साधारण बहुभुजों का अनोखा त्रिभुज दोहरीकरण

Question

एक साधारण बहुभुज के त्रिभुज (स्टीनर अंक के बिना) को देखते हुए $P$, कोई इस त्रिकोण के दोहरे पर विचार कर सकता है, जिसे निम्नानुसार परिभाषित किया गया है। हम अपने त्रिभुज में प्रत्येक त्रिकोण के लिए एक शीर्ष बनाते हैं, और यदि संगत त्रिभुज एक किनारे साझा करते हैं, तो हम दो कोने जोड़ते हैं। दोहरे ग्राफ को अधिकतम तीन डिग्री वाले वृक्ष के रूप में जाना जाता है।

मेरे आवेदन के लिए, मुझे निम्नलिखित में दिलचस्पी है। एक पेड़ दिया$T$ अधिकतम तीन डिग्री के साथ, क्या हमेशा एक साधारण बहुभुज होता है $P$ इस तरह के हर त्रिकोणीय (स्टीनर अंक के बिना) के दोहरी $P$ के बराबर है $T$। यहाँ, के त्रिकोणासन$P$ अद्वितीय नहीं हो सकता है, लेकिन मुझे इसकी आवश्यकता है कि दोहरी ग्राफ़ अद्वितीय हो।

यह निश्चित रूप से सच है जब $T$ एक रास्ता है, लेकिन जब आप डिग्री तीन के कोने होते हैं तो अस्पष्ट हो जाता है।

Comments

जरूरी नहीं कि दोहरे ग्राफ एक पेड़ हो। इस तारे जैसी आकृति पर विचार करें , जो एक किनारे (पूर्ण या आंशिक) को साझा करने की आपकी परिभाषा के आधार पर या तो 4 कोने, या 4-चक्र का एक असंबद्ध ग्राफ है।

— २०:१६

अच्छी पकड़! मैं यह उल्लेख करना भूल गया कि मैं अपने त्रिकोणों में स्टीनर बिंदुओं की अनुमति नहीं देता। मैं सवाल अपडेट करूंगा।

— निज़बेल ९९

दिलचस्प सवाल है, लेकिन मैं उत्सुक हूं कि यह क्या आवेदन हो सकता है। क्या तुम बता सकते हो?

— छिपकली

Answer 1

एक पेड़ दिया $T$ अधिकतम तीन डिग्री के साथ, क्या हमेशा एक साधारण बहुभुज होता है $P$ इस तरह के हर त्रिकोणीय (स्टीनर अंक के बिना) के दोहरी $P$ के बराबर है $T$?

हाँ। यह दिखाने के लिए, मैं एक परिणाम देने के लिए प्रतीत होता है कि थोड़ा मजबूत परिणाम प्राप्त होगा *:

एक पेड़ दिया $T$ अधिकतम तीन डिग्री के साथ, एक साधारण बहुभुज का निर्माण करें $P$, ऐसा है कि अद्वितीय ट्राईऐन्ग्युलेशंस की$P$ (स्टीनर अंक के बिना) है $T$ इसके दोहरे के रूप में।

एक प्रारंभिक त्रिकोण बनाकर शुरू करें $\Delta_0$, कुछ शीर्ष का प्रतिनिधित्व करते हैं $v_0$ में $T$ और जोड़ $v_0$ कतार में $Q$। फिर, निम्नलिखित तक दोहराएं$Q$ खाली है:

• शीर्ष तत्व पॉप, $v$, कतार से।
• प्रत्येक पड़ोसी शिखर के लिए $w$ जिसके लिए हमने एक त्रिभुज अभी तक नहीं रखा है, एक पक्ष चुनें $AB$ त्रिकोण का $\Delta_v$ और एक बिंदु $D$ लाइन के माध्यम से उत्पन्न शंक्वाकार क्षेत्रों के अंदर $AB$ और इसके पड़ोसी खंड, जैसे कि त्रिकोण $\Delta ABD$किसी अन्य त्रिभुज को नहीं काटता है। (नीचे आंकड़ा देखें) सेट करें$\Delta_w\leftarrow\Delta ABD$ और जोड़ $w$ सेवा $Q$।

यह छवि एक संभावित बहुभुज का उदाहरण देती है $P$ (बाएं) दिए गए के लिए $T$ (सही)

यह देखने के लिए कि यह प्रक्रिया क्यों काम करती है, पहले ध्यान दें कि एक नया त्रिकोण बनाने के बाद, सेगमेंट $AB$ तथा $AD$ एक शंकु उत्पन्न करते हैं जिसमें एक गैर-खाली क्षेत्र होता है जो मौजूदा त्रिकोणों के साथ नहीं होता है (पहले का आंकड़ा भी देखें), इसलिए हम हर कदम पर एक उपयुक्त बिंदु पा सकते हैं और एक बहुभुज बना सकते हैं।

दूसरा, हमने त्रिकोणों को चुना है जैसे कि रेखा खंड $CD$ पूरी तरह से अंदर नहीं है $P$। अगर वहाँ एक कोने-बिंदु मौजूद है$Q \notin \{B,D\}$ पहले से ही रखा त्रिकोण की तरह है कि $DQ$ पूरी तरह से अंदर है $P$, तो यह द्वारा उत्पन्न शंकु के अंदर झूठ होना चाहिए $AD$ तथा $BD$। हालांकि, इस शंकु के उस हिस्से के बाद से जो अंदर झूठ नहीं बोलता है$\Delta ABD$ पहले से रखे गए त्रिभुज द्वारा उत्पन्न शंकु में समाहित है, ऐसा है $Q$पहले से मौजूद त्रिकोण के लिए एक अनुरूप बिंदु मौजूद होने पर ही मौजूद है। चूंकि पहले त्रिकोण के लिए ऐसा कोई बिंदु मौजूद नहीं है, इसका मतलब यह है कि हमारे द्वारा जोड़े गए किसी भी त्रिकोण के लिए ऐसा कोई बिंदु नहीं है।

इसका मतलब है कि सभी जोड़े $(X,Y)$ के किसी भी कोने बिंदु $P$ जिसके लिए खंड $XY$ में पूरी तरह से निहित है $P$ पहले से ही निर्मित त्रिकोण में है, इसलिए त्रिकोणासन अद्वितीय है $P$ (सभी त्रिकोणासन आंतरिक खंडों की समान संख्या को जोड़ते हैं)

ध्यान दें कि इस विधि में निर्मित बहुभुज में तेज कोण होते हैं। मुझे संदेह है कि बड़े रेखांकन के लिए मनमाने ढंग से छोटे कोणों के साथ बहुभुजों की आवश्यकता होती है, जो कि इन बहुभुजों को सूक्ष्मता के साथ खींचते समय एक समस्या हो सकती है।

_{*: अंतर यह है कि, यदि हम आइसोमोर्फिज्म (जो त्रिकोणासन की विशिष्टता के साथ संगत है और द्वैत भिन्न हो रहे हैं) के रूप में 'अद्वितीय' की व्याख्या करते हैं, तो हम बहुभुज के साथ ठीक होंगे जिसमें कई त्रिभुज होंगे जो सभी में समरूपी द्वैत होते हैं। हालांकि, यह सुनिश्चित करने के लिए उन बहुभुजों को अधिक त्रिकोण संलग्न करना संभव है कि कुछ दोहरे अब आइसोमॉर्फिक नहीं हैं।}