आयताकार टुकड़ों के साथ कवर करने की एनपी-कठोरता (Google हैश कोड 2015 टेस्ट राउंड)

Question

Google हैश कोड 2015 टेस्ट राउंड ( समस्या कथन ) ने निम्नलिखित समस्या के बारे में पूछा:

• इनपुट: कुछ चिह्नित वर्गों के साथ एक ग्रिड , एक थ्रेशोल्ड , एक अधिकतम क्षेत्रटी ∈ एन ए ∈ $M$$T \in \mathbb{N}$$A \in \mathbb{N}$
• आउटपुट: पूर्णांक आयतों के समुच्चय का सबसे बड़ा संभव कुल क्षेत्रफल में पूर्णांक निर्देशांक के साथ है, जैसे कि प्रत्येक आयत में कम से कम चिह्नित वर्ग शामिल हैं और प्रत्येक आयत में अधिकांश पर क्षेत्र है ।टी $M$$T$$A$

Google की शब्दावली में, ग्रिड एक पिज्जा है, चिह्नित वर्ग हैम हैं, और असंतुष्ट आयताकार स्लाइस हैं।

हम स्पष्ट रूप से एक अतिरिक्त इनपुट जोड़कर एक निर्णय समस्या के लिए इस समस्या को अलग तरीके से व्यक्त कर सकते हैं और जवाब रहने दो "वहाँ की स्थिति जिसका कुल क्षेत्रफल कम से कम है संतोषजनक संबंध तोड़ना आयतों का एक सेट है वर्ग"।$n \in \mathbb{N}$$n$

मेरा प्रश्न: जबकि Google समस्या ने अभ्यर्थियों से एक हल खोजने के लिए कहा, जो एक विशिष्ट उदाहरण पर गणना की समस्या के लिए "जितना संभव हो उतना अच्छा" है, मुझे लगता है कि यह संभावना है कि सामान्य समस्या (अपने निर्णय में) यह एनपी-पूर्ण है। हालाँकि, मुझे एनपी-कठोरता दिखाने के लिए कमी नहीं मिल सकती है। (एनपी-सदस्यता तत्काल है।) कैसे साबित करें कि यह समस्या एनपी-हार्ड है?

कुछ उदाहरणों से समस्या का अनुमान लगाने में मदद मिलती है। पर विचार करें से ग्रिड , चिह्नित वर्गों के साथ , और , चिह्नित वर्गों को इंगित करने के लिए रेखांकन के साथ :4 { 0 , 1 , 2 , 3 } × { 0 , 1 , 2 , 3 } ( 1 , 1 ) ( 0 , 2 ) ( 2 , 2 $4$$4$$\{0, 1, 2, 3\} \times \{0, 1, 2, 3\}$$(1, 1)$$(0, 2)$$(2, 2)$X

..X.
.X..
..X.
....

सेट (अधिकतम की आयतों वर्ग) और , सर्वोत्कृष्ट समाधान (कवर पूरे ग्रिड कि) निम्नलिखित आयतों लेने के लिए है (कम से कम एक वर्ग आयत प्रति चिह्नित में):६ टी = $A = 6$$6$$T = 1$

aaAa
bBcc
bbCc
bbcc

निम्नलिखित ग्रिड पर, और :टी = $A = 3$$T = 2$

XXX
.X.
...

केवल तीन वर्गों को कवर करने से बेहतर कोई नहीं कर सकता:

AAA
.X.
...

या

XBX
.B.
.b.

(याद रखें कि विभाजन में आयतें ओवरलैप नहीं हो सकती हैं)।

इस प्रश्न को देखने वाले अन्य लोगों के साथ, हमने बिन पैकिंग, समस्याओं को कवर करने, 3-SAT और हैमिल्टनियन चक्रों से कटौती की कोशिश की, और हमने एक काम करने के लिए प्रबंधन नहीं किया।

Answer 1

यह मोनोटोन पब्लिक प्लेनर 1-3 सैट से कटौती का एक स्केच है:

परिभाषा [1-3 SAT समस्या]:
इनपुट: एक 3-CNF सूत्र , जिसमें प्रत्येक खंड में ठीक तीन शाब्दिक शामिल हैं: । प्रश्न: क्या लिए एक संतोषजनक कार्य मौजूद है जैसे कि प्रत्येक खंड में वास्तव में एक सही शाब्दिक है।$\varphi = C_1 \land C_2 \land ... \land C_m$$C_j$$C_j = (\ell_{j,1} \lor \ell_{j,2} \lor \ell_{j,3})$
$\varphi$$C_j$

