क्या विकर्णीकरण, स्व-संदर्भ, या पुनर्विकास के अलावा अन्य कारणों से ज्ञात कोई विशिष्ट समस्याएं हैं?

Question

प्रत्येक अनिर्णायक समस्या जिसे मैं निम्न श्रेणियों में से एक में जानता हूं:

1. वे समस्याएं जो विकर्णीकरण (अप्रत्यक्ष स्व-संदर्भ) के कारण अनिर्दिष्ट हैं। ये समस्याएँ, जैसे रुकने की समस्या, अनिर्णायक हैं क्योंकि आप एक टीएम का निर्माण करने के लिए भाषा के लिए एक निर्धारित डिकोडर का उपयोग कर सकते हैं जिसका व्यवहार विरोधाभास की ओर जाता है। आप इस शिविर में कोलमोगोरोव जटिलता के बारे में कई असंदिग्ध समस्याओं से जूझ सकते हैं।

2. समस्याएं जो प्रत्यक्ष आत्म-संदर्भ के कारण अनिर्दिष्ट हैं। उदाहरण के लिए, सार्वभौमिक भाषा को निम्नलिखित कारण के लिए अनिर्दिष्ट दिखाया जा सकता है: यदि यह निर्णायक था, तो टीएम बनाने के लिए क्लेन की पुनरावृत्ति प्रमेय का उपयोग करना संभव होगा जो कि अपने स्वयं के एन्कोडिंग प्राप्त करता है, यह पूछें कि क्या यह अपना इनपुट स्वीकार करेगा , तो इसके विपरीत करता है।

3. मौजूदा अनिर्दिष्ट समस्याओं से कटौती के कारण समस्याएँ जो अवांछनीय हैं। यहां अच्छे उदाहरणों में पोस्ट कॉरेस्पोंडेंस प्रॉब्लम (हॉल्टिंग प्रॉब्लम से कम करना) और एन्टशिड्यूंगस्प्रोब्लम शामिल हैं।

जब मैं अपने छात्रों को कम्प्यूटेबिलिटी सिद्धांत सिखाता हूं, तो कई छात्र इस पर भी विचार करते हैं और अक्सर मुझसे पूछते हैं कि क्या कोई समस्या है जो हम साबित कर सकते हैं कि किसी तरह के आत्म-संदर्भ प्रवंचना के लिए पीछे न हटने के बिना यह अविश्वसनीय है। मैं गैर-रचनात्मक रूप से साबित कर सकता हूं कि टीएम की संख्या से संबंधित एक साधारण कार्डिनलिटी तर्क से असीम रूप से कई अयोग्य समस्याएं हैं, लेकिन भाषाओं की संख्या का यह एक विशिष्ट उदाहरण नहीं देता है।

क्या ऐसी कोई भी भाषा है, जो उन कारणों के लिए जानी जाती है, जो ऊपर सूचीबद्ध नहीं हैं? यदि हां, तो वे क्या हैं और उनकी अनिच्छा दिखाने के लिए किन तकनीकों का उपयोग किया गया था?

Comments

@ ईवीएलजेएस मेरी समझ यह थी कि अनिर्वायता प्रमाण में टीएम की नकल करने की क्षमता शामिल थी, हालांकि शायद मैं गलत हूं?

— templatetypedef

आप कह सकते हैं कि राइस का प्रमेय इनमें से किसी भी श्रेणी में फिट नहीं हो सकता है, लेकिन प्रमेय का प्रमाण है।

— रयान

@EvilJS यह एक अच्छी बात है। वास्तव में, जो मैं यहां देख रहा हूं वह यह है कि क्या कुछ मूलभूत रूप से अलग तकनीक है जिसका हम उपयोग कर सकते हैं। यह अच्छा होगा, उदाहरण के लिए, अगर किसी ने किसी समस्या को ऐसे मामले में अयोग्य के रूप में पहचाना, जहां उस समस्या का टीएम आत्म-संदर्भ या गॉडलिंग-प्रकार के तर्क से कोई संबंध नहीं है। अगर सबसे अच्छा हम कर सकते हैं "हमने यह एक लंबे समय से पहले ही समझ लिया है, तो एहसास हुआ कि यह एक और तरीका साबित करना आसान है," यह एक अर्थ में एक जवाब होगा - तीनों तकनीकों के ऊपर मूल रूप से सभी प्रमाणों के लिए खाता अनिच्छा हम जानते हैं।

