एक रोगविरोधी की जाँच की विश्वसनीयता?

Question

मान लीजिए कि मेरे दो कार्य और और मैं यह निर्धारित करने में रुचि रखता हूं कि क्या$F$$G$

$$F(x) = \int G(x)dx.$$

मान लीजिए कि मेरे कार्य प्राथमिक कार्यों (बहुपद, घातांक, लॉग, और त्रिकोणमितीय कार्यों) से बने हैं, लेकिन टेलर श्रृंखला नहीं कहते हैं।

क्या यह समस्या निर्णायक है? यदि नहीं, तो क्या यह महत्वपूर्ण है?

(मैं पूछ रहा हूं क्योंकि मैं कम्प्यूटेबिलिटी पर एक कक्षा पढ़ा रहा हूं और एक छात्र ने मुझसे पूछा कि क्या कोई टीएम आपको एक फ़ंक्शन को एकीकृत करने में मदद कर सकता है जिसका अभिन्न वर्तमान में पता नहीं था। मुझे संदेह है कि जिन कार्यों को हम नहीं जानते हैं उन्हें कैसे एकीकृत किया जाए। ठीक से कार्य जिनका अभिन्न अंग उपर्युक्त प्राथमिक कार्यों के संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, न कि उन कार्यों के लिए जिन्हें हम वास्तव में अभिन्न नहीं जानते हैं, लेकिन मुझे इस बारे में सोचना है कि क्या इंटीग्रल की जांच करने की सामान्य समस्या निर्णायक थी।)

Comments

आप प्रतीकात्मक भेदभाव के बारे में पूछ रहे हैं। आप en.wikipedia.org/wiki/Symbolic_computation और en.wikipedia.org/wiki/Computer_algebra_system पर एक नज़र डाल सकते हैं । यह मेरे लिए स्पष्ट नहीं है कि आप किस वर्ग के कार्यों की अनुमति देते हैं। आप किस प्रकार की रचना की अनुमति देते हैं? जैसे, है$F(x)=\sin(\cos(e^x)) + \log(2x^3+3)$अनुमति? मेरा सुझाव है कि आप एक पुनरावर्ती परिभाषा का उपयोग करने के बारे में परवाह किए जाने वाले कार्यों के वर्ग को औपचारिक बनाने का प्रयास करें। क्या आपने यह देखने की कोशिश की है कि जब आप श्रृंखला नियम का उपयोग करते हैं तो क्या होता है, और देखें कि क्या आप एक पुनरावर्ती एल्गोरिदम प्राप्त कर सकते हैं जो सभी मामलों को संभालता है?

— डीडब्ल्यू

चूंकि भेदभाव करना आसान है, आप वास्तव में पूछ रहे हैं कि क्या हम यह तय कर सकते हैं कि क्या एक अभिव्यक्ति है $F$पहचान शून्य है। यह संभवतः एक समस्या है जिस पर जानकारी ढूंढना आसान है।

— युवल फिल्मस

Answer 1

आपके प्रश्न का संक्षिप्त उत्तर "नहीं" है। रिचर्डसन की प्रमेय और इसके बाद के विस्तार मूल रूप से बताते हैं कि जैसे ही आप प्राथमिक त्रिकोणमितीय कार्यों को शामिल करते हैं, निर्णय लेने की समस्या$f(x) = 0$ (और इसलिए यदि $f(x) = g(x)$, क्योंकि यह जैसा है वैसा ही है $f(x) - g(x) = 0$) अकारण है।

इस बारे में दिलचस्प बात यह है कि वास्तविक बंद क्षेत्रों का पहला-क्रम सिद्धांत निर्णायक है। सहज रूप से, त्रिकोणमितीय कार्यों को जोड़ने का कारण प्रथम-क्रम प्रणाली को अनुचित बनाता है, क्योंकि आप पूर्णांक के माध्यम से निर्माण कर सकते हैं$\{ x \in R : \sin(\pi x) = 0 \}$, और पूर्णांकों का सिद्धांत अपरिहार्य है।

वास्तविक बंद क्षेत्रों के सिद्धांत के साथ है या नहीं $e^x$यह एक काफी प्रसिद्ध खुली समस्या है ।

इससे भी अधिक दिलचस्प बात यह है कि यदि आपके पास एक ओरेकल है जो निरंतर समस्या को हल करता है (यानी एक ओरेकल जो आपको बता सकता है कि $f(x) = 0$या नहीं), फिर परिमित शब्दों में प्राथमिक कार्यों का एकीकरण निर्णायक है , और एक व्यावहारिक एल्गोरिथ्म ज्ञात है। तो दिया$G(x)$, हम पा सकते हैं $F(x)$ या पता है कि कोई प्राथमिक अभिन्न नहीं है $G$ परिमित शब्दों में।

Answer 2

आपकी समस्या निम्नलिखित सरल प्रश्न को कम करती है:

दो कार्य दिए $F,G$ कार्यों के वर्ग में, क्या हमारे पास है $F(x)=G(x)$ सबके लिए $x$? (दूसरे शब्दों में, क्या उनका हर जगह समान मूल्य है?)