समस्या एनपी-पूर्ण बनी रहती है, भले ही क्लॉज में सभी शाब्दिक शब्द सकारात्मक (मोनोटोन) हों, यदि वैरिएबल (PLANAR) के साथ क्लॉज को जोड़ने वाला ग्राफ प्लानर (PLANAR) है और हर वेरिएबल बिल्कुल 3 क्लॉस (CUBIC) (C. Moore) और JM में समाहित है रॉबसन, सरल टाइलों के साथ हार्ड टाइलिंग समस्याएं, डिस्क्रीट कंप्यूट। जियोम 26 (2001), 573-590।)

हम , और आंकड़े में हैम को नीले बक्से (ट्रांसजेनिक हैम?) से दर्शाया जाता है, नारंगी बक्से के साथ पिज्जा।$T=3, A=6$

विचार हैम के पटरियों का उपयोग करना है जो सकारात्मक या नकारात्मक संकेतों को ले जाते हैं; यह ट्रैक 1 और 2 टुकड़ों के झुंडों के विकल्प के साथ बनाया गया है, जो इतनी दूर रखा गया है कि वे क्षेत्र के पिज्जा के एक स्लाइस द्वारा ठीक से कवर किए जा सकें ; ट्रैक के सेगमेंट को वैकल्पिक रूप से या साथ चिह्नित किया जाता है, यदि पॉजिटिव सेगमेंट पर स्लाइस काटे जाते हैं तो ट्रैक पॉजिटिव सिग्नल ले जाएगा:$A$$+$$-$

प्रत्येक चर , जो कि वास्तव में 3 SAT क्लॉज़ से जुड़ा है, को तीन हैम ट्रैक्स (पॉज़िटिव सेगमेंट) के तीन समीपवर्ती छोरों द्वारा दर्शाया जाता है, इस तरह से कि इसे काटने के 2 अलग-अलग तरीके हैं, एक सकारात्मक संकेत को "उत्पन्न" करेगा। सभी 3 ट्रैक्स पर (यह असाइनमेंट को रिप्रेजेंट करता है ) अन्य नेगेटिव सिग्नल ( )। ध्यान दें कि हम मिश्रित सकारात्मक और नकारात्मक संकेत भी उत्पन्न कर सकते हैं, लेकिन उस स्थिति में कम से कम एक हैम खुला रहता है ।$x_i$$x_i = TRUE$$x_i = FALSE$

3 साथ 1-3 SAT सूत्र के प्रत्येक खंड को तीन अलग हैम पटरियों के तीन आने वाले सकारात्मक खंडों के साथ एक एकल हैम द्वारा दर्शाया गया है। ; एक सकारात्मक संकेत ले जाने वाले तीन पटरियों में से केवल एक के निर्माण से हैम-क्लॉज को "कवर" किया जा सकता है।एल आई , 1 , एल आई , 2 , एल आई , $C_j$$L_{i,1}, L_{i,2}, L_{i,3}$

अंत में हम अंतर्निहित प्लानर ग्राफ के अनुसार संकेतों को ले जाने और समापन बिंदुओं को समायोजित करने के लिए शिफ्ट और गैजेट्स को बदल सकते हैं:

मान लीजिए कि परिणामी ग्राफ में hams है। पिज्जा के प्रत्येक स्लाइस के निर्माण में ठीक 3 हैम होना चाहिए, और सभी मामलों में हर स्लाइस को क्षेत्र तक बढ़ाया जा सकता है ।$H$$A$

यदि मूल 1-3 सैट का फार्मूला संतोषजनक है तो निर्माण से हम पिज्जा के टुकड़े ( कुल क्षेत्रफल के साथ ) काट सकते हैं और कोई हैम खुला नहीं रहता है।ए एच /$H /3$$A H / 3$

ओप्पोसोसाइट दिशा में, अगर हम टुकड़ों को काट सकते हैं पिज्जा (कुल क्षेत्रफल ) तो कोई हैम खुला नहीं रहता है, और चर गैजेट्स और क्लॉस पर संकेत सुसंगत हैं: क्लॉज पर हैम कवर किया गया है एक सकारात्मक चर से आने वाले वास्तव में एक सकारात्मक टुकड़ा, और प्रत्येक चर 3 सकारात्मक संकेत या 3 नकारात्मक संकेत (कोई मिश्रित संकेत नहीं) उत्पन्न करता है; इसलिए कटौती एक वैध 1-3 सैट असाइनमेंट को प्रेरित करती है।ए एच /$H /3$$A H / 3$