— templatetypedef

व्यस्त बीवर फ़ंक्शन किसी भी प्रोग्राम की गणना करने के लिए बहुत तेज़ी से बढ़ता है। इसके विपरीत, आप एक फ़ंक्शन को परिभाषित कर सकते हैं क्योंकि सबसे अधिक संख्या n सबसे अधिक लंबाई के कार्यक्रम द्वारा गणना की जाती है । क्या यह विकर्ण के रूप में गिना जाता है? $f(n)$$n$

— युवल फिल्मस

@YuvalFilmus शायद मैं यहां बहुत सख्त हो रहा हूं, लेकिन यह मुझे एक विकर्ण-प्रकार तर्क की तरह लगता है: आप एक फ़ंक्शन का निर्माण कर रहे हैं जिसे टीएम द्वारा गणना किए गए सभी कार्यों से अलग माना जाता है।

— templatetypedef

Answer 1

हां, ऐसे प्रमाण हैं। वे लो बेसिस प्रमेय पर आधारित हैं ।

इस उत्तर को देखें कि क्या हॉल्टिंग समस्या का कोई सबूत नहीं है जो स्व-संदर्भित या विकर्णीकरण पर निर्भर नहीं करता है? अधिक के लिए cstheory पर सवाल।

Comments

अगर किसी को कम्प्यूटेबिलिटी थ्योरी में उन्नत तकनीकों में दिलचस्पी है तो रॉबर्ट आई। सारे की किताबों की रिकार्सेबल इन्युमरेबल सेट्स और डिग्री और कम्प्यूटेबिलिटी थ्योरी और एप्लीकेशंस देखें ।

— केवह

सही होने पर मुझे सही करें, लेकिन कम आधार प्रमेय के प्रमाण में खुद को एक कार्यात्मक लागू करना और यह पूछना शामिल नहीं है कि क्या इसका कोई मूल्य नहीं है? यदि ऐसा है, तो क्या यह एक विकर्ण तर्क के शीर्ष पर अप्रत्यक्ष की परत नहीं है?

— templatetypedef

@templatetypedef, मैं कोई विशेषज्ञ नहीं हूँ, लेकिन जहाँ तक मैं नहीं समझता हूँ। Soare की किताब में देखें पृष्ठ 109 ।

— कावेह

@templatetypedef, ps1: इस प्रश्न में कुछ अस्पष्टता है कि हम विकर्णीकरण को क्या मानते हैं। अगर हम सावधान नहीं हैं, तो हम हर बार जब हम कुछ ऐसा करते हैं, जो हम देखते हैं, तो हम विकर्णकरण का विस्तार कर सकते हैं। किसी दिए गए वर्ग से किसी भी वस्तु के बराबर होने से बचने के लिए प्राथमिकता के तरीकों या किसी भी सामान्य तरीके से भाग के निर्माण की किसी भी सामान्य विधि को लें।

— केवह

@ डेविड, :) मैं उस पुस्तक से पृष्ठ खोलता हूं जिसे मैं साझा करना चाहता हूं, शीर्ष पर शेयर बटन पर क्लिक करें, और लिंक को छोड़कर idऔर मापदंडों को हटा दें pg।

— केवह

Answer 2

यह वास्तव में एक सकारात्मक जवाब नहीं है, लेकिन एक रचनात्मक कोण के माध्यम से जो कुछ भी पूछा जाता है, उसके आस-पास का प्रयास। भौतिकी में अभी कुछ समस्याएं हैं जो अनिर्वचनीयता के गणितीय / सैद्धांतिक योगों से "बहुत दूर" हैं, और वे बढ़ते हुए "आदि" से "दूरस्थ" लगते हैं और "छोटी समानता" को हल करने की समस्या आदि को शामिल करते हैं; बेशक वे जड़ में हॉल्टिंग समस्या का उपयोग करते हैं लेकिन तर्क की श्रृंखला तेजी से दूर हो गई है और एक मजबूत "लागू" पहलू या प्रकृति भी है। दुर्भाग्य से इस क्षेत्र में अभी तक कोई महान सर्वेक्षण नहीं हुआ है। हाल ही में एक समस्या जो "आश्चर्यजनक रूप से" भौतिकी में अवांछनीय साबित हुई जिसने बहुत ध्यान आकर्षित किया है:

