मैं विभाजन में सबसेट सम को कैसे कम कर सकता हूं?

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हो सकता है कि यह काफी सरल हो लेकिन मुझे इस कमी को पाने के लिए कुछ परेशानी है। मैं कम करना चाहते हैं सबसेट योग करने के लिए विभाजन लेकिन इस समय मैं संबंध नहीं दिख रहा है!

क्या लेविन रिडक्शन का उपयोग करके इस समस्या को कम करना संभव है?

यदि आप स्पष्टीकरण के लिए लिखना नहीं समझते हैं!

complexity-theory np-complete reductions

— dbonadiman
स्रोत

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आज्ञा देना सबसेट का उदाहरण है, जहां संख्याओं की एक सूची (मल्टीसेट) है, और लक्ष्य राशि है। चलो । चलो जोड़कर गठन सूची हो करने के लिए । $(L,B)$ $L$ $B$ $S = \sum L$ $L'$ $S+B,2S-B$ $L$

(1) यदि वहाँ एक sublist है योग के लिए , तो दो बराबर भागों में विभाजित किया जा सकता: और । दरअसल, पहला भाग और दूसरा $M \subseteq L$ $B$ $L'$ $M \cup \{ 2S-B \}$ $L\setminus M \cup \{ S+B \}$ $B+(2S-B) = 2S$ । $(S-B)+(S+B) = 2S$

(2) यदि को दो समान भागों में विभाजित किया जा सकता है , तो योग से का सबलिस्ट है । दरअसल, चूंकि और प्रत्येक भाग , दोनों तत्व अलग-अलग हिस्सों से संबंधित हैं। व्यापकता के नुकसान के बिना, । में बाकी तत्व हैं $L'$ $P_1,P_2$ $L$ $B$ $(S+B)+(2S-B) = 3S$ $2S$ $2S-B \in P_1$ $P_1$ और को योग। $L$ $B$

— युवल फिल्मस
स्रोत

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लेकिन मानक सबसेट-सम समस्या सभी पूर्णांकों का उपयोग करती है, और विभाजन की समस्या सिर्फ गैर-नकारात्मक पूर्णांक का उपयोग करती है ...

— gukoff

SUBSET-SUM गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के साथ भी NP- पूर्ण है, उदाहरण के लिए 3SAT से कमी गैर-नकारात्मक पूर्णांकों के साथ समाप्त होती है। इसके अलावा, शायद पूर्णांक SUBSET-SUM से गैर-नकारात्मक पूर्णांक SUBSET-SUM तक सीधी कमी है।

— युवल फिल्मस

1

हां, मुझे पता है, और यह कमी बहुत आसान है। बस यह देखते हुए कि यह "डिफ़ॉल्ट" रूप में सबसेट राशि नहीं है। :)

— गोकॉफ

क्या यह भी काम करेगा अगर

है

? जैसा

, लाइक

L^{^{'}}

$L^{'}$

L ⋃ {B, S - B}

$L \bigcup \{B, S-B\}$

| {B, S - B} | = B

$|\{B, S-B\}| = B$

| L | = B

$|L| = B$

— जिज्ञासु

1

@Issam यह नहीं होगा, यह विभाजन उदाहरण हमेशा

समाधान होगा ।

L, {B, S - B}

$L,\{B,S-B\}$

— युवल फिल्मस

1

@Yuval Filmus द्वारा उल्लिखित उत्तर गलत है (यह केवल सही है यदि कोई नकारात्मक पूर्णांक नहीं हैं)। निम्नलिखित मल्टीसेट पर विचार करें:

{- 5, 2, 2, 2, 2, 2}

$\{-5, 2, 2, 2, 2, 2\}$

और लक्ष्य राशि है । हम जानते हैं कि कोई सबसेट नहीं है। अब, हम विभाजन समस्या के लिए उदाहरण का निर्माण करते हैं। दो नए जोड़े गए तत्व हैं और । मल्टीसेट अब है: और कुल योग । $-2$ $2\sigma-t = 12$ $\sigma+t = 3$

{- 5, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 12}

$\{-5, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 12\}$

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$20$

{2, 2, 2, 2, 2}

$\{2, 2, 2, 2, 2\}$

$2t-\sigma$ $2t$ $t$ $t$

— रोहित कुमार जेना
स्रोत

1

लेकिन, जैसा कि युवल अपने जवाब में एक टिप्पणी में कहते हैं, उप-योग एनपी- पूर्ण है भले ही हम सकारात्मक पूर्णांक तक सीमित हों। तो हम मान सकते हैं कि कोई नकारात्मक संख्या नहीं है।

— डेविड रिचरबी

1

हां, मैं सहमत हूं, सकारात्मक पूर्णांकों के मामले में भी सबसेट एनपी-पूर्ण राशि है। मैं किसी भी पूर्णांक के लिए अधिक पूर्ण प्रमाण प्रदान कर रहा था।

— रोहित कुमार जेना

1

"बस एक अधिक संपूर्ण प्रमाण प्रदान करना" और यह भी गलत तरीके से दावा करना कि एक मौजूदा उत्तर गलत है।

