क्वांटम कंप्यूटर और ट्यूरिंग मशीनों के बीच तुलना पर संदर्भ

Question

मुझे बताया गया कि क्वांटम कंप्यूटर ट्यूरिंग मशीनों की तुलना में कम्प्यूटेशनल रूप से अधिक शक्तिशाली नहीं हैं। क्या कोई कृपया उस तथ्य को समझाते हुए कुछ साहित्य संदर्भ देने में मदद कर सकता है?

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आपको लगता है कि अन्य स्टैक एक्सचेंज साइटों पर एक पंजीकृत खाता है। आपको अपना सीएस खाता पंजीकृत करना चाहिए और इसे दूसरों के साथ जोड़ना चाहिए ( सहायता केंद्र देखें )। अन्य बातों के अलावा, यह आपको CS से चैट में भाग लेने देगा।

— गिलेस एसओ- बुराई को रोकना '

Answer 1

वास्तव में मामला यह है कि क्वांटम कंप्यूटर कुछ भी गणना कर सकता है, ट्यूरिंग मशीन भी गणना कर सकती है। (यह क्वांटम कंप्यूटर की तुलना में फ़ंक्शन की गणना करने के लिए ट्यूरिंग मशीन को कितना समय लगता है, इस पर सभी टिप्पणी करने के बिना है ।)

यह वास्तव में देखना मुश्किल नहीं है, बशर्ते आप क्वांटम कम्प्यूटेशन को समझें। एक विशिष्ट गेट सेट पर एक क्वांटम सर्किट के लिए, उदाहरण के लिए, परिणाम एक संभाव्यता वितरण द्वारा नियंत्रित होता है, जो एक एकात्मक मैट्रिक्स के गुणांक द्वारा निर्धारित किया जाता है। यह एकात्मक मैट्रिक्स केवल उन द्वारों का एक मैट्रिक्स उत्पाद है, और गणना की जा सकती है - यदि आप पर्याप्त रूप से धैर्य रखते हैं - एक शास्त्रीय कंप्यूटर द्वारा। इसलिए सरासर कम्प्यूटेबिलिटी (दक्षता के विपरीत) के लिए, क्वांटम कंप्यूटर का उपयोग करने का कोई फायदा नहीं है।

पूरे चुनौती क्वांटम यांत्रिकी से उत्पन्न होने वाली निर्धारित करने के लिए इस तरह के गुणांक गणना की जा सकती है कुशलता से , जो की तुलना में है कि क्या वे गणना की जा सकती एक और अधिक की मांग की समस्या नहीं है सब पर ।

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जबकि मेरे शुरुआती ज्ञान ने मुझे बताया है कि एक क्वांटम सर्किट एक हैडमर्ड मैट्रिक्स परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है, मैं अभी तक नहीं देख सकता कि शास्त्रीय कंप्यूटर पर मनमाने ढंग से मैट्रिक्स कम्प्यूटेशन करने के लिए एक प्रोग्रामिंग संभावना शारीरिक रूप से क्वांटम सर्किट होने का एक उपसमूह कैसे हो सकती है। उदाहरण के लिए, मेरी पुस्तक इस प्रकार से यादृच्छिक संख्याएँ उत्पन्न करने के बारे में कहती है: 1. | x> <- | 0> 2. | x> <- H | x> 3. उपाय | x> विशेष चरण 3 में क्या होगा एक शास्त्रीय कंप्यूटर पर प्रोग्रामिंग?

— मोक-कोंग शेन

ए (ठीक से सामान्यीकृत) हैडामर्ड मैट्रिक्स केवल एक संभव एकात्मक परिवर्तन है। आपकी गणना के लिए, हम पहचान सकते हैं कि एक नियतात्मक ट्यूरिंग मशीन हैडामर्ड मैट्रिक्स के पहले कॉलम के मानदंडों-वर्ग से मिलकर संभाव्यता वितरण (0.5, 0.5) की गणना कर सकती है , और वह यादृच्छिक ट्यूरिंग मशीन के लिए (जो सिक्का-फ्लिप कर सकता है), हम एक कदम आगे जा सकते हैं और उस संभाव्यता वितरण से एक नमूना तैयार कर सकते हैं। किसी भी मामले में, क्वांटम सर्किट द्वारा किसी भी फ़ंक्शन की गणना त्रुटि के साथ <1/2 है, एक शास्त्रीय मशीन भी कर सकती है। $\bigl|\langle b |H|0\rangle\bigr|^2$