• वर्णक्रमीय अंतराल / क्यूबिट, पेरेस-गार्सिया, भेड़िया की अनिर्वायता

वर्णक्रमीय अंतर- जमीन की स्थिति और सिस्टम के पहले उत्तेजित अवस्था के बीच ऊर्जा अंतर - कई-शरीर भौतिकी को केंद्रीय करने के लिए केंद्रीय है। कई चुनौतीपूर्ण खुली समस्याएं, जैसे कि हल्डेन अनुमान, गैप्ड टोपोलॉजिकल स्पिन तरल चरणों के अस्तित्व का सवाल, और यांग-मिल्स गैप अनुमान, चिंता वर्णक्रमीय अंतराल। ये और अन्य समस्याएं सामान्य वर्णक्रमीय अंतर समस्या के विशेष मामले हैं: एक क्वांटम कई-शरीर प्रणाली के हैमिल्टन को देखते हुए, क्या यह गैपड या गैपलेस है? यहाँ हम यह साबित करते हैं कि यह एक समस्या है। विशेष रूप से, हम एक द्वि-आयामी जाली पर क्वांटम स्पिन सिस्टम के परिवारों का निर्माण पारदर्शी रूप से अपरिवर्तनीय, निकटतम-पड़ोसी इंटरैक्शन के साथ करते हैं, जिसके लिए वर्णक्रमीय अंतर समस्या अस्पष्ट है। यह परिणाम अन्य कम-ऊर्जा गुणों की अनिर्दिष्टता को बढ़ाता है,

आप जिस प्रश्न पर गौर कर रहे हैं, वह यह है कि (अनौपचारिक रूप से) अनिर्वायता के प्रमाण सभी में एक निश्चित "स्व-संदर्भात्मक" संरचना है, और यह औपचारिक रूप से और भी अधिक उन्नत गणित में सिद्ध हुआ है, जैसे कि ट्यूरिंग हॉल्टिंग समस्या और गोडेलस प्रमेय दोनों। एक ही अंतर्निहित घटना के उदाहरणों के रूप में देखा जा सकता है। उदाहरण देखें:

• रुकने की समस्या, अविश्वसनीय सेट: सामान्य गणितीय प्रमाण?

हॉल्टिंग प्रमेय, कैंटर की प्रमेय (एक सेट और उसकी शक्तियाँ का गैर-समरूपतावाद), और गोएडेल की अपूर्णता प्रमेय लॉविएट फिक्स्ड पॉइंट प्रमेय के सभी उदाहरण हैं, जो किसी भी कार्टेजियन बंद श्रेणी के लिए कहते हैं, अगर कोई एपिमोर्फिक मैप ई है: ए → (ए। इंक। बी) तब हर एफ: बी → बी का एक निश्चित बिंदु होता है।

हॉफस्टैटर की पुस्तकों में आत्म-संदर्भितता और अनिश्चयता के परस्पर संबंध की (आंतरिक) इस विषय पर एक लंबा ध्यान भी है। एक और क्षेत्र जहां अनिर्वायता के परिणाम आम हैं और शुरू में कुछ हद तक "आश्चर्यजनक" भग्न घटना के साथ था। प्रकृति में अकल्पनीय घटनाओं का क्रॉसकटिंग उपस्थिति / महत्व इस बिंदु पर लगभग एक मान्यता प्राप्त भौतिक सिद्धांत है, जिसे पहली बार वुल्फराम ने "कम्प्यूटेशनल तुल्यता के सिद्धांत" के रूप में देखा था ।

Comments

: अन्य undecidability के क्षेत्रों "आश्चर्य की बात / लागू किया" अनावधिक टाइलिंग , Conway में अंतिम स्थिरीकरण जीवन का खेल ( सेलुलर ऑटोमेटा )

— vzn

मेरी समझ यह है कि इन सभी समस्याओं के सबूतों को स्पष्ट नहीं किया गया है और सभी हॉल्टिंग समस्या से कम हो रहे हैं। क्या यह गलत है?

— templatetypedef

उत्तर मूल रूप से मानता है कि (सभी ज्ञात अनिर्दिष्टता के परिणाम को कम करने की समस्या को कम किया जा सकता है)। आपका प्रश्न लगभग एक अनुमान के रूप में व्यक्त किया गया है, और इसके बारे में किसी भी परस्पर विरोधी ज्ञान से अवगत नहीं हूं, और इसके पक्ष में बहुत सारे परिस्थितिजन्य सबूत देखें। लेकिन ज्ञात एक औपचारिक प्रमाण के सबसे करीब स्पष्ट रूप से अनिर्दिष्टता के निश्चित-बिंदु योग हैं ("स्व-संदर्भ" के अन्य औपचारिक सूत्र नहीं लगते हैं।) यह कहने का एक और तरीका यह है कि ट्यूरिंग पूर्णता और अनिर्वायता दो विचार हैं। अनिवार्य रूप से एक ही घटना।

— vzn