संभवतः नकारात्मक भार के साथ भारित निर्देशित एसाइक्लिक ग्राफ में न्यूनतम सेंट कट

मैं निम्नलिखित समस्या में भाग गया:

वास्तविक-मूल्यवान बढ़त भार के साथ एक निर्देशित चक्रीय ग्राफ को देखते हुए, और दो कोने एस और टी, न्यूनतम सेंट कट की गणना करते हैं।

सामान्य रेखांकन के लिए यह एनपी-हार्ड है, क्योंकि एक व्यक्ति अधिकतम बढ़त को उल्टा करके इसे अधिकतम रूप से कम कर सकता है (यदि मैं गलत हूं तो मुझे सुधारें)।

डीएजी के साथ क्या स्थिति है? क्या मिनिन-कट (या अधिकतम-कट) को बहुपद समय में हल किया जा सकता है? क्या यह एनपी-हार्ड है और, यदि हां, तो क्या कोई ज्ञात सन्निकटन एल्गोरिदम हैं?

मैंने इस पर काम खोजने की कोशिश की, लेकिन (शायद मैं अपनी खोजों में गलत कीवर्ड का उपयोग कर रहा था), इसलिए मैं उम्मीद कर रहा था कि किसी को इस बारे में कुछ पता हो (या मिल सकता है)।

— जॉर्ज
स्रोत

मिन-कट का रैखिक-प्रोग्रामिंग फॉर्मूला यहाँ कहाँ विफल होता है?

— पीटर शोर

( en.wikipedia.org/wiki/… से अंकन का उपयोग करते हुए ): नकारात्मक भार वाले किनारों के लिए d_ {ij} मनमाने ढंग से बड़े हो सकते हैं। भले ही ऊपर से एक d_ {ij} सीमा हो, यह हमेशा नकारात्मक भार वाले किनारों के लिए अधिकतम संभव मूल्य लेगा। तो इस तरह के कार्यक्रम का समाधान हमेशा एक वैध सेंट कट नहीं होगा। मैं गलत हो सकता हूं क्योंकि मैं इस तरह की समस्याओं से बहुत अनुभवी नहीं हूं, अगर ऐसा है तो कृपया मुझे सुधारें। मूल रूप से मैं यह जानना चाहूंगा कि अधिकतम कटौती (मनमानी भार के साथ) डीएजी के लिए कुशलता से हल की जा सकती है या नहीं।

— जॉर्ज

इस काम को करने के लिए, आपको पहली असमानता को एक समानता में बदलना होगा:

d_{i j} = p_{j} - p_{i}

$d_{ij} = p_j - p_i$ । मैं अभी भी नहीं देखता कि यह तब क्यों विफल हो जाता है, लेकिन शायद मैं कुछ याद कर रहा हूं। मैंने इसके बारे में ज्यादा नहीं सोचा है।

— पीटर शोर

यह शायद मैं ही हूं जो यहां कुछ याद कर रहा हूं। क्या यह गारंटी देता है कि सभी

p_{i}

$p_i$ अभिन्न मान लें? कोई बांध सकता था

p_{i}

$p_i$ 1 से ऊपर से, लेकिन मुझे यकीन नहीं है कि यह काम करता है या नहीं। समस्या यह प्रतीत होती है कि यदि इसे हल किया जा सकता है, तो किनारे के वजन को उल्टा करके अधिकतम-कटौती को कम किया जा सकता है, जो कि संभव नहीं है क्योंकि अधिकतम-कट एनपी-हार्ड है। हालांकि मैं यहां गलत हो सकता हूं।

— जॉर्ज

क्या डीएजी के लिए सेंट-कट एनपी-हार्ड है? यदि ग्राफ़ डीएजी नहीं है, तो आप उस असमानता को एक समानता में नहीं बदल सकते, क्योंकि चक्र होने पर आपको असमानता की आवश्यकता होती है। तो सामान्य मामले में एलपी नकारात्मक भार के साथ काम नहीं करता है।