मुझे नहीं पता कि क्या यह इस श्रेणी के कार्यों के लिए निर्णायक है। यदि ऐसा है, तो आपकी समस्या भी विकट होनी चाहिए।

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आपकी समस्या के लिए, एक सामान्य दृष्टिकोण है: प्रतीकात्मक रूप से अंतर $F(x)$ लेना $F'(x)$, फिर जांचें कि क्या हमारे पास है $F'(x)=G(x)$ सबके लिए $x$।

तो महत्वपूर्ण कदम प्रतीकात्मक भेदभाव है। आइए जानें कि अधिक विस्तार से कैसे करें। हम पुनरावर्ती रूप से स्वीकार्य कार्यों के वर्ग को परिभाषित कर सकते हैं:

$$\newcommand{\or}{\;\vert\;} F(x) ::= c \or x \or e^x \or \log(x) \or \sin(x) \or \cos(x) \or \tan(x) \or F_1(x) + F_2(x) \or F_1(x) \times F_2(x) \or F_1(x)/F_2(x) \or F_1(F_2(x))$$

कहाँ पे $c$ स्थिरांक और $F,F_1,F_2$ कार्यों पर सीमा।

पथरी के मानक नियमों (जैसे, चेन नियम, आदि) का उपयोग करके प्रतीकात्मक रूप से कार्यों के इस वर्ग को विभेदित करने के लिए एक पुनरावर्ती एल्गोरिदम तैयार करना संभव है। विशेष रूप से, हम ऊपर दिए गए प्रत्येक मामले को संभाल सकते हैं, और पुनरावर्ती रूप से दिखा सकते हैं कि व्युत्पन्न को इस वर्ग के भीतर एक फ़ंक्शन के रूप में प्रतीकात्मक रूप से व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए:

• अगर $F(x)=c$, $F'(x)=0$।

• अगर $F(x)=x$, $F'(x)=1$।

• अगर $F(x)=e^x$, $F'(x)=e^x$।

• अगर $F(x)=\log(x)$, $F'(x)=1/x$।

• अगर $F(x)=\sin(x)$, $F'(x)=\cos(x)$।

• अगर $F(x)=\tan(x)$, $F'(x)=1 + (\tan(x))^2$।

• अगर $F(x)=F_1(x)+F_2(x)$, $F'(x)=F'_1(x)+F'_2(x)$।

• अगर $F(x)=F_1(x) \times F_2(x)$, $F'(x)=F'_1(x) F_2(x) +F_1(x) F'_2(x)$।

• अगर $F(x) = F_1(F_2(x))$, $F'(x) = F'_1(F_2(x)) F'_2(x)$ (श्रृंखला नियम)।

और इसी तरह। प्रत्येक मामले में, यदि$F(x)$ स्वीकार्य कार्यों के वर्ग में है, तो ऐसा है $F'(x)$, और आप पुनरावृत्ति के लिए प्रतीकात्मक अभिव्यक्ति का काम कर सकते हैं $F'(x)$- इसे प्रतीकात्मक विभेदन के रूप में जाना जाता है ।

अंत में, जो कुछ बचता है वह जांचना है $F'(x)=G(x)$ सबके लिए $x$। मेरे जवाब के शीर्ष पर यही समस्या है।

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यह जाँचने के लिए एक सरल तरीका है कि क्या दो कार्य समान रूप से समान हैं जो मैं अभ्यास में बहुत अच्छी तरह से काम करने की अपेक्षा करता हूँ। एल्गोरिथ्म यह है: बार-बार का एक यादृच्छिक मूल्य चुनें$x$, और जाँच करें कि क्या $F(x)=G(x)$ के उस मूल्य के लिए रखती है $x$। यदि यह कई बेतरतीब ढंग से चुने गए के लिए समानता के साथ रखता है$x$, फिर आउटपुट "वे समान रूप से समान हैं"। अगर आपको कोई मिल जाए$x$ जिसके लिए $F(x)\ne G(x)$, फिर आउटपुट "वे अलग हैं"।

इस बात की कोई गारंटी नहीं है कि यह काम करेगा, लेकिन कई वर्गों के कार्यों के लिए, इस प्रक्रिया का आउटपुट उच्च संभावना के साथ सही होगा। विशेष रूप से, मान लीजिए कि हमारे पास कुछ वितरण है$x$ यादृच्छिक चर द्वारा प्रतिनिधित्व किया $X$ और कुछ $\epsilon>0$ ऐसा है कि $\Pr[F(X)=0] \ge \epsilon$ सभी के लिए रखती है $F$कक्षा मैं। मान लीजिए कि स्वीकार्य कार्यों का वर्ग घटाव के तहत बंद है (जैसा कि आपकी कक्षा है)। फिर वह इस प्रकार है$r$ उपरोक्त प्रक्रिया के दौर में प्रायिकता के साथ गलत उत्तर दिया गया है $(1-\epsilon)^r$।

इसके अलावा, यदि बहुपद समानता परीक्षण के लिए एक यादृच्छिक प्रक्रिया है, तो समस्या निर्णायक है।

यह पूछने के लिए रहता है कि क्या ऐसा परिणाम आपके विशेष कार्यों के वर्ग के लिए है। ऊपर दिया गया बयान शायद पकड़ में नहीं आएगा। हालांकि, अगर हम भाग्यशाली हैं, तो शायद हम निम्नलिखित में से कुछ को साबित करने में सक्षम हो सकते हैं:

सबके लिए $s \in \mathbb{N}$, शायद हम वास्तविक संख्याओं पर एक वितरण पा सकते हैं, अर्थात, एक यादृच्छिक चर $X_s$, और एक स्थिर $\epsilon_s > 0$, जैसे कि ऐसा $\Pr[F(X)=0]$ सभी कार्यों के लिए रखती है $F$ जो आपकी कक्षा में हैं और उनमें "आकार" है $s$।

यदि यह सच है, तो यह पालन करेगा कि बहुपद समानता परीक्षण के लिए एक यादृच्छिक एल्गोरिथ्म है और इस प्रकार आपकी समस्या निर्णायक है।