नूथ, डी ब्रुइजन और राइस (1972) द्वारा "प्लांटेड प्लेन पेड़ों की औसत ऊँचाई" पर

मैं केवल कम साधनों के साथ प्राथमिक पत्र (कोई सृजन कार्य, कोई जटिल विश्लेषण, कोई फूरियर विश्लेषण) द्वारा शीर्षक में क्लासिक पेपर प्राप्त करने की कोशिश कर रहा हूं । संक्षेप में, मैं "केवल" यह साबित करना चाहता हूं कि नोड्स के साथ एक पेड़ की औसत ऊंचाई (अर्थात, जड़ से एक पत्ती तक नोड्स की अधिकतम संख्या) संतुष्ट । $h_n$ $n$ $h_n \sim \sqrt{\pi n}$

रूपरेखा निम्नानुसार है। मान लें कि से कम या उसके बराबर ऊँचाई वाले पेड़ों की संख्या हो (कन्वेंशन सभी ) और नोड्स के पेड़ों की संख्या (यानी, ) से अधिक या उसके बराबर ऊँचाई के साथ । फिर , जहां परिमित राशि है यह सर्वविदित है कि $A_{nh}$ $h$ $A_{nh} = A_{nn}$ $h \geqslant n$ $B_{nh}$ $n$ $h+1$ $B_{nh} = A_{nn} - A_{nh}$ $h_n = S_n/A_{nn}$ $S_n$

S_{n} = \sum_{h ⩾ 1} h (A_{n h} - A_{n, h - 1}) = \sum_{h ⩾ 1} h (B_{n, h - 1} - B_{n h}) = \sum_{h ⩾ 0} B_{n h} .

$S_n = \sum_{h \geqslant 1} h(A_{nh} - A_{n,h-1}) = \sum_{h \geqslant 1} h(B_{n,h-1} - B_{nh}) = \sum_{h \geqslant 0} B_{nh}.$

A_{n n} = \frac{1}{n} (\binom{2 n - 2}{n - 1})

$A_{nn} = \frac{1}{n}\binom{2n-2}{n-1}$ के लिए,

n

$n$ नोड्स के साथ सामान्य पेड़ों के सेट को कैटलन संख्याओं द्वारा गिने गए

n - 1

$n-1$ नोड्स के साथ द्विआधारी पेड़ों के सेट के साथ पूर्वाग्रह में है ।

इसलिए, पहला कदम $B_{nh}$ और फिर के विस्तार में मुख्य शब्द है $S_n$ ।

इस बिंदु पर लेखक प्राप्त करने के लिए विश्लेषणात्मक संयोजन (तीन पृष्ठ) का उपयोग करते हैं

{बी}_{n + 1, ज - 1} = \underset{क ⩾ 1}{Σ} [(\binom{2 n}{n + 1 - क ज}) - 2 (\binom{2 n}{n - क ज}) + (\binom{2 n}{n - 1 - क ज})] ।

$B_{n+1,h-1} = \sum_{k \geqslant 1} \left[\binom{2n}{n+1-kh} - 2\binom{2n}{n-kh} + \binom{2n}{n-1-kh}\right].$

मेरा अपना प्रयास इस प्रकार है। मैं के साथ पेड़ों के बीच द्विभाजन पर विचार एक वर्ग ग्रिड पर नोड्स और monotonic पथ से के लिए जो विकर्ण पार नहीं करते (और दो प्रकार के चरणों से बने होते हैं: और )। इन रास्तों को कभी-कभी डाइक पथ या सैर भी कहा जाता है । मैं जाली पथों के संदर्भ में अब व्यक्त कर सकता हूं : यह लंबाई 2 (n-1) के डाइक पथों की संख्या और बराबर या उससे अधिक ऊंचाई है । (नोट: ऊँचाई का वृक्ष ऊंचाई डाइक पथ के साथ आपत्ति में है ।) $n$ $(n-1) \times (n-1)$ $(0,0)$ $(n-1,n-1)$ $\uparrow$ $\rightarrow$ $B_{nh}$ $h$ $h$ $h-1$

सामान्यता के नुकसान के बिना, मेरा मानना है कि वे शुरू होते हैं (इसलिए विकर्ण से ऊपर रहते हैं)। प्रत्येक पथ के लिए, मैं पहले चरण को लाइन , यदि कोई हो, पर विचार करता है। ऊपर के बिंदु से, सभी तरह से मूल में वापस, मैं को में बदल देता हूं और इसके विपरीत (यह एक प्रतिबिंब wrt है लाइन )। यह स्पष्ट हो जाता है कि जिन रास्तों को मैं गिनना चाहता हूं ( ) से तक के मोनोटोनिक रास्तों से हैं जो सीमाओं से बचते हैं और । ( आंकड़ा देखें ) $\uparrow$ $y = x + h - 1$ $\uparrow$ $\rightarrow$ $y=x+h$ $B_{nh}$ $(-h,h)$ $(n-1,n-1)$ $y=x+2h+1$ $y=x-1$

