परिमित समय में अनंत गणनाएँ


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यह शायद एक मूर्खतापूर्ण सोचा है, लेकिन लगता है कि हम एक कंप्यूटर है कि गणना की एक अनंत अनुक्रम प्रदर्शन करते हैं और लगता है कि करने के लिए प्रोग्राम रहा है गणना लेता है 1 / 2 मैं पूरा करने के लिए सेकंड। फिर यह कंप्यूटर एक परिमाण में अनंत संख्या में गणना कर सकता है।ith1/2i

यह असंभव क्यों है? क्या एक गैर-तुच्छ गणना करने के लिए कितना समय लगता है, इस पर एक कम बाध्य है?


संबंधित अवधारणा, परिमित ऊर्जा का उपयोग करके अनंत संगणनाएँ: डायसन की शाश्वत बुद्धिमत्ता
पीटर

जवाबों:


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कंप्यूटर के इस "प्रकार" को ज़ेनो मशीन के रूप में जाना जाता है । इसका कम्प्यूटेशनल मॉडल Hypercomputation नामक श्रेणी में आता है । हाइपरकंप्यूटेशनल मॉडल गणितीय सार होते हैं, और उन तरीकों के कारण जिन्हें वे काम करने के लिए परिभाषित करते हैं, वे शारीरिक रूप से संभव नहीं हैं।

उदाहरण के लिए अपनी ज़ेनो मशीन लें। अगर हम ज़ेनो मशीन की किसी भी तरह की गणना करने वाली मशीन होने की कल्पना करते हैं, तो क्या यह अबेकस या एकीकृत सर्किट का उपयोग करता है या नहीं। मान लें कि मशीन द्वारा उपयोग किए जाने वाले प्रोग्राम डेटा को प्रतीकों के एक असीम रूप से लंबे टेप (बस एक ट्यूरिंग मशीन की तरह) द्वारा इसे खिलाया जाता है।

बेशक, हम गणित से जानते हैं कि:

12+14+18...=n=1(12)n

जो हम कहते हैं कि बराबर है । इस प्रकार अभिकलन 1 सेकंड में पूरा होना चाहिए क्योंकि योग पूरी तरह से परिवर्तित होता है।1

लेकिन इस अभिसