कैसे साबित करने के लिए पी


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मुझे पता है कि यह एक बहुत ही बेवकूफ (या राज्य के लिए बहुत स्पष्ट) सवाल लगता है। हालांकि, मैं कुछ बिंदु पर भ्रमित हूं।

हम दिखा सकते हैं कि पी एनपी= यदि और केवल अगर हम एक एल्गोरिथ्म डिज़ाइन कर सकते हैं जो एनपी को बहुपद समय में समस्या के किसी भी उदाहरण को हल करता है।

हालाँकि, मुझे समझ नहीं आ रहा है कि पृथ्वी पर हम कैसे साबित कर सकते हैं कि P NP । कृपया निम्न सिमिलिट्यूड के लिए मुझे क्षमा करें क्योंकि यह बहुत अप्रासंगिक हो सकता है, लेकिन किसी को यह साबित करने के लिए कि क्या पी के बराबर नहीं है एनपी मेरे लिए प्रकट होता है जैसे किसी को यह साबित करने के लिए कहना कि भगवान मौजूद नहीं है।

समस्याओं का एक समूह है, जो गैर-निर्धारक परिमित ऑटोमेटा (एनएफए) द्वारा वर्तमान तकनीक की परवाह किए बिना राज्यों की बहुपद संख्या के साथ हल करने में असमर्थ हैं (मुझे पता है कि यह एक टेढ़ी परिभाषा है)। इसके अलावा, हमारे पास एल्गोरिदम का एक बड़ा सेट है जो कुछ महत्वपूर्ण समस्याओं (कम से कम पथ, न्यूनतम फैले हुए पेड़, और यहां तक ​​कि पूर्णांक ) बहुपद-समय की समस्याओं का योग बनाता है।1+2++n

संक्षेप में मेरा प्रश्न: अगर मुझे लगता है कि पी एनपी= , तो आप कहेंगे "फिर अपना एल्गोरिथ्म दिखाएं जो बहुपद समय में एक एनपी समस्या को हल करता है!"। मान लीजिए कि मेरा मानना ​​है कि P NP । तब आप वास्तव में क्या पूछेंगे? आप मुझे क्या दिखाना चाहेंगे?

उत्तर स्पष्ट रूप से "आपका प्रमाण" है। हालाँकि, किस तरह के प्रमाण से पता चलता है कि एक एल्गोरिथ्म मौजूद नहीं हो सकता है? (इस मामले में, एक एनपी समस्या के लिए एक बहुपद समय एल्गोरिथ्म )


"एनडीएफएस" क्या है?

मेरा मतलब एनएफए (गैर-नियतात्मक परिमित ऑटोमेटा) था। संक्षिप्त नाम "गैर-नियतात्मक परिमित राज्य मशीन" था, जिसे मैंने गलती से लिखा है।
पैडावन

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शायद यह सवाल उपयोगी हो सकता है।
टॉम वैन डेर ज़ंडेन

@TomvanderZanden यह वास्तव में उपयोगी है, धन्यवाद!
पदवन

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"हम दिखा सकते हैं कि पी = एनपी अगर और केवल अगर हम एक एल्गोरिथ्म डिजाइन कर सकते हैं जो एनपी की समस्या के किसी भी उदाहरण को बहुपद समय में हल करता है।" - गलत । हमें एल्गोरिथ्म को लिखने में सक्षम नहीं होना चाहिए। यह अपना अस्तित्व दिखाने के लिए पर्याप्त है।
राफेल

जवाबों:


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तीन मुख्य तरीके हैं जिनसे मैं अवगत हूं कि यह साबित हो सकता है कि पीएनपी

  1. दिखा रहा है कि कुछ समस्या है जो  एनपी में है, लेकिन पी में नहीं  । आप शायद सबूत है कि तुलना आधारित छँटाई की जरूरत समय से परिचित हो की एक सूची सॉर्ट करने के लिए n  आइटम नहीं है। एक, सिद्धांत रूप में, एक समान सबूत दिखा सकता है कि 3SAT या कुछ अन्य एनपी- अधूरी समस्या को किसी भी निरंतर c के लिए  समय O ( n c ) में हल नहीं किया जा सकता है । जियोमेट्रिक कॉम्प्लेक्सिटी थ्योरी बीजगणित ज्यामिति और समूह प्रतिनिधित्व सिद्धांत से ऐसे निचले सीमाओं को साबित करने के लिए साधनों का उपयोग करके समरूपता पर विचार करती है, जिनके पास समस्याएं हैं। Ω(nलॉगn)nहे(nसी)सीसर्किट जटिलता एक और है।

  2. यह दिखाते हुए कि पी और  एनपी में अलग-अलग संरचनात्मक गुण हैं। उदाहरण के लिए, पी  पूरक के तहत बंद है। यदि आप दिखा सकते हैं कि एन.पी.सह-एनपी (यानी, एनपी  पूरक के तहत बंद नहीं है), तो यह होना चाहिए कि पीएनपी । बेशक, यह सिर्फ समस्या को एक स्तर पर धकेल रहा है - आप यह कैसे साबित करेंगे कि एन.पी.सह एनपी ?

