निर्णय की समस्याएं बनाम "वास्तविक" समस्याएं जो हां या नहीं नहीं हैं

मैंने कई जगहों पर पढ़ा कि कुछ समस्याएं लगभग अनुमानित हैं (यह लगभग एनपी-मुश्किल है उन्हें अनुमानित करने के लिए)। लेकिन सन्निकटन एक निर्णय समस्या नहीं है: उत्तर एक वास्तविक संख्या है और नहीं हां या नहीं। प्रत्येक वांछित सन्निकटन कारक के लिए भी, कई उत्तर हैं जो सही हैं और कई गलत हैं, और यह वांछित सन्निकटन कारक के साथ बदलता है!

तो कोई कैसे कह सकता है कि यह समस्या एनपी-हार्ड है?

(दूसरी गोली से प्रेरित कितनी मुश्किल से एक निर्देशित ग्राफ में दो नोड्स के बीच सरल रास्तों की संख्या की गिनती है? )

— रान जी।
स्रोत

जैसा कि आपने कहा, बनाने का कोई निर्णय नहीं है, इसलिए अनुकूलन-समस्याओं के लिए एनपी-कठोरता की उपयुक्त परिभाषा पर पहुंचने के लिए नई जटिलता वर्गों और नए प्रकार की कटौती की आवश्यकता है ।

ऐसा करने का एक तरीका दो नई कक्षाएं एनपीओ और पीओ हैं जिनमें अनुकूलन संबंधी समस्याएं हैं और वे निर्णय की समस्याओं के लिए एनपी और पी की कक्षाओं की नकल करते हैं । नए कटौती की भी जरूरत है। फिर हम लाइनों की अनुकूलन समस्याओं के लिए एनपी-कठोरता का एक संस्करण फिर से बना सकते हैं जो निर्णय समस्याओं के लिए सफल था। लेकिन पहले हमें यह स्वीकार करना होगा कि अनुकूलन-समस्या क्या है।

परिभाषा: एक अनुकूलन-समस्या हो । इनपुट्स या इंस्टेंस का सेट है जिसे स्ट्रिंग्स के रूप में उपयुक्त एन्कोड किया गया है। एक समारोह है कि प्रत्येक उदाहरण के नक्शे है तार का एक सेट, पर संभव समाधान के कहने । यह एक सेट है क्योंकि अनुकूलन-समस्या के कई समाधान हैं। इस प्रकार हम हेवन एक उद्देश्य समारोह है कि हर जोड़ी के लिए हमें बताता है $O=(X,L,f,opt)$ $X$ $L$ $x\in X$ $x$ $f$ उदाहरण और समाधान अपने कीलागतयामूल्य। हमें बताता है कि क्या हम अधिकतम या न्यूनतम कर रहे हैं। $(x, y)$ $y\in L(x)$ $opt$

यह परिभाषित करने के लिए क्या एक की अनुमति देता है इष्टतम समाधान है: चलो हो इष्टतम समाधान एक उदाहरण के एक अनुकूलन-समस्या का के साथ $y_{opt}\in L(x)$ $x\in X$ $O=(X,L,f,opt)$ इष्टतम समाधान अक्सर से दर्शाया जाता है ।

f (x, y_{o p t}) = o p t {f (x, y^{'}) ∣ y^{'} \in L (x)} .

$f(x,y_{opt})=opt\{f(x,y')\mid y'\in L(x)\}.$

y^{*}

$y^*$

अब हम वर्ग NPO को परिभाषित कर सकते हैं : को सभी अनुकूलन-समस्याओं साथ सेट करें: $NPO$ $O=(X,L,f,opt)$

$X\in P$
के साथ एक बहुपद है सभी उदाहरणों के लिए और सभी संभव समाधान । इसके अलावा वहाँ एक नियतात्मक एल्गोरिथ्म कि बहुपद समय है कि क्या में फैसला करता है । $p$ $|y|\le p(|x|)$ $x\in X$ $y\in L(x)$ $y\in L(x)$
बहुपद काल में का मूल्यांकन किया जा सकता है। $f$

इसके पीछे अंतर्ज्ञान है:

हम कुशलता से सत्यापित कर सकते हैं कि क्या वास्तव में हमारी अनुकूलन समस्या का एक वैध उदाहरण है। $x$
संभव समाधान के आकार आदानों के आकार में polynomially घिरा है, और हम कुशलतापूर्वक सत्यापित कर सकते हैं, तो का उदाहरण एक fesible समाधान है । $y\in L(x)$ $x$
एक समाधान के मान कुशलता से निर्धारित किया जा सकता है। $y\in L(x)$