मोहंती (1979, पृष्ठ 6) की क्लासिक किताब लॉटीस पाथ काउंटिंग एंड एप्लीकेशंस में फॉर्मूला से एक जाली में monotonic रास्तों की संख्या की गणना के लिए , सीमाओं से बचने के जो और , और । (यह परिणाम पहली बार 50 के दशक में रूसी सांख्यिकीविदों द्वारा स्थापित किया गया था।) इसलिए, में एक नए मूल पर विचार करके , हम सूत्र की शर्तों को पूरा करते हैं: ,

\sum_{k \in Z} [(\binom{m + n}{m - k (t + s)}) - (\binom{m + n}{n + k (t + s) + t})],

$\sum_{k \in \mathbb{Z}} \left[\binom{m+n}{m-k(t+s)} - \binom{m+n}{n+k(t+s)+t}\right],$

(0, 0)

$(0,0)$

(m, n)

$(m,n)$

y = x - t

$y = x - t$

y = x + s

$y = x + s$

t > 0

$t > 0$

s > 0

$s > 0$

(- h, h)

$(-h,h)$

s = 1

$s=1$

t = 2 h + 1

$t=2h+1$ और गंतव्य बिंदु (ऊपरी दायां कोना) अब । फिर इसे में सरल बनाया जा सकता है जो बदले में, अपेक्षित सूत्र के साथ अंतर यह है कि मैं सभी सकारात्मक पूर्णांक ( ) के बजाय विषम संख्या ( ) से अधिक हूं ।

(n + h - 1, n - h - 1)

$(n+h-1,n-h-1)$

B_{n h} = \sum_{k \in Z} [(\binom{2 n - 2}{n + h - 1 - k (2 h + 2)}) - (\binom{2 n - 2}{n - h - 1 + k (2 h + 2) + 2 h + 1})] .

$B_{nh} = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \left[\binom{2n-2}{n+h-1-k(2h+2)} - \binom{2n-2}{n-h-1+k(2h+2) + 2h+1}\right].$

B_{n + 1, h - 1} = \sum_{k \in Z} [(\binom{2 n}{n + 1 - (2 k + 1) h}) - (\binom{2 n}{n - (2 k + 1) h})],

$B_{n+1,h-1} = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \left[\binom{2n}{n+1-(2k+1)h} - \binom{2n}{n-(2k+1)h}\right],$

B_{n + 1, h - 1} = \sum_{k ⩾ 0} [(\binom{2 n}{n + 1 - (2 k + 1) h}) - 2 (\binom{2 n}{n - (2 k + 1) h}) + (\binom{2 n}{n - 1 - (2 k + 1) h})] .

$B_{n+1,h-1} = \sum_{k \geqslant 0} \left[\binom{2n}{n+1-(2k+1)h} - 2\binom{2n}{n-(2k+1)h} + \binom{2n}{n-1-(2k+1)h}\right].$

2 k + 1

$2k+1$

k

$k$

किसी भी विचार जहां समस्या है?

— ईसाई
स्रोत

आप कहते हैं कि आप केवल प्राथमिक चीजों का उपयोग करना चाहते हैं, फिर भी आप एक पुस्तक से एक परिणाम का उपयोग करते हैं। मोहंती आपके द्वारा उपयोग की जाने वाली पहचान को कैसे प्राप्त करता है?

— राफेल

मैं पहले वाक्य में परिभाषित करता हूं कि "प्राथमिक" से मेरा क्या मतलब है: कोई सृजन कार्य, कोई जटिल विश्लेषण, कोई फूरियर विश्लेषण नहीं। अपनी पुस्तक में, मोहंती उस सूत्र को प्राप्त करने के लिए प्राथमिक साधनों का उपयोग करते हैं, अधिक सटीक रूप से, प्रतिबिंब के सिद्धांत और जाली मार्गों पर समावेश-बहिष्करण। (मैं पूर्व का उपयोग करता हूं।) यदि आप जोर देते हैं, तो मैं प्रश्न के अंत में उसका प्रमाण जोड़ूंगा।

— ईसाई

बिल्कुल नहीं, बस यह सुनिश्चित करना चाहते थे कि आप अपना नियम स्वयं नहीं तोड़ रहे थे।

— राफेल

गैर-प्राथमिक तकनीक के रूप में सूचीबद्ध 'जनरेटिंग फ़ंक्शंस' को देखने के लिए मेरे लिए यह बहुत अजीब है जब विश्लेषणात्मक दहनशास्र को स्पष्ट रूप से प्राथमिक माना जाता है। लगभग स्वाभाविक रूप से गैर-प्राथमिक मूल्य की तरह लगता है; क्या आपके पास केंद्रीय द्विपद गुणांक के एसिम्पोटिक्स का एक तुलनीय प्रमाण है, जो आपको बेहतर खोज देता है? मुझे संदेह है कि दोनों निकटता से संबंधित हैं ...

\sqrt{π}

$\sqrt{\pi}$

— स्टीवन स्टडनिक

से तक के मोनोटोनिक रास्तों से आप पहली बार केवल पार करने से पहले केवल सीमा से बचते हैं । इस प्रकार आपके द्वारा उपयोग किया जाने वाला सूत्र लागू नहीं है। $(−h,h)$ $(n−1,n−1)$ $y=x+2h+1$ $y=x+h$

— FrankW
स्रोत