— पीटर शोर

आपने टिप्पणियों में अपनी समस्या को कुछ और परिष्कृत किया है। अधिक विशिष्ट होने के लिए, आपके पास स्रोत से दूर बहने वाले सभी किनारों के साथ एक डीएजी है $s$ और सिंक की ओर $t$ (यह है, सभी किनारों से एक रास्ते पर हैं $s$ सेवा $t$ )। आप डीएजी के दो टुकड़ों के बीच न्यूनतम कटौती का पता लगाना चाहते हैं, जहां पहला टुकड़ा जुड़ा हुआ है $s$ , और दूसरे से जुड़े $t$ । इस समस्या के लिए, मिन-क्यूट कार्यों के लिए मानक रेखीय-प्रोग्रामिंग एल्गोरिथ्म का एक प्रकार, नकारात्मक बढ़त भार के साथ भी।

हम विकिपीडिया की तरह ही नोटेशन का उपयोग करते हैं । बढ़त की कीमत $(i,j)$ है $c_{ij}$ । हमने एक संभावित कार्य किया $p_i$ प्रत्येक नोड पर, और चलो $d_{ij} = p_i - p_j$ । एलपी है

\begin{aligned} म मैं n मैं म मैं z इ & \underset{(मैं, जे) \in इ}{Σ} {सी}_{मैं जे} घ_{मैं जे} \\ रों यू ख जे इ सी टी टी ओ & घ_{मैं जे} = {पी}_{मैं} - {पी}_{जे} \forall (मैं, जे) \in इ \\ घ_{मैं जे} \geq 0 \forall (मैं, जे) \in इ \\ {पी}_{रों} = 1 \\ {पी}_{टी} = 0 \end{aligned}

$\begin{align*} \mathrm{minimize\ } & \sum_{(i,j) \in E} c_{ij} d_{ij} \\ \mathrm{subject\ to\ } & \ \ \ d_{ij} = p_i - p_j \ \ \forall (i,j) \in E \\ &\ \ \ d_{ij} \geq 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \, \forall (i,j) \in E \\ & \ \ \ p_s\, = 1 \\ & \ \ \ p_t \, = 0 \end{align*}$

ये समीकरण इसकी गारंटी देते हैं $0 \leq p_i \leq 1$ , क्योंकि प्रत्येक शिखर कुछ पर है $s$ - $t$ पथ। इसी तरह, चूंकि $d_{ij} = p_i - p_j$ गैर-नकारात्मक है, किसी भी मार्ग से संभावित $s$ सेवा $t$ कम हो रहे हैं। हमें अभी भी यह दिखाने की ज़रूरत है कि सभी के साथ एलपी का एक इष्टतम समाधान है $p_i$ भी $0$ या $1$ । यह इस तथ्य से निम्नानुसार है कि एलपी के समाधान के लिए मूल्य में कटौती का अपेक्षित मूल्य है $C_w$ , कहाँ पे $w$ में बेतरतीब ढंग से चुना जाता है $[0,1]$ , और कहाँ काटा $C_w$ सभी कोने लगाकर प्राप्त किया जाता है $i$ साथ में $p_i\geq w$ कोने के पहले सेट में, और सभी कोने के साथ $p_i < w$ दूसरे सेट में।

— पीटर शोर
स्रोत

आपके उत्कृष्ट उत्तर के लिए धन्यवाद पीटर। यह पहली नजर में स्पष्ट नहीं था

0 \leq p_{i} l e q 1

$0 \leq p_i leq 1$ , लेकिन मुझे लगता है कि मुझे मिल गया। हालांकि, मुझे अभिन्न समाधान के बारे में तर्क को समझने में कुछ परेशानी है।

— जॉर्ज

@ जॉर्ज: यह वही तर्क है जो दिखाता है कि नियमित मिन-कट एलपी में अभिन्न समाधान हैं। ऑनलाइन कहीं एक लंबा (और अधिक संक्षिप्त) स्पष्टीकरण होना चाहिए।

— पीटर शोर

ठीक है मैं इसके लिए खोज करूंगा। आपकी मदद के लिए फिर से बहुत बहुत धन्यवाद!

— जॉर्ज