इस दर्पण कैसे के लिए परिभाषित किया गया है, अब पीओ : Let से सभी समस्याओं का सेट हो कि बहुपद समय में एक नियतात्मक एल्गोरिथ्म द्वारा हल किया जा सकता है। $NP$ $PO$ $NPO$

अब हम परिभाषित करने में सक्षम हैं कि हम एक अनुमान-एल्गोरिथ्म को क्या कहते हैं : एक अनुकूलन-समस्या का एक अनुमान-एल्गोरिथ्म एक एल्गोरिथ्म है जो एक व्यवहार्य समाधान की गणना करता है एक उदाहरण के लिए । $O=(X,L,f,opt)$ $y\in L(x)$ $x\in X$

नोट: कि हम एक इष्टतम समाधान के लिए नहीं पूछते हैं हम केवल एक व्यवहार्य है।

अब हम दो प्रकार की त्रुटियां हैं: निरपेक्ष त्रुटि एक व्यवहार्य समाधान के एक उदाहरण के अनुकूलन-समस्या का है । $y\in L(x)$ $x\in X$ $O=(X,L,f,opt)$ $|f(x,y)-f(x,y^*)|$

हम एक सन्निकटन-एल्गोरिथ्म के निरपेक्ष त्रुटि फोन अनुकूलन-समस्या के लिए से घिरा अगर एल्गोरिथ्म हर उदाहरण के लिए computes एक से घिरा एक निरपेक्ष त्रुटि के साथ संभव समाधान । $A$ $O$ $k$ $A$ $x\in X$ $k$

उदाहरण: ग्राफ के रंगीन सूचकांक के आकार के सिद्धांत के अनुसार (प्रयुक्त रंगों की सबसे कम संख्या के साथ किनारे के रंग में रंगों की संख्या) या तो या , जहां अधिकतम नोड डिग्री है। प्रमेय के प्रमाण से एक अनुमान-एल्गोरिथ्म को तैयार किया जा सकता है जो रंगों के साथ किनारे के रंग की गणना करता है । तदनुसार हम के लिए एक सन्निकटन-एल्गोरिथ्म है $\Delta$ $\Delta+1$ $\Delta$ $\Delta+1$ -Problem जहां पूर्ण त्रुटि से बंधी है। $\mathsf{Minimum-EdgeColoring}$ $1$

यह उदाहरण एक अपवाद है, छोटे निरपेक्ष त्रुटियों कर रहे हैं दुर्लभ, इस प्रकार हम परिभाषित रिश्तेदार त्रुटि सन्निकटन-एल्गोरिथ्म के पर उदाहरण अनुकूलन-समस्या का साथ सभी के लिए और होने के लिए $\epsilon_A(x)$ $A$ $x$ $O=(X,L,f,opt)$ $f(x,y)>0$ $x\in X$ $y\in L(x)$

ϵ_{A} (x) := {\begin{cases} 0 & f (x, A (x)) = f (x, y^{*}) \\ \frac{| f (x, A (x)) - f (x, y^{*}) |}{max {f (x, A (x)), f (x, y^{*})}} & f (x, A (x)) \neq f (x, y^{*}) \end{cases}

$\epsilon_A(x):=\begin{cases}0&f(x,A(x))=f(x,y^*)\\\frac{|f(x,A(x))-f(x,y^*)|}{\max\{f(x,A(x)),f(x,y^*)\}}&f(x,A(x))\ne f(x,y^*)\end{cases}$

जहां संभव समाधान सन्निकटन-कलन विधि द्वारा गणना है । $A(x)=y\in L(x)$ $A$

अब हम सन्निकटन-एल्गोरिथ्म परिभाषित कर सकते हैं अनुकूलन-समस्या के लिए एक होने के लिए -approximation-कलन विधि के लिए अगर रिश्तेदार त्रुटि से घिरा है हर उदाहरण के लिए , इस प्रकार $A$ $O=(X,L,f,opt)$ $\delta$ $O$ $\epsilon_A(x)$ $\delta\ge 0$ $x\in X$

ϵ_{A} (x) \leq δ \forall x \in X .

