डबिंग-सैट की प्रोपिंग एनपी-पूर्ण है

Question

संदर्भ के लिए प्रसिद्ध एसएटी समस्या को यहां परिभाषित किया गया है ।

डबल-सैट समस्या को परिभाषित किया गया है

$\qquad \mathsf{DOUBLE\text{-}SAT} = \{\langle\phi\rangle \mid \phi \text{ has at least two satisfying assignments}\}$

हम इसे एनपी-पूर्ण कैसे साबित करते हैं?

साबित करने के लिए एक से अधिक तरीके की सराहना की जाएगी।

Answer 1

यहाँ एक समाधान है:

स्पष्ट रूप से डबल-सैट , क्योंकि NTM डबल-सैट को निम्नानुसार तय कर सकता है: बुलियन इनपुट फॉर्मूला , nondeterministist अनुमान 2 असाइनमेंट और सत्यापित करता है कि दोनों संतुष्ट ।${\sf NP}$$\phi(x_1,\ldots,x_n)$$\phi$

यह दिखाने के लिए कि डबल-सैट -Complete है, हम निम्न से सैट को डबल-सैट में कमी देते हैं:${\sf NP}$

इनपुट :$\phi(x_1,\ldots,x_n)$

1. एक नए चर परिचय दें ।$y$
2. आउटपुट सूत्र ।$\phi'(x_1,\ldots,x_n, y) = \phi(x_1,\ldots,x_n) \wedge (y \vee \bar y)$

यदि SAT से संबंधित है, तो में कम से कम 1 संतोषजनक असाइनमेंट है, और इसलिए पास कम से कम 2 संतोषजनक असाइनमेंट हैं क्योंकि हम संतुष्ट कर सकते हैं नए वेरिएबल , so ( , ..., , ) डबल-सैट या असाइन करके नया क्लॉज ( ) ।$\phi (x_1,\ldots,x_n)$$\phi$$\phi'(x_1,\ldots,x_n, y)$$y \vee \bar y$$y = 1$$y = 0$$y$$\phi'$$x_1$$x_n$$y$$\in$

दूसरी ओर, अगर , तो स्पष्ट रूप से का कोई संतोषजनक काम नहीं है, इसलिए ।$\phi(x_1,\ldots,x_n)\notin \text{SAT}$$\phi' (x_1,\ldots,x_n, y) = \phi (x_1,\ldots,x_n) \wedge (y \vee \bar y)$$\phi'(x_1,\ldots,x_n,y) \notin \text{Double-SAT}$

इसलिए, , और इसलिए Double-SAT -Complete है।$\text{SAT} \leq_p \text{Double-SAT}$${\sf NP}$

Comments

मेरे प्रस्ताव की तुलना में यह अच्छा है।

— राफेल

Answer 2

आप जानते हैं कि एनपी-पूर्ण है। क्या आप से कमी पा सकते हैं ? यही है, क्या आप एक संतोषजनक सूत्र में फेरबदल कर सकते हैं ताकि परिणाम में कम से कम दो संतोषजनक कार्य हों? ध्यान दें कि एक ही हेरफेर असंतोषजनक सूत्रों को संतोषजनक नहीं दे सकता है।$\mathsf{SAT}$$\mathsf{SAT}$$\mathsf{DOUBLE\text{-}SAT}$

किसी भी सूत्र , सूत्र में कम से कम दो बार संतोषजनक वर्गीकरण की संख्या , जिसमें एक समरूपता है जो सभी चर को नए नामों में बदल देता है।$\varphi$$\varphi \lor f(\varphi)$$\varphi$$f$