— डेविड रिचरबी

1

यह इस अर्थ में गलत है कि यह नकारात्मक पूर्णांक के लिए काम नहीं करता है। :) शांति :)

— रोहित कुमार जेना

1

यहाँ एक सीधा साक्ष्य है:

$P_1,P_2$ $|X|$

$X$ $t$ $X'=X \cup \{s-2t\}$ $s=\sum_{x \in X}x$

( $\implies$ $S \subset X$ $t=\sum_{x \in S}x$
$s - t = \sum_{x \in S \cup {s - 2 t}} x,$ $\begin{equation*} s-t=\sum_{x \in S\cup \{ s-2t \} }x, \end{equation*}$ $s - t = \sum_{x \in X^{'} ∖ (S \cup {s - 2 t})} x$ $\begin{equation*} s-t=\sum_{x \in X' \setminus( S\cup \{s-2t\})}x \end{equation*}$ $S\cup \{ s-2t \}$ $X' \setminus( S\cup \{s-2t\})$ $X'$
( $\impliedby$ $P_1',P_2'$ $X'$ $\sum_{x \in P_1'}x= \sum_{x \in P_2'}x$ $P_1$ $P_2$ $X$
$s - 2 t + \sum_{x \in P_{1}} x = \sum_{x \in P_{2}} x$ $\begin{equation*} s-2t+\sum_{x \in P_1}x= \sum_{x \in P_2}x \end{equation*}$ $⟹ s - 2 t + \sum_{x \in P_{1}} x + \sum_{x \in P_{1}} x = \sum_{x \in P_{2}} x + \sum_{x \in P_{1}} x = s$ $\begin{equation*} \implies s-2t+\sum_{x \in P_1}x+\sum_{x \in P_1}x= \sum_{x \in P_2}x+\sum_{x \in P_1}x = s \end{equation*}$ $⟹ s - 2 t + 2 \sum_{x \in P_{1}} x = s$ $\begin{equation*} \implies s-2t+2\sum_{x \in P_1}x = s \end{equation*}$ $⟹ \sum_{x \in P_{1}} x = t$ $\begin{equation*} \implies \sum_{x \in P_1}x = t \end{equation*}$

$t=\sum_{x \in S}x$ $P_1 =S\cup \{ s-2t \}$ $P_2=X' \setminus( S\cup \{s-2t\})$ $P_1',P_2'$ $t=\sum_{x \in P_1'\setminus \{s-2t\}}x$ $f:(X,t)\rightarrow X'$ $(X,t)$ $\Leftrightarrow X'=f(X,t)$

— Pedrpan
स्रोत

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सबसेट सम:

इनपुट: {a1, a2, ..., am} st M = {1..m} और ai गैर नकारात्मक पूर्णांक हैं और S, {1..k} और Σai (i∈S) = t

विभाजन:

इनपुट: {a1, a2, ..., am} और S 1 {1, · · ·, m} st ∈ai (iΣS) = (aj (j∉S)

विभाजन एनपी सबूत: यदि प्रोवर सत्यापनकर्ता के लिए एक विभाजन (पी 1, पी 2) प्रदान करता है, तो सत्यापनकर्ता आसानी से पी 1 और पी 2 की राशि की गणना कर सकता है और जांच सकता है कि परिणाम रैखिक समय में 0 है।

NP_Hard: सबसेटसम Hp पार्टीशन

आज्ञा देना x इनपुट के सबसेटसम और x =, a1, a2, ..., am, t〉 और 1ai (मैं 1 से m) = a

Case1: 2t> = a:

F (x) = 〈a1, a2, ..., am, am + 1 am जहां am + 1 = 2x) a

हम यह दिखाना चाहते हैं कि x∈SubsetSum x f (x) ∈PARTITION

इसलिए वहाँ मौजूद S T {1, ..., m} st T = {1..m} - S और Σai (i atT) =

और Let T '= {1 ... m, m + 1} - S so Σaj (j'T') = a-t + 2t-a = t

जो वास्तव में isai (i∈S) = t है और यह f (x) ΣPARTITION दिखाता है

अब हम यह भी दिखाएंगे कि f (x) IONPARTITION ∈ xubSubsetSum

इसलिए वहाँ मौजूद S there {1, ..., m, m + 1} st T = {1, ..., m, m + 1} - S और --ai (i∈T) = [a + (2t-a) ) आयकर] = टी

और यह itai (i∈T) = ∈aj (j )S) को दर्शाता है, इसलिए m + 1∈T और S · {1, · ·, m} और Σai (i∈S) = t

तो x soSubsetSum

केस 2: 2t = <a :

हम एक ही जाँच कर सकते हैं लेकिन इस समय am + 1 − 2t है

— बेहारोज तब्बेश
स्रोत

-3

इस लिंक में दोनों कटौती, विभाजन के लिए उप-योग और उप-योग से विभाजन का अच्छा विवरण है। मुझे लगता है कि यह YUVAL के उत्तर से अधिक स्पष्ट है । उपयोगी लिंक

— user44970
स्रोत

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— टॉम वैन डेर ज़ंडेन