$\epsilon_A(x)\le \delta\qquad \forall x\in X.$

के चुनाव रिश्तेदार त्रुटि की परिभाषा के हर में अधिकतम और न्यूनतम करने के लिए परिभाषा सममित बनाने के लिए चुना गया था। रिश्तेदार त्रुटि के मूल्य । एक अधिकतम समस्या के मामले में समाधान के मूल्य कभी नहीं की तुलना में कम है $\max\{f(x,A(x)),f(x,y^*)\}$ $\epsilon_A(x)\in[0,1]$ और कभी नहीं से बड़ा एक न्यूनतम करने के लिए समस्या। $(1-\epsilon_A(x))\cdot f(x,y^*)$ $1/(1-\epsilon_A(x))\cdot f(x,y^*)$

अब हम एक अनुकूलन-समस्या कॉल कर सकते हैं अगर वहाँ एक है -approximable -approximation-एल्गोरिथ्म के लिए कि बहुपद समय में चलाता है। $\delta$ $\delta$ $A$ $O$

हम हर उदाहरण लिए त्रुटि नहीं देखना चाहते हैं , हम केवल सबसे खराब स्थिति में देखते हैं। इस प्रकार हम परिभाषित , अधिक से अधिक relativ त्रुटि सन्निकटन-एल्गोरिथ्म के अनुकूलन-समस्या के लिए होने की $x$ $\epsilon_A(n)$ $A$ $O$

ϵ_{A} (n) = sup {ϵ_{A} (x) ∣ | x | \leq n} .

$\epsilon_A(n)=\sup\{\epsilon_A(x)\mid |x|\le n\}.$

कहाँ उदाहरण का आकार होना चाहिए । $|x|$

उदाहरण: एक ग्राफ़ में अधिकतम मिलान मिलान से शीर्ष कवर तक सभी घटना नोड्स को जोड़कर एक न्यूनतम नोड कवर में परिवर्तित किया जा सकता है । इस प्रकार किनारों को कवर किया जाता है। इष्टतम एक-एक कवर बढ़त के नोड्स के एक होना चाहिए सहित प्रत्येक शीर्ष कवर, अन्यथा यह सुधार किया जा सकता के रूप में, हमारे पास । यह इस प्रकार है $C$ $1/2\cdot |C|$ $1/2\cdot |C|\cdot f(x,y^*)$ इस प्रकार एक अधिक से अधिक मिलान के लिए लालची एल्गोरिथ्म एक हैके लिए -approximatio-एल्गोरिथ्म। इसलिएहै-approximable।

\frac{| C | - f (x, y^{*})}{| C |} \leq \frac{1}{2}

$\frac{|C|-f(x,y^*)}{|C|}\le\frac{1}{2}$

1 / 2

$1/2$

M i n i m a l - V e r t e x C o v e r

$\mathsf{Minimal-VertexCover}$

M i n i m a l - V e r t e x C o v e r

$\mathsf{Minimal-VertexCover}$

1 / 2

$1/2$

दुर्भाग्य से सापेक्ष त्रुटि हमेशा सन्निकटन के लिए गुणवत्ता की सबसे अच्छी धारणा नहीं होती है क्योंकि निम्न उदाहरण प्रदर्शित करता है:

उदाहरण: एक सरल लालची-एल्गोरिथ्म । एक विश्लेषण से पता चलता है कि $\mathsf{Minimum-SetCover}$ और इस प्रकारहोगा

\frac{| C |}{| C^{*} |} \leq H_{n} \leq 1 + \ln (n)

$\frac{|C|}{|C^*|}\le H_n\le 1+\ln(n)$

M i n i m u m - S e t C o v e r

$\mathsf{Minimum-SetCover}$

-approximable।

\frac{\ln (n)}{1 + \ln (n)}

$\frac{\ln(n)}{1+\ln(n)}$

यदि सापेक्ष त्रुटि के करीब है तो निम्नलिखित परिभाषा लाभप्रद है। $1$

चलो के साथ एक अनुकूलन-समस्या हो सभी के लिए और और के लिए एक सन्निकटन-एल्गोरिथ्म । सन्निकटन-अनुपात संभव समाधान की $O=(X,L,f,opt)$ $f(x, y)>0$ $x\in X$ $y\in L(x)$ $A$ $O$ $r_A(x)$ उदाहरण के है $A(x)=y\in L(x)$ $x\in X$

r_{A} (x) = {\begin{cases} 1 & f (x, A (x)) = f (x, y^{*}) \\ max {\frac{f (x, A (x))}{f (x, y^{*})}, \frac{f (x, y^{*})}{f (x, A (x))}} & f (x, A (x)) \neq f (x, y^{*}) \end{cases}

$r_A(x)=\begin{cases}1&f(x,A(x))=f(x,y^*)\\\max\left\{ \frac{f(x,A(x))}{f(x, y^*)},\frac{f(x, y^*)}{f(x, A(x))}\right\}&f(x,A(x))\ne f(x,y^*)\end{cases}$