— निल डे ब्यूड्रैप

@ मोक-कांग शेन: अगर यह अक्षमता या धीमेपन के बारे में मेरी टिप्पणी से स्पष्ट नहीं है, तो आमतौर पर माना जाता है कि क्वांटम कंप्यूटर अधिक कम्प्यूटेशनल रूप से शक्तिशाली होते हैं और अधिक तेज़ी से गणना करने में सक्षम होते हैं । मैं इस तथ्य को संबोधित कर रहा हूं कि वे उन चीजों की गणना करने में सक्षम नहीं हैं, जो एक शास्त्रीय कंप्यूटर भी गणना नहीं कर सकता था (जहां मैं गणना के रूप में "सिक्का उछालने" की धारणा को छूट देता हूं)।

— नील डी बेउड्राप

Answer 2

एक क्वांटम गेट पर विचार करें। सभी तकनीकी विवरणों को चिकना करना, इसे मैट्रिक्स रूप में दर्शाया जा सकता है । गेट के लिए एक इनपुट, कहते हैं | ϕ output बस एक वेक्टर v है , और गेट का आउटपुट वेक्टर G v है ।$G$$\vert \phi \rangle$$v$$Gv$

अब, एक सर्किट पर विचार करें। एक सर्किट बस फाटक का एक समूह है , और सर्किट को "सामान्यीकृत गेट" C = G n the G 2 G 1 के रूप में देखा जा सकता है , जो इनपुट स्थिति (वेक्टर v ) पर संचालित होता है । [फिर से, यह एक बहुत मोटे गर्भपात है।]$\{G_1, G_2, ... \}$$C=G_n \cdots G_2 G_1$$v$

तो मूल रूप से, एक इनपुट पर एक सर्किट की गणना , केवल वेक्टर कंप्यूटिंग है सी वी या जी एन ⋯ जी 2 जी 1 v । यह स्पष्ट है कि इस तरह के कार्य (वेक्टर गुणन और मैट्रिक्स द्वारा मैट्रिक्स का गुणा) एक शास्त्रीय टीएम द्वारा किया जा सकता है, इसलिए, टीएम कम से कम एक क्वांटम-टीएम (क्यूटीएम) के रूप में मजबूत है [ठीक है, शास्त्रीय सर्किट क्वांटम के रूप में मजबूत होते हैं सर्किट। कोई बात नहीं।]$\vert \phi \rangle$$Cv$$G_n \cdots G_2 G_1 v$

दूसरी ओर, क्यूटीएम टीएम के रूप में तुच्छ रूप से मजबूत है, और इसलिए, दोनों मॉडल समान हैं।

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EDIT टिप्पणियों के कारण यह
पूछने के लिए कि कौन सा "कंप्यूटर" अधिक शक्तिशाली है, हमें पहले यह स्पष्ट करने की आवश्यकता है कि इसका मतलब क्या है "कम्प्यूटेशनल रूप से अधिक शक्तिशाली"। और यह अर्ध-दार्शनिक चर्चा प्रश्न के साथ शुरू होती है

अभिकलन क्या है ?

"MP3 खेलना" एक संगणना है? क्या आउटपुट रैंडम संख्या एक संगणना है?

मानक परिभाषा कहती है कि एक संगणना "एक फंक्शन की गणना" है। यही है, हर इनपुट (जो किसी भी परिमित लंबाई के किसी भी तार हो सकता है) के लिए, आउटपुट y = f ( x ) , जहां फिर से y मनमाना (परिमित) लंबाई का एक स्ट्रिंग हो सकता है। यदि आपका कंप्यूटर किसी भी x के लिए y आउटपुट कर सकता है , तो हम कहते हैं कि यह f की गणना कर सकता है ।$x$$y=f(x)$$y$$y$$x$$f$

अब, यह कहना है कि कंप्यूटर 'ए' 'बी' से अधिक शक्तिशाली है बस का अर्थ है कि एक और अधिक कार्यों की गणना करता है से बी । इसी तरह,$f$$B$

दो मॉडल, और बी माना जाता है बराबर है, किसी भी कार्य के लिए च , एक computes च यदि और केवल यदि बी computes च ।$A$$B$$f$$A$$f$$B$$f$