    एसहे

  3. सिद्ध है कि कुछ समस्या NP- अपूर्ण नहीं है । यदि पी=Σ* एनपी


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साबित करें कि बहुपद पदानुक्रम किसी भी स्तर तक नहीं गिरता है।
मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी

पीएनपी

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संक्षेप में मेरा प्रश्न: अगर मुझे लगता है कि पी = एनपी , तो आप कहेंगे "फिर अपना एल्गोरिथ्म दिखाएं जो बहुपद समय में एक एनपी समस्या को हल करता है!"।

यह मत भूलो कि आपको अभी भी यह साबित करना है कि आपका एल्गोरिथ्म समस्या को हल करता है, और यह बहुपद समय में चलता है।

मान लीजिए कि मेरा मानना ​​है कि पी P एनपी । तब आप वास्तव में क्या पूछेंगे? आप मुझे क्या दिखाना चाहेंगे?

सबसे पहले, "क्यों" पी try एनपी को समझाने की कोशिश करें , और इस कारण का उपयोग एक उपयुक्त तार्किक ढांचे में पी ≠ एनपी को साबित करने के लिए किया जा सकता है । फिर एक सबूत स्केच करें, और समझाएं कि इसके सबसे संदिग्ध हिस्सों का बचाव कैसे किया जा सकता है। इसके बाद, इस प्रमाण को सरल कथनों में तोड़ दें, जिसे स्वतंत्र रूप से सत्यापित किया जा सकता है।