जैसा कि पहले हम एक सन्निकटन-एल्गोरिथ्म फोन एक अनुकूलन-समस्या के लिए -approximation-एल्गोरिथ्म अगर सन्निकटन-अनुपात से घिरा है हर इनपुट के लिए । और एक बार फिर अगर हम एक है -approximation-एल्गोरिथ्म अनुकूलन-समस्या के लिए तो कहा जाता है -approximable $A$ $r$ $O$ $r_A(x)$ $r\ge1$ $x\in X$

r_{A} (x) \leq r

$r_A(x)\le r$

r

$r$

A

$A$

O

$O$

O

$O$ $r$ । फिर से हम केवल सबसे खराब स्थिति की परवाह करते हैं और अधिकतम अनुमानित अनुपात-अनुपात

को परिभाषित करते हैं

तदनुसार उप-समकालिक समाधानों के लिए सन्निकटन-अनुपात

से बड़ा है । इस प्रकार बेहतर समाधानों में छोटे अनुपात होते हैं। के लिए

r_{A} (n)

$r_A(n)$

r_{A} (n) = sup {r_{A} (x) ∣ | x | \leq n} .

$r_A(n)=\sup\{r_A(x)\mid |x|\le n\}.$

1

$1$

अब हम लिख सकते हैं कि यह

-approximable है। और

हम पिछले उदाहरण से जानते हैं कि यह

-approximable है। सापेक्ष त्रुटि और सन्निकटन-अनुपात के बीच हमारे सरल संबंध हैं:

M i n i m u m - S e t C o v e r

$\mathsf{Minimum-SetCover}$

(1 + \ln (n))

$(1+\ln(n))$

M i n i m u m - V e r t e x C o v e r

$\mathsf{Minimum-VertexCover}$

2

$2$

r_{A} (x) = \frac{1}{1 - ϵ_{A} (x)} ϵ_{A} (x) = 1 - \frac{1}{r_{A} (x)} .

$r_A(x)=\frac{1}{1-\epsilon_A(x)}\qquad \epsilon_A(x)=1-\frac{1}{r_A(x)}.$

$\epsilon<1/2$ $r<2$ $\epsilon\ge 1/2$ $r\ge 2$

$\alpha$ $\alpha\le 1$ $\alpha\ge 1$ $\alpha=1$

$O$ $NPO$ $r$ $r\ge1$

हम लगभग हैं। हम जटिलता के सिद्धांत से कटौती और पूर्णता के सफल विचारों की नकल करना चाहते हैं । अवलोकन यह है कि अनुकूलन-समस्याओं के कई एनपी-कठोर निर्णय वेरिएंट एक-दूसरे के लिए reducible हैं, जबकि उनके अनुकूलन वेरिएंट में उनकी अनुमानितता के बारे में अलग-अलग गुण हैं। यह एनपी-पूर्णता की कटौती में उपयोग किए जाने वाले बहुपद-काल-कटौती के कारण है, जो उद्देश्य फ़ंक्शन को संरक्षित नहीं करता है। और भले ही वस्तुनिष्ठ कार्यों को बहुपद के रूप में संरक्षित किया गया हो, कार्प-कमी समाधान की गुणवत्ता को बदल सकती है।

$O_1$ $O_2$ $O_2$ $O_1$

$O_1=(X_1,L_1,f_1,opt_1)$ $O_2=(X_2,L_2,f_2,opt_2)$ $NPO$ $O_1$ $AP$ $O_2$ $O_1\le_{AP} O_2$ $g$ $h$ $c$

$g(x_1, r)\in X_2$ $x_1\in X_1$ $r>1$
$L_2(g(x, r_1))\ne\emptyset$ $L_1(x_1)\ne\emptyset$ $x_1\in X_1$ $r>1$
$h(x_1, y_2, r)\in L_1(x_1)$ $x_1\in X_1$ $r>1$ $y_2\in L_2(g(x_1,r))$
$r$ $g$ $h$
$f_{2} (g (x_{1}, r), y_{2}) \leq r \Rightarrow f_{1} (x_{1}, h (x_{1}, y_{2}, r)) \leq 1 + c \cdot (r - 1)$ $f_2(g(x_1,r),y_2)\le r \Rightarrow f_1(x_1,h(x_1,y_2,r))\le 1+c\cdot(r-1)$ $x_1\in X_1$ $r>1$ $y_2\in L_2(g(x_1,r))$

