बहुपद से संबंधित समस्या की विकृति

Question

मैं निम्नलिखित दिलचस्प समस्या के पार आया हूं: को वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र में बहुपद हैं, और हमें लगता है कि उनके गुणांक सभी पूर्णांक हैं (यानी, इन बहुपद का एक सटीक सटीक प्रतिनिधित्व है)। यदि आवश्यक हो, तो हम मान सकते हैं कि दोनों बहुपद की डिग्री समान है। आइए हम (resp। ) को बहुपद (resp। ) के कुछ (वास्तविक या जटिल) मूल का सबसे बड़ा निरपेक्ष मान देते हैं । क्या संपत्ति निर्णायक है?$p,q$$x_p$$x_q$$p$$q$$x_p = x_q$

यदि नहीं, तो क्या यह संपत्ति बहुपत्नी के कुछ प्रतिबंधित परिवारों के लिए है? जिस संदर्भ में यह समस्या उत्पन्न होती है, उसके संदर्भ में बहुपद मेट्रिसेस की विशेषता बहुपद हैं, और उनकी जड़ें स्वदेशी हैं।

मैं बहुपद / eigenvalues ​​की जड़ों की गणना के लिए कुछ संख्यात्मक एल्गोरिदम से अवगत हूं, हालाँकि ये यहाँ किसी काम के नहीं लगते हैं, क्योंकि इन एल्गोरिदम का उत्पादन केवल अनुमानित है। मुझे लगता है कि कंप्यूटर बीजगणित यहां उपयोगी हो सकता है, हालांकि, दुर्भाग्य से, मुझे उस क्षेत्र में लगभग कोई ज्ञान नहीं है।

मैं इस समस्या के विस्तृत समाधान की खोज नहीं कर रहा हूं, हालांकि कोई भी अंतर्ज्ञान और विचार जहां समाधान की खोज करना उपयोगी होगा।

पहले ही, आपका बहुत धन्यवाद।

Comments

यदि आप बंटवारे के क्षेत्र की गणना कर सकते हैं तो आप उन दोनों को फ़ॉर्म में लिख सकते और तुलना कर सकते हैं; कुछ क्षेत्रों के लिए बंटवारे का क्षेत्र संगणक नहीं है, लेकिन मुझे यकीन नहीं है कि यह एक्सटेंशन के लिए है ? $(x-x_0)(x-x_1)\dots$$\mathbb{Q}$

— एक्सोदरैप

Answer 1

मैं उस क्षेत्र में जानकार नहीं हूं, लेकिन मुझे लगता है कि मैं एक गैर-रचनात्मक उत्तर प्रदान कर सकता हूं।

वास्तविक बंद क्षेत्रों का पहला-क्रम सिद्धांत निर्णायक है। आपकी समस्या को बीजीय समीकरणों और वास्तविक बीजीय संख्याओं पर असमानताओं की प्रणाली के रूप में कहा जा सकता है। पर विचार करें चर । आप जानना चाहते हैं कि क्या निम्न प्रणाली संतोषजनक है: $2 (\deg P + \deg Q)$$x_1,\ldots,x_{\deg P}, y_1,\ldots,y_{\deg P}, x'_1,\ldots,x'_{\deg P}, y'_1,\ldots,y'_{\deg P}$

$$\begin{align*} P(x_j+i\,y_j) &= 0 & \text{for \(1 \le j \le \deg P\)} \\ Q(x'_k+i\,y'_k) &= 0 & \text{for \(1 \le k \le \deg Q\)} \\ x_j^2 + y_j^k &\le x_1^2 + x_2^2 & \text{for \(2 \le j \le \deg P\)} \\ x'_j^2 + y'_j^k &\le x'_1^2 + x'_2^2 & \text{for \(2 \le k \le \deg Q\)} \\ x_1^2 + y_1^2 = x'_1^2 + y'_1^2 \\ \end{align*}$$

पहले दो समीकरण परिवार व्यक्त करते हैं कि और बहुपद की जड़ें हैं, अगले दो असमानता वाले परिवार व्यक्त करते हैं कि और का सबसे बड़ा निरपेक्ष मान है, और अंतिम असमानता इन सबसे बड़े निरपेक्ष मूल्यों की तुलना करती है।$x_j+i\,y_j$$x'_k+i\,y'_k$$x_1+i\,y_1$$x'_1+i\,y'_1$

यह समझ में नहीं आता है कि क्या यह प्रणाली संतोषजनक है: आपकी समस्या निर्णायक है। हालाँकि, यह कथन संभवतः इसके बारे में जाने का सबसे कारगर तरीका नहीं है।

एक अधिक उपयोगी उत्तर में संभवतः गॉर्नर बेस के सिद्धांत शामिल हैं । यदि आप अपने लिए उस समस्या को हल करने की कोशिश कर रहे हैं, तो मुझे लगता है कि किसी भी कम्प्यूटेशनल बीजगणित पुस्तक के पहले कुछ अध्यायों को पढ़ने से आपको अपेक्षित पृष्ठभूमि मिल जाएगी। यदि आप अपनी अंतर्निहित समस्या को हल करने का लक्ष्य बना रहे हैं, तो संभवतया एक ऑफ-द-शेल्फ एल्गोरिदम है जिसे आप कार्यान्वित कर सकते हैं।

Answer 2

मैं इस बारे में गलत हो सकता हूं: मैं इस क्षेत्र में बहुत जानकार नहीं हूं (जहां विशेषज्ञ हैं !?), लेकिन मेरा मानना ​​है कि आपके पास जो पूछ रहे हैं उसके लिए मेरे पास काफी तेज एल्गोरिदम है।

मैं मानने जा रहा हूं, सरलता के लिए, कि सभी जड़ें वास्तविक हैं। एक अंतराल के रूट पर बाध्य खोजें उच्चतम निरपेक्ष मूल्य के साथ (यानी एक अंतराल ऐसा है कि और के अन्य सभी जड़ों के लिए )। इस तरह के अंतराल को डाइकोटॉमी और स्टर्म के प्रमेय के संयुक्त उपयोग से पाया जा सकता है । अब और के बहुपद GCD की गणना करें । सत्यापित करें कि की जड़ (फिर से स्टर्म के प्रमेय के साथ)।$P$$I$$x_P\in I$$x_P'\notin I$$P$ $R$$P$$Q$$R$$I$

अगर मैं गलत नहीं हूं, तो की ऐसी जड़ है अगर और केवल अगर और की एक समान जड़ है , जो बदले में केवल तभी संभव है जब जड़ हो । Sturm के प्रमेय और GCD के दोनों अनुप्रयोग अधिक तेज़ हैं (वास्तव में बहुपद के आकार में द्विघात से अधिक नहीं)।$R$$P$$Q$$I$$x_P$$Q$

यह सिर्फ एक स्केच है, लेकिन इसे एक बॉर्न फ़ाइड एल्गोरिथ्म में बदलने के लिए बहुत अधिक नहीं है, वास्तव में मुझे संदेह है कि मेपल या गणितज्ञ का उपयोग इस तुच्छ बना देगा।