  • उदाहरण के लिए, ZFC द्वारा प्रदान की गई तार्किक रूपरेखा अच्छी है (एक निश्चित अर्थ में भी अच्छी) मॉडल के अस्तित्व को साबित करने के लिए (स्वयंसिद्ध रूप से दिए गए सेट के सेट, अक्सर यहां तक ​​कि अतिरिक्त धातु गुणों को भी संतुष्ट करते हैं)। इसलिए यदि आप कुछ अजीब गुणों के साथ मॉडल के अस्तित्व से संबंधित पी ≠ एनपी के लिए एक कारण जानते हैं, तो पहले इस कारण को समझाएं, और फिर यह दिखाएं कि जेडएफसी के भीतर संबंधित मॉडल का निर्माण कैसे किया जा सकता है।
  • एक गैर-उदाहरण के रूप में, मेरा मानना ​​है कि एक कारण "क्यों" पी that एनपी है कि गणित भौतिक दुनिया में लगभग सभी चीजों को अनुमानित कर सकता है, जिसमें यादृच्छिकता भी शामिल है। हालांकि, यह एक ज्ञात तथ्य है कि औपचारिक प्रणाली दी गई स्ट्रिंग, संख्या, "वस्तु", या "विरूपण साक्ष्य" को अनिवार्य रूप से यादृच्छिक साबित करने की उनकी क्षमता में बहुत सीमित हैं, इसलिए यह संभावना नहीं है कि इस कारण का उपयोग प्रमाण के लिए किया जा सकता है किसी भी स्पष्ट रूप से निर्धारक औपचारिक प्रणाली में। हो सकता है कि यदि आपने एक संभाव्य (क्वांटम) प्रूफ सिस्टम डिजाइन किया हो, तो आप सिस्टम में कुछ प्रमाणों को सत्यापित कर सकते हैं, जो आपके उपलब्ध भौतिक संसाधनों के आधार पर एक परिमित संभावना तक ...
  • एक गैर-गैर-उदाहरण के रूप में, बहिष्कृत मध्य का कानून मूल रूप से (गणितीय) ब्रह्मांड के एक स्थिर दृष्टिकोण को दर्शाता है, और इसलिए एक गतिशील ब्रह्मांड में पकड़ की संभावना बेहद कम है। अब NP = coNP (या बहुपद पदानुक्रम का कोई अन्य पतन) मूल रूप से समय जटिलता के संबंध में बहिष्कृत मध्य के कानून का एक अनुमानित संस्करण होगा, लेकिन समय जटिलता संभव के लिए एक गतिशील ब्रह्मांड के बहुत करीब है। गिरार्ड के रैखिक तर्क जैसे तार्किक ढांचे हैं जो ब्रह्मांड के गतिशील पहलुओं को पकड़ने में सक्षम हैं, इसलिए ... ध्यान दें कि ब्रूवर एक समान स्थिति में थे और पहले से ही हिल्बर्ट के कार्यक्रम की आवश्यक विफलता को उनके उद्घाटन संबोधन में तथ्यवाद और औपचारिकता के रूप में बताया। 1912 में (यह बताते हुए कि यह गोलाकार तर्क क्यों होगा), लेकिन अभी भी 1930 से गोडेल के अधूरे प्रमाण को स्केच करने में असमर्थ था।
  • एक अनुमानित उदाहरण के रूप में, आइए पी namely एनपी के लिए उपलब्ध सबूतों में से कुछ को पकड़ने की कोशिश करें , अर्थात् यात्रा सेल्समैन पॉलिटोप के लिए घातीय निचली सीमा , और कमजोर कबूतर सिद्धांतों के कारण संतोषजनकता के लिए संकल्प आधारित प्रक्रियाओं की गहनता।। इस मामले में "क्यों" यह है कि एनपी-पूर्ण समस्याओं का एक निश्चित वर्ग एल्गोरिदम द्वारा कुशलतापूर्वक हल नहीं किया जा सकता है, जो कुछ प्राकृतिक (एनपी-पूर्ण समस्याओं के वर्ग के लिए) सिद्धांतों पर निर्भर करता है, जैसे टीएसपी के लिए रैखिक प्रोग्रामिंग फॉर्मूले, या रिज़ॉल्यूशन आधारित सैट के लिए सबूत के तरीके। अलग-अलग कागजात ने अलग-अलग स्वतंत्र कारण बताए कि यह कुछ साबित करने के लिए क्यों इस्तेमाल किया जा सकता है, उदाहरण के लिए टीएसपी के अंतिम पेपर ने "एलपी और अर्ध-क्वांटम संचार प्रोटोकॉल के सेमीफाइनल प्रोग्रामिंग सुधारों के बीच निकट संबंध" को तर्क के रूप में उद्धृत किया, जबकि संकल्प में अंतिम पेपर दो स्वतंत्र कारणों का हवाला दिया, अर्थात् "कबूतर के सिद्धांत का प्रतिनिधित्व करने वाले सूत्रों का एक वर्ग और यादृच्छिक रूप से उत्पन्न सूत्रों के लिए"।
    आप यह भी देख सकते हैं कि समय के साथ परिणामों को मजबूत करने का प्रयास किया गया था। टीएसपी के लिए प्रारंभिक परिणाम केवल संबंधित सममित रैखिक प्रोग्रामिंग तैयार करते हैं, जबकि नवीनतम परिणामों में ऐसा कोई प्रतिबंध नहीं है, और टीएसपी के अलावा अधिकतम कटौती और अधिकतम स्थिर सेट समस्याओं पर भी लागू होता है। रिज़ॉल्यूशन के प्रारंभिक परिणामों को केवल बुनियादी डेविस-पुटनाम रिज़ॉल्यूशन प्रक्रियाओं और कृत्रिम काउंटर-उदाहरणों का एक एकल वर्ग माना जाता है, जबकि नवीनतम परिणाम रिज़ॉल्यूशन आधारित विधियों के बड़े वर्गों को कवर करते हैं, और स्वाभाविक रूप से होने वाले काउंटर-उदाहरणों के कई वर्ग देते हैं।
    टीएसपी के लिए, मुझे नहीं पता कि परिणामों को और अधिक कैसे मजबूत किया जाना चाहिए, शायद टीएसपी, अधिकतम कटौती और अधिकतम स्थिर सेट के अलावा और अधिक समस्याओं को लागू करने के अलावा। रिज़ॉल्यूशन के लिए, मेरे पास कई विचार होंगे कि परिणामों को और अधिक कैसे मजबूत किया जाए, लेकिन मैं जिस लेख से जुड़ा हूं वह 2002 से है, स्टीफन कुक और फुओंग गुयेन ने 2010 में प्रूफ़ कॉम्प्लेक्सिटी का एक मोनोग्राफ लॉजिकल फ़ाउंडेशन प्रकाशित किया था जिसे मैंने भी नहीं देखा है, और मैंने लगता है कि यह पहले से ही मेरे कई विचारों को कवर करेगा। यह ध्यान रखना दिलचस्प है कि यह वास्तव में हममें से कितना अंतर करता है, पी how एनपी में हमारी रुचि के बावजूद इन परिणामों को समय के साथ कितना मजबूत किया गया हैसवाल। भले ही यह इस बीच सिद्ध हो गया हो कि कट नियम के समतुल्य बिना तार्किक प्रणाली पर निर्भर एल्गोरिदम कुशलता से समस्या का समाधान नहीं कर सकता है, हम फिर भी यह मानेंगे कि पी , एनपी पर अनिवार्य रूप से कोई प्रगति नहीं हुई है, कि समस्या अनिवार्य रूप से है अभी भी हमेशा की तरह व्यापक रूप से खुला है।
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