$g$ $h$ $r$ $g(x_1)$ $h(x_1, y_2)$

$O_2\in APX$ $O_1\le_{AP} O_2$ $O_1\in APX$

$\mathcal{C}$ $\mathcal{C}$

$O$ $NPO$ $\mathcal{C}$ $NPO$ $O$ $\mathcal{C}$ $\le_{AP}$ $O'\in\mathcal{C}$ $O'\le_{AP} O$

$\mathcal{C}$ $\mathcal{C}$ $\le_{AP}$ $\mathcal{C}$

$NPO$ $APX$ $NPO$ $\mathsf{SAT}$ $\mathsf{Weighted-Satisfiability}$ $NPO$ $\mathsf{Maximum-3SAT}$ $APX$

— उली
स्रोत

ओह और कृपया इस तुलनात्मक रूप से लंबी पोस्टिंग के लिए मेरी माफी स्वीकार करें, लेकिन मेरे पास एक छोटा लिखने के लिए समय नहीं था।

— औली

पंच लाइन की निश्चितता यह है कि PCP प्रमेय द्वारा आप MAX3SAT और SAT को लिंक कर सकते हैं, इस प्रकार यह दिखाते हैं कि MAX 3SAT को लगभग कुछ हद तक बेहतर करने के लिए लगभग NP-कठिन है। यह एक अर्थ में, कुक-लेविन प्रमेय के बराबर है।

— सुरेश

@ सुरेश बेशक, लेकिन इस परिणाम में आपको एक अंतर-संरक्षण में कमी की आवश्यकता है जहाँ तक मुझे याद है। और जैसा कि आप पहले ही अपने पोस्ट में उनके बारे में लिख चुके हैं, मैं उन्हें यहां नकल नहीं करना चाहता था।

— औली

शानदार जवाब, +1! मुझे आश्चर्य है कि क्या आपका जवाब कुछ संदर्भों पर आधारित है?

— टिम

@ निश्चित रूप से किताबें हैं, मैंने कुछ अन्य उत्तर

— uli

आमतौर पर जो दिखाया जाता है वह समस्या के "गैप" संस्करण की एनपी-कठोरता है। उदाहरण के लिए, मान लें कि आप दिखाना चाहते हैं कि 2 के कारक के भीतर SET COVER को अनुमानित करना कठिन है।

आप SET COVER के निम्नलिखित "वादे" उदाहरण को परिभाषित करते हैं जिसे हम 2-GAP-SET-COVER कहेंगे:

$\ell$

$\ell$
$2\ell$

मान लीजिए कि हम दिखाते हैं कि दोनों में से किसी एक मामले में निर्णय लेने की समस्या एनपी-पूर्ण है। तब हमने दिखाया है कि 2 के एक कारक के भीतर सेट सेवर को एनपी-हार्ड किया गया है, क्योंकि हम इन दोनों मामलों को अलग करने के लिए इस तरह के एक एल्गोरिथ्म का उपयोग कर सकते हैं।

— सुरेश
स्रोत

दो मौजूदा उत्तर बहुत जानकारीपूर्ण हैं, लेकिन मुझे नहीं लगता कि उनमें से कोई भी वास्तव में सवाल का जवाब देता है, जो है, "एक समस्या कैसे हो सकती है जो निर्णय की समस्या भी नहीं है, एनपी-हार्ड हो, जब एनपी निर्णय समस्याओं का एक वर्ग है। ? "

$L$ $L$ $L$

कुछ उदाहरण।

$L$ $L$ $L$ $L$
#SAT सीएनएफ फॉर्मूले को संतोषजनक असाइनमेंट की संख्या की गणना करने की समस्या है। यह स्पष्ट रूप से एनपी में नहीं है क्योंकि, जैसा कि आप देखते हैं, एनपी निर्णय की समस्याओं का एक वर्ग है और # एसएटी उनमें से एक नहीं है। हालाँकि, बहुपत्नी-काल ट्यूरिंग कटौती के तहत #SAT एनपी-हार्ड है क्योंकि हम एसएटी को कम कर सकते हैं। SAT उदाहरण को देखते हुए, हम पूछते हैं कि कितने संतोषजनक कार्य हैं: यदि कम से कम एक है, तो हम कहते हैं कि "संतोषजनक"; अन्यथा, "असंतोषजनक"।
$\varphi$ $\varphi$ $\varphi$ $\varphi'=\varphi \wedge (Z_1\vee \dots \vee Z_{10})$ $Z_i$ $\varphi'$ $\varphi$ $\varphi'$ $\varphi$ $\varphi'$

— डेविड रिचीर्बी
स्रोत