कठोरता और कटौती की दिशा

Question

हम कहते हैं कि हम जानते हैं कि समस्या ए कठिन है, तो हम ए को अज्ञात समस्या को कम करते हैं बी को साबित करने के लिए बी भी कठिन है।

एक उदाहरण के रूप में: हम जानते हैं कि 3-रंग कठिन है। फिर हम 3-रंग को कम करके 4-रंग करते हैं। 3-रंग में से किसी एक रंग को स्वीकार करने से आपको 4-रंग करना पड़ता है, 4-रंग में एर्गो करना मुश्किल होता है।

ऐसा ही है। लेकिन यह एक प्रमाण क्यों है कि 4-रंग कठिन है? क्या यह है कि आप 3-रंग समस्या को हल करने के लिए 4-रंग की समस्या के समाधान का उपयोग कर सकते हैं? यदि हां, तो कैसे? यदि नहीं, तो यह एक वैध प्रमाण क्यों है?

बोनस q: बहुपद कटौती दोनों तरीकों से जाने में सक्षम होना चाहिए?

संपादित करें: यदि आप यह समझाने में सक्षम होंगे कि ऐसा क्यों है तो एक उदाहरण से आप इंटरनेट का पक्ष लेंगे। मुझे यह कहीं भी एक ठोस तरीके से समझाया नहीं गया।

Comments

यदि आप दो एनपी-पूर्ण समस्याओं से निपट रहे हैं, तो हां, बहुपदीय कमी होनी चाहिए जो दोनों तरीकों से होती है। कई मामलों में, ए से बी और बी से ए तक की कटौती एक दूसरे से बहुत अलग दिख सकती है।

— जो

यदि समस्याएं दोनों एक ही जटिलता वर्ग में नहीं हैं, तो दोनों तरीकों से कमी नहीं हो सकती है।

— जो

Answer 1

एक समस्या से कमी $A$ एक और समस्या के लिए $B$ एक परिवर्तन है $f$ किसी भी उदाहरण के $a$ का $A$ एक उदाहरण में $f(a)$ का $B$, ऐसा है कि

$$\qquad\qquad x∈A ~~⇔~~ f(x)∈B \qquad \qquad (E)$$

अगर $f$ वह परिवर्तन है जो उस जटिलता को संरक्षित करता है जिसमें आप रुचि रखते हैं (उदाहरण के लिए) $f$ यदि आप विचार करें तो एक बहुपद परिवर्तन है $\mathsf{NP}$-हार्डनेस) फिर एक एल्गोरिथ्म का अस्तित्व $\mathcal A_B$ हल $B$ एक एल्गोरिथ्म को हल करने के अस्तित्व का तात्पर्य है $A$: यह चलाने के लिए पर्याप्त है $f$, फिर $\mathcal A_B$।

इसलिए ऐसी कमी का अस्तित्व $A$ सेवा $B$ मतलब कि $B$ से आसान नहीं है $A$। दूसरे तरीके से कटौती करना आवश्यक नहीं है।

उदाहरण के लिए, ग्राफ़ के रंग के लिए। आप 3-रंग को 4-रंग से कम कर सकते हैं लेकिन तत्काल तरीके से नहीं। अगर आप ग्राफ लेते हैं$G$ और आप चुनते हैं $f(G)=G$ तब आपके पास वह होगा $x∈3\mathsf{COL}$ $⇒$ $f(x)∈4\mathsf{COL}$ लेकिन आपके पास नहीं है $f(x)∈4\mathsf{COL}$ $⇒$ $x∈3\mathsf{COL}$बेशक। निष्कर्ष यह है कि समतुल्यता$(E)$ सम्मानित नहीं है, इसलिए $f$है न कमी।

आप एक सही कमी का निर्माण कर सकते हैं $f$ से $3\mathsf{COL}$ सेवा $4\mathsf{COL}$ लेकिन यह थोड़ा अधिक जटिल है: किसी भी ग्राफ के लिए $G$, चलो $f(G)$ ग्राफ बनो $G$ एक और नोड के साथ बढ़ाया $u$ यह एक किनारे के साथ हर दूसरे नोड से जुड़ा हुआ है।

• परिवर्तन जटिलता-संरक्षण (बहुपद, यहाँ) है;
• अगर $G$ में है $3\mathsf{COL}$ फिर $f(G)$ में है $4\mathsf{COL}$: बस के लिए चौथे रंग का उपयोग करें $u$;
• अगर $f(G)$ में है $4\mathsf{COL}$ तो आप साबित कर सकते हैं कि सभी नोड्स को छोड़कर $u$ एक रंग है जो नहीं है $u$इसलिए है $G$ में है $3\mathsf{COL}$।

जो यह साबित करता है $f$ एक कमी है और वह है $4\mathsf{COL}$ से कठिन है $3\mathsf{COL}$। आप उसी तरह से साबित कर सकते हैं$n\mathsf{COL}$ से कठिन है $m\mathsf{COL}$ किसी के लिए $n≥m$इस तथ्य का दिलचस्प सबूत है कि $3\mathsf{COL}$ किसी से भी कठिन है $n\mathsf{COL}$।

Comments

इस तरह की कटौती का मतलब यह क्यों है कि बी ए से आसान नहीं है? प्रयास के लिए यूवी, लेकिन मेरे पुष्ट मस्तिष्क के लिए बहुत सार।

— अनफिन कैट ऑक्ट

क्या यह है कि उत्तर A के लिए A के समान ही होगा क्योंकि आपने A को B में घटा दिया है? मुझे लगता है कि मुझे यह मिल गया है: यदि मूल उदाहरण में तीन रंग हैं, तो परिवर्तित उदाहरण में चार-रंग होगा, इसलिए यदि उत्तर "हां, इसमें चार रंग हैं", तो उत्तर भी "हां, है" एक तीन रंग "? लेकिन क्या यह अभी भी संभव नहीं है कि परिवर्तित उदाहरण B में A के बिना तीन रंग वाले चार रंग हैं? मुझे लगता है कि चार रंगों के साथ एक ग्राफ को

— रंगना

@ TheUnfunCat (3 और 4-रंग उदाहरण के साथ अद्यतन)

— jmad