यदि (λ x। xx) का प्रकार है, तो क्या टाइप सिस्टम असंगत है?

Question

यदि एक प्रकार की प्रणाली एक प्रकार को λ x . x xया गैर-समाप्ति के लिए असाइन कर सकती है (λx . x x) (λ x . x x), तो क्या वह प्रणाली परिणाम के रूप में असंगत है? क्या हर प्रकार उस व्यवस्था के अंतर्गत है? क्या आप झूठे साबित हो सकते हैं?

Answer 1

निश्चित रूप से, एक प्रकार को असाइन करना है नहीं प्रणाली में: विसंगति के लिए पर्याप्त , हम कर सकते हैं प्राप्त $\lambda x. x\ x$λ एक्स । एक्स एक्स : ( ∀ एक्स $F$

$$\lambda x.x\ x:(\forall X.X)\rightarrow (\forall X.X)$$

एक बहुत ही सरल तरीके से (यह एक अच्छा व्यायाम है!)। हालाँकि, इस प्रणाली में को इस प्रणाली में अच्छी तरह से टाइप नहीं किया जा सकता है, यह मानते हुए कि 2 क्रम अंकगणित का -consistency है, क्योंकि इसका अर्थ है कि सभी अच्छी तरह से टाइप की गई शर्तें सामान्य हो रही हैं।$(\lambda x.x\ x)(\lambda x.x\ x)$ $\omega$

इसके अलावा, सिस्टम सुसंगत है। यह, या तो सामान्य से इस प्रकार एक दिखा सकते हैं कि के प्रकार के किसी भी अवधि एक सामान्य रूप है, या एक बहुत सरल तर्क है, जिसमें प्रत्येक प्रकार एक सेट असाइन किया गया है नहीं हो सकता है, या तो या और यह दिखाया जा सकता है कि सभी व्युत्पन्न प्रकारों को को असाइन किया गया है , और को (और इसलिए व्युत्पन्न नहीं है) सौंपा गया है।∀ एक्स । X ∅ { ∅ } { ∅ $F$$\forall X.X$$\varnothing$$\{\varnothing\}$$\{\varnothing\}$$\forall X.X$$\varnothing$

बाद वाले तर्क को पहले क्रम के अंकगणित में अंजाम दिया जा सकता है। यह तथ्य कि को एक सुसंगत प्रणाली में अच्छी तरह से टाइप किया जा सकता है, कुछ हद तक परेशान किया जा सकता है, और यह सिस्टम की प्रतिरूपता का परिणाम है । यह एक आश्चर्य के रूप में नहीं आना चाहिए कि कुछ लोग तर्क के impredicative सिस्टम की विश्वसनीयता पर सवाल उठाते हैं। हालाँकि, इस तरह की प्रणालियों में अब तक कोई विसंगतियां नहीं पाई गई हैं।$\lambda x.x\ x$

दूसरी ओर, अधिक सामान्य अभिकथन करने में सक्षम होने के लिए एक सुसंगत प्रणाली में अच्छी तरह से टाइप नहीं किया जा सकता है, आपको अपने "पर्याप्त" तार्किक संरचना की आवश्यकता है प्रकार प्रणाली स्पष्ट रूप से स्थिरता को परिभाषित करने में सक्षम होने के लिए। फिर आपको यह दिखाने की ज़रूरत है कि एक सिर के बिना एक सामान्य रूप (ऊपर वाला) किसी भी प्रकार का हो सकता है, जो स्पष्ट नहीं है!$(\lambda x.x\ x)(\lambda x.x\ x)$

अधिक विवरण मेरे संबंधित प्रश्न के उत्तर में पाया जा सकता है: /cstheory//a/31321/3984

Comments

उन उत्तरों को पढ़ने से मैं आपको स्पष्ट रूप से मामले की अच्छी समझ रखता हूं। मैं और अधिक सीखना चाहता हूं, लेकिन मुझे यकीन नहीं है कि मुझे कहां देखना है। मैंने TAPL पुस्तक के माध्यम से देखा है और इसका कोई उल्लेख नहीं है, इसलिए मुझे यकीन नहीं है कि यह एक प्रकार का विषय है। क्या आप मुझे बता सकते हैं कि सीएस / गणित क्षेत्र इस प्रश्न से संबंधित हैं, और शायद कुछ किताबें / लेख? आपका बहुत बहुत धन्यवाद।

— MaiaVictor

मुझे यकीन नहीं है कि ये सवाल प्रति शोध का एक क्षेत्र है , कुछ और मजेदार सवालों की तरह, जो बहुत पहले ही जवाब दे चुके होते अगर विशेषज्ञों से कुछ गंभीर प्रयास होते। यह निश्चित रूप से एक प्रकार का सिद्धांत विषय है, और शुद्ध प्रकार प्रणाली के सिद्धांत से समस्या को निश्चित और विवश करने का लाभ है। मैं शायद दूसरे धागे से Coquand-Herbelin पेपर की सिफारिश करूंगा।

— कोड़ी

इसी तरह के सवाल उदाहरण के लिए, कहा गया है यहाँ और यहाँ । मैं सूची में Barendregt के "प्रकार के साथ लैम्ब्डा कैल्कुली" जोड़ूंगा ।

— कोड़ी

$\lambda x : (\forall X . X) . \Lambda Y . x [Y \to Y] \; (x [Y])$$(\forall X . X) \to (\forall X . X)$

$\lambda$$\lambda x:(\forall X.X). x[(\forall X.X)\rightarrow(\forall X.X)]\ x$यदि आप चाहते हैं। यहाँ प्रकार का अनुमान असाध्य है, लेकिन यह प्रश्न के लिए कुछ हद तक रूढ़िवादी है। जब आप निर्भर प्रकार होते हैं तो चीजें निश्चित रूप से इतनी स्पष्ट नहीं होती हैं, लेकिन उदाहरणार्थ सीओसी के निहितार्थ मात्राएँ (Miquel की पथरी के निहित निर्माण) हैं, इसलिए प्रश्न प्रासंगिक बना हुआ है।

— कोड़ी