता से।

Comments

कृपया शीघ्र ही सभी लिंक का वर्णन करें (कम से कम लेखक और शीर्षक) ताकि लोग पा सकें कि दस्तावेजों को लिंक टूटना चाहिए। यदि उपलब्ध हो तो संभवतः DOI का उपयोग करना सबसे अच्छा है।

— राफेल

@ राफेल गुड पॉइंट! क्षमा याचना, जो मुझे शुरू करनी चाहिए थी। मैंने अब सभी लिंक अपडेट कर दिए हैं; मुझे यकीन नहीं है कि अगर स्प्रिंगर डीओआई प्रदान करते हैं लेकिन लिंक को तोड़ने पर उन्हें खोजने के लिए अब पर्याप्त जानकारी होनी चाहिए। नोट: मैं एक्सेस की समस्याओं से बचने के लिए स्प्रिंगर के आधिकारिक PDF से लिंक नहीं करता।

— MGwynne 12

लेकिन ऐसा लगता है कि आपने जो कमी दी है वह बहुपद में नहीं है, है ना?

— एडन डोंग

@AdenDong आपने बहुपद के बारे में कुछ नहीं कहा;) सरल प्रमुखता बाधा अनुवाद मैं उल्लेख में बहुपद नहीं है (लेकिन तय करने के लिए है कश्मीर )। जिन पत्र-पत्रिकाओं की सूची में कार्डिनैलिटी बाधा अनुवाद दिए गए हैं, वे हैं - नए चर का उपयोग करते हुए कश्मीर में बहुपद । मैंने इसे स्पष्ट करने के लिए अपना उत्तर अपडेट कर दिया है। $k$$k$$k$

— MGwynne

MGwynne, मैं हमेशा आधिकारिक DOI को लिंक करता हूं, भले ही इसे भविष्य के प्रमाण के रूप में भुगतान किया जाए, और इसके अतिरिक्त संस्करण भी। लेकिन जैसा कि यह अब है, किसी को भी कागजात खोजने में सक्षम होना चाहिए, इसलिए यह पूरी तरह से ठीक है।

— राफेल

Answer 2

यदि आप सामान्य SAT पर पूरी तरह से सेट नहीं हैं, तो आपका विचार पहले से ही MIN-ONES (सकारात्मक CNF फ़ार्मुलों पर) में कमी है, जो मूल रूप से SAT है, लेकिन जहाँ आप अधिकांश वेरिएबल्स को सही पर सेट कर सकते हैं (सख्ती से यह अनुकूलन है वह संस्करण जहां हम सच्चे चर की संख्या को कम करते हैं)।$k$

इसी प्रकार यदि आप एक पैरामिट्रीकृत जटिलता दिशा में सिर, WSAT तो आप पहले से ही मूल रूप से मिल गया है ( ), जहां Γ + 2 , 1 सभी सकारात्मक CNF सूत्रों के वर्ग (पहले की तरह ही है, अंकन मदद कर सकता है आपके जांच हालांकि)। इस मामले में आपको यह देखना शुरू करना होगा कि आपके मामले में कौन सा पैरामीटर उपयोगी होगा।$\Gamma_{2,1}^{+}$$\Gamma_{2,1}^{+}$

मुझे लगता है कि आप एक स्पष्ट कमी की तलाश कर रहे हैं, लेकिन यदि नहीं, तो आप हमेशा कुक-लेविन प्रमेय में वापस आ सकते हैं ।