ठीक है, आप कहते हैं, लेकिन एक सेकंड रुको, यादृच्छिककरण है .. एक क्वांटम कंप्यूटर सिर्फ आउटपुट नहीं करता है । यह y 1 को प्रायिकता p 1 , या y 2 को प्रायिकता p 2 , या .... 0 के साथ आउटपुट करता है$y$$y_1$$p_1$$y_2$$p_2$$^0$

दरअसल .. और यह एक फ़ंक्शन को कंप्यूटिंग की मानक परिभाषा का विस्तार करता है। हम इसे हल कर सकते हैं, और हमारी परिभाषाओं को कई तरीकों से सामान्य कर सकते हैं। (1) एक विकल्प यह है कि का उत्तर यह है कि विशिष्ट y i जिसमें प्रायिकता p i > 0.75 है (और ऐसा एक सबसे अधिक मान है) 1 । अगर हम मान लेते हैं कि f केवल एक ही आउटपुट देता है, तो " f ( x ) का आउटपुट हमेशा अच्छी तरह से 2 परिभाषित होता है । अन्यथा, यदि ऐसा कोई मूल्य मौजूद नहीं है, और सभी आउटपुट में छोटी संभावना है जिसे हम f कह सकते हैं $f(x)$$y_i$$p_i>0.75$$^1$$f$$f(x)$$^2$$f$उस इनपुट पर परिभाषित नहीं किया गया है; (2) दूसरा विकल्प कहना है कि के उत्पादन में है सूची है ( y 1 , पी 1 ) , ( y 2 , पी 2 ) , । । । । इसे अच्छी तरह से परिभाषित करने के लिए, हमारे पास एक परिमित सूची होनी चाहिए, क्योंकि हमें परिमित होने के लिए आउटपुट स्ट्रिंग की आवश्यकता होती है।$f(x)$$(y_1,p_1), (y_2,p_2),...$

उपरोक्त के साथ, यह स्पष्ट होना चाहिए कि संभाव्यता होने से मॉडल की शक्ति नहीं बदलती है, और एक शास्त्रीय टीएम प्रत्येक आउटपुट के लिए संभाव्यता के साथ-साथ संभावित आउटपुट की सूची का उत्पादन कर सकता है। यह ठीक वैसा ही होता है जब एक टीएम मैट्रिक्स को मापता है और एक वेक्टर को आउटपुट करता है - वेक्टर प्रत्येक और हर संभव माप आउटपुट की संभावना का प्रतिनिधित्व करता है।

^{यह समस्या क्वांटम कंप्यूटिंग के लिए अद्वितीय नहीं है। शास्त्रीय संभाव्य कंप्यूटिंग एक ही मुद्दे से "ग्रस्त" है। 1 क्यों पी = 0.75 ? कोई कारण नहीं। किसी भी निरंतर से भी बड़ा 1 / 2 काम करेगा। 2 क्यों मान एफ उत्पादन एक बिट? क्योंकि यह पर्याप्त है .. हम एकल-बिट आउटपुट के साथ किसी भी अधिक जटिल फ़ंक्शन को एक या अधिक फ़ंक्शन में कम कर सकते हैं। लेकिन यह हमारी चर्चा से कोई फर्क नहीं पड़ता। $^0$
$^1$$p=0.75$$1/2$
$^2$$f$}

Comments

मैं एक क्लासिक कंप्यूटर पर मैट्रिक्स कम्प्यूटेशन प्रोग्राम कर सकता था, लेकिन क्वांटम कम्प्यूटेशन का अनुकरण करने के लिए कोड लिखना नहीं जानता। मैं वैसे भी क्वांटम बिट्स की आवश्यकता होगी। एक क्वांटम बिट में 2 मान होते हैं जिन्हें आमतौर पर अल्फा और बीटा द्वारा दर्शाया जाता है। मुझे किन मूल्यों का उपयोग करना चाहिए? यादृच्छिक संख्या पीढ़ी के मामले के लिए निएल डी बेउड्रैप के जवाब के लिए मेरी टिप्पणी भी देखें।

— मोक-कोंग शेन

@ Mok-काँग शेन: उन मूल्यों को एक superposition में हो गुणांक वे की तरह ध्वनि । लेकिन याद रखें कि डायक नोटेशन केवल एक सदिश अंकन है: यह ठीक वैसा ही है जैसा कि लेखन $\def\ket#1{|#1\rangle}\ket\psi = \alpha\ket0 + \beta\ket1$$\pmb\psi = [\alpha\quad\beta]^\top$

