एक कठिन निर्णय समस्या का गणना संस्करण स्वचालित रूप से कठिन क्यों नहीं है?

Question

यह सर्वविदित है कि 2-सैट पी में है। हालांकि, यह काफी दिलचस्प लगता है कि किसी दिए गए 2-सैट फॉर्मूला के समाधानों की संख्या की गिनती करना, अर्थात, # 2-सैट # पी-हार्ड है। यही है, हमारे पास एक समस्या का एक उदाहरण है जिसके लिए निर्णय आसान है, लेकिन गिनती कठिन है।

लेकिन मनमाने ढंग से एनपी-पूर्ण समस्या पर विचार करें (3-कोल कहते हैं)। क्या हम तुरंत इसके काउंटिंग वेरिएंट की कठोरता के बारे में कुछ कह सकते हैं?

वास्तव में मैं जो पूछ रहा हूं वह यह है: हमें एक कठिन निर्णय समस्या का एक गिनती प्रकार दिखाने के लिए दूसरे प्रमाण की आवश्यकता क्यों है # पी-हार्ड? (कभी-कभी आप पार्सिमेनस कटौती को देखते हैं जो समाधानों की संख्या को संरक्षित करते हैं, और इसी तरह)। मैं वास्तव में मतलब है, अगर उनकी गिनती समस्या था आसान, आप स्वचालित रूप से निर्णय समस्या में अच्छी तरह से हल कर सकते थे! तो यह कठिन कैसे नहीं हो सकता है? (ठीक है, शायद यह कठिन है, लेकिन मुझे यकीन नहीं है कि मुश्किल की परिभाषा क्या है)।

Answer 1

इसका कारण यह नहीं है कि एक स्वचालित प्रमेय है कि "निर्णय कठिन है जिसका अर्थ है कि गिनती कठिन है" यह है कि ये दोनों कथन "हार्ड" की विभिन्न परिभाषाओं का उपयोग करते हैं।

• एक निर्णय समस्या कठिन है अगर यह बहुपद-समय-कई कटौती (उर्फ कार्प कटौती, उर्फ ​​बहुपद-समय मानचित्रण कटौती) के तहत एनपी- अपूर्ण है।

• एक गिनती समस्या कठिन है अगर यह बहुपद-काल ट्यूरिंग कटौती (उर्फ कुक कटौती) के तहत #P -complete है ।

जैसे, यदि कोई निर्णय समस्या NP -complete है, तो हम जानते हैं कि संबंधित गणना की समस्या NP -hard है, लेकिन इसकी परिभाषा यह नहीं है कि एक कठिन गणना समस्या क्या है। #P -complete होने से सिर्फ एनपी -हार्ड होने की तुलना में बहुत मजबूत कथन लगता है - टोडा ने दिखाया है कि #P -complete समस्याएं यादृच्छिक कटौती के तहत पूरे बहुपद पदानुक्रम के लिए कठिन हैं, इसलिए एक जटिलता वर्ग के रूप में, #P बहुत करीब महसूस करता है करने के लिए PSPACE करने से  एनपी ।

विपरीत दिशा में जा रहे हैं, यह स्पष्ट रूप से सच है कि, यदि गिनती की समस्या एफपी में होने के अर्थ में आसान है  , तो निर्णय समस्या  पी में है । आखिरकार, यदि आप कुशलतापूर्वक गिनती कर सकते हैं, तो आप निश्चित रूप से बता सकते हैं कि क्या उत्तर नॉनजरो है। हालाँकि, सिर्फ इसलिए कि गिनती संस्करण "कठिन नहीं है" (यानी, #P- पूर्ण नहीं है) का अर्थ यह नहीं है कि यह "आसान" है (यानी,  एफपी में )। लेडनर का प्रमेय # पी तक फैला  हुआ है, यदि एफ.पी.$\,\neq\,$** # पी ** तब उनके बीच अलग-अलग जटिलता वर्गों की एक अनंत पदानुक्रम है, इसलिए हमारी "नहीं-कठिन" गिनती की समस्या उन वर्गों में से किसी एक के लिए पूरी हो सकती है और इसलिए, "आसान" ( एफपी में ) नहीं होना चाहिए  ।

यह कहने के बाद, मुझे नहीं लगता कि हमारे पास अनुमान लगाने के लिए कोई प्रतिपक्ष है कि निर्णय की समस्या एनपी- अपूर्ण होने का मतलब है कि गिनती संस्करण #P -complete है । तो, यह एक प्रमेय नहीं है, लेकिन यह अनुभवजन्य रूप से सच है।

Comments

वास्तव में। अंतिम पैराग्राफ के एप्रोपोस, आप उस बिंदु की थोड़ी और चर्चा cstheory.stackexchange.com/q/16119/5038 पर कर सकते हैं ।

— DW

1. गिनती की समस्या एक एनपी समस्या के लिए विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं है, आपको इसके गिनती संस्करण के बारे में बात करने से पहले एक एनपी समस्या के लिए सत्यापनकर्ता को ठीक करना होगा । 2. जटिलता में कठोरता सापेक्ष कठिनाई है , न कि पूर्ण कठिनाई । इसलिए जब हम कहते हैं कि एक समस्या कठिन है तो स्पष्ट प्रश्न क्या और किस तरह की तुलना में है?

— केवह