प्रेस्बर्गर अंकगणित की दोहरी घातीय जटिलता के प्रमाण में प्रयुक्त चाल

मैंने इसे MathUnderflow पर पोस्ट किया, लेकिन कोई उत्तर नहीं मिला, इसलिए मैंने सोचा कि मैं इसे यहाँ आज़माऊंगा,

मैं राबिन और फिशर के पुराने पेपर को पढ़ रहा हूं [संभव होने पर एक लिंक पोस्ट करेगा] जहां अन्य बातों के अलावा, प्रेस्बर्गर अंकगणित की दोहरी घातीय जटिलता साबित होती है।

प्रमाण एक सूत्र अनौपचारिक रूप से " साथ" के अस्तित्व पर निर्भर करता है । यद्यपि इस सूत्र का निर्माण कागज में नहीं दिया गया है, जो मुझे यह देखते हुए आश्चर्यचकित कर रहा था कि यह निश्चित रूप से बहुत ही निरर्थक है, यह बाध्य है और इस तथ्य को देखते हुए कि हमारे पास केवल हमारे निपटान में है! Formula $I_{n}(x)$ $x < 2^{2^{kx+1}}$ $|I_{n}| \in O(n)$

मुझे बाद में पता चला कि इस फॉर्मूले का निर्माण एक "ट्रिक" पर निर्भर करता है, जिसे पहले फिशर द्वारा खोजा गया था, और स्वतंत्र रूप से वोल्कर स्ट्रैसेन द्वारा किया गया था, लेकिन मैंने इस ट्रिक का विस्तार से वर्णन करते हुए एक पेपर को ट्रैक करने में कामयाबी नहीं पाई है!

इसलिए अगर किसी को पता है कि मैं जिस पेपर के बारे में बात कर रहा हूं, वह या तो मुझे अपनी दिशा में इंगित कर सकता है या यहां तक कि मेरे लिए चाल का भी वर्णन कर सकता है ...

लिप्टन के ब्लॉग के इस पोस्ट में पेपर के साथ-साथ उल्लेखों का एक लिंक है [और मेरे लिए एक मोटा, दुर्भाग्य से अपर्याप्त है], कहा ट्रिक, BTW।

This मुझे पता है कि यह एक अस्पष्ट वर्णन है। हालांकि, एक पर्याप्त विस्तृत विवरण एक एसएक्स पोस्ट के लिए बहुत लंबा होगा, इसलिए मुझे उम्मीद है कि कोई व्यक्ति जो पहले से ही प्रश्नपत्र के बारे में जानता है - और इस तरह से उस संक्षिप्त स्केच के साथ कर सकता है - यह मेरी मदद करने में सक्षम है ।

complexity-theory reference-request logic

— भीगा हुआ
स्रोत

और बीच क्या संबंध है ? या यह होना चाहिए ?

n

$n$

k

$k$

2^{2^{n x + 1}}

$2^{2^{nx+1}}$

— शाल

आप यहां फिशर और राबिन पेपर डाउनलोड कर सकते हैं ।

— मार्टिन बर्जर

निर्माण है समाचार पत्र में दिए गए: पृष्ठ 14-15 पर प्रमेय 8 (वास्तविक बयान पेज 16 पर उपप्रमेय 9)।

— युवल फिल्मस

मार्टिन की टिप्पणी (और युवल का अनुसरण) संदर्भ देता है जो कुछ विस्तार से निर्माण की व्याख्या करता है।

क्योंकि मुझे लगता है कि यह एक भव्य सबूत है मैं थोड़ा विस्तार से बता देंगे: मूल रूप से यह पीए (इसके अलावा और गुणा के साथ गणित) के undecidability की "सामान्य" सबूत प्रदर्शन कर रहा है, लेकिन करने के लिए relativized $2^{2^{c\cdot n}}$ ! यही है, एक छोटा (संक्षिप्त) सूत्र है जो उस संख्या तक गुणन को व्यक्त करता है, अर्थात एक सूत्र जैसे कि $M_n(x,y,z)$

M_{n} (x, y, z) \Leftrightarrow x \times y = z \land x < 2^{2^{n}}

$M_n(x,y,z) \Leftrightarrow x\times y=z\ \wedge x< 2^{2^n}$

अब आप का निर्माण पर प्रेरण द्वारा , एक महत्वपूर्ण चाल है कि की याद ताजा करती है के साथ Karatsuba एल्गोरिथ्म द्विआधारी संख्या या आव्यूह गुणन के लिए कुछ खास गुर गुणा करने के लिए: $M_n$ $n$

लिए परिभाषा में आप $M_{n+1}(x,y,z)$

M_{n} (x_{1}, y_{1}, z_{1}) \land M_{n} (x_{2}, y_{2}, z_{2}) \land M_{n} (x_{3}, y_{3}, z_{3})

$M_{n}(x_1,y_1,z_1)\wedge M_{n}(x_2,y_2,z_2)\wedge M_{n}(x_3,y_3,z_3)$

लेकिन आप इसे

\forall u v w, (u = x_{1} \land v = y_{1} \land w = z_{1}) \lor (u = x_{2} \land v = y_{2} \land w = z_{2}) \lor (u = x_{3} \land v = y_{3} \land w = z_{3}) \Rightarrow M_{n} (u, v, w)

$\forall u v w,(u=x_1\wedge v=y_1\wedge w=z_1)\vee(u=x_2\wedge v=y_2\wedge w=z_2)\vee(u=x_3\wedge v=y_3\wedge w=z_3)\Rightarrow M_n(u,v,w)$

यह चाल एक घातांक एक ( एक समारोह के रूप में ) के बजाय आकार में रैखिक वृद्धि की अनुमति देती है । $n$

इसमें कुछ अन्य चालें शामिल हैं, लेकिन यह मुख्य है। पुनरावृत्ति के आंतरिक महत्वपूर्ण हैं, निश्चित रूप से, लेकिन करतसुबा चाल की समानता वास्तव में काफी हड़ताली है।

— कोड़ी
स्रोत

कुछ लोग के प्रमाण से मात्रात्मक चाल को पहचान सकते हैं ।

P S P A C E = N P S P A C E

$PSPACE=NPSPACE$

— एरियल