@ नील डी ब्यूड्रैप: लेकिन जब मैं एक निश्चित क्वांटम संकलन का अनुकरण करने के लिए एक कोड लिखता हूं, उदाहरण के लिए मैंने जिस यादृच्छिक संख्या पीढ़ी का उल्लेख किया है, मुझे शास्त्रीय कंप्यूटर पर सिम्युलेटेड क्वांटम बिट्स को लागू करने की आवश्यकता है। मैं इस बात से अनभिज्ञ हूं कि इन गुणांकों के मूल्यों को जाने बिना कोड कैसे लिखें।

— मोक-कोंग शेन

@ मोक-कोंग शेन: मुद्दा यह है कि रन-टाइम पर, आप जानते हैं; और समस्या बिल्कुल वैसी ही है जैसे कि शास्त्रीय संभाव्यता वितरण से नमूना लिया जाता है जो इनपुट पर निर्दिष्ट होता है, अर्थात यह यादृच्छिक नमूने में अच्छी तरह से अध्ययन की जाने वाली समस्याओं को कम करता है। उदाहरण के लिए, मोंटे कार्लो विधियाँ यहाँ लागू होती हैं।

— कील डी ब्यूड्रैप

@ मोक-कोंगशेन कृपया विस्तारित चर्चाओं के लिए टिप्पणियों (विशेष रूप से किसी और की पोस्ट पर) का उपयोग न करें। इस साइट के लिए या इस प्रयोजन के लिए बनाए गए एक कमरे में, चैट पर जाएं ।

— गिल्स एसओ-

Answer 3

अन्य उत्तर मान्य हैं, बस एक को जोड़ना चाहते हैं जो इस बात पर जोर देता है कि वास्तव में बहुत आधुनिक अनुसंधान के दिल में जटिलता वर्ग अलगाव और क्वांटम बनाम शास्त्रीय कंप्यूटिंग में बहुत गहरा (काफी हद तक अभी भी खुला / अनसुलझा) सवाल है। वे कार्यात्मक रूप से टीएम और क्यूएम कंप्यूटर के समान हैं, दोनों ही ट्यूरिंग पूर्ण सिद्ध हैं ; इसे साबित करने के कई तरीके हैं।

लेकिन जटिलता सिद्धांत में समानता समय और स्थान सूक्ष्मता / प्रभावकारिता पर बहुत अधिक टिका है अर्थात विशेष एल्गोरिदम की गणना करने के लिए संसाधन। और इसके अलावा क्यूएम कंप्यूटिंग में "शोर" को देखने के लिए अनुसंधान की एक बड़ी मात्रा है जो यह मानता है कि सैद्धांतिक नीरव मॉडल "वास्तविक" नहीं हो सकता है और व्यवहार में वास्तविक हो सकता है और वास्तविक मॉडल में महत्वपूर्ण शोर होगा। इस शोर को कम करने के लिए जटिल योजनाएं हैं, आदि; 21 वीं सदी की उड़ान मशीनों जैसे आरजे लिपटन ब्लॉग में विभिन्न पदों पर इस पर कुछ उत्कृष्ट टिप्पणी है

उदाहरण के लिए यह साबित हो गया है कि फैक्टरिंग BQP में है, क्वांटम एल्गोरिदम की श्रेणी जो पी समय में चलती है, शोर द्वारा एक प्रसिद्ध प्रमाण में कि उस समय भी नाटकीय रूप से क्यूएम कंप्यूटिंग में बड़ी मात्रा में गंभीर अध्ययन / रीच शुरू किया गया था। परिणाम।

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स्कॉट आरोनसन उपलेखक पर एक उत्कृष्ट लेखक / शोधकर्ता हैं और उन्होंने आम आदमी के लिए सुलभ कुछ पत्र लिखे हैं। उदाहरण के लिए QM कंप्यूटर, SciAm या QM कंप्यूटिंग की सीमाएँ नई अंतर्दृष्टि, NYT का वादा करती हैं ।

Comments

ध्यान दें, एरम हैरो QM कंप्यूटिंग की एक प्रमुख संशय है जो कि शोर की शोर संबंधी समस्याओं की गणना करता है। आरजे लिप्टन ब्लॉग, 21 वीं सदी की सतत गति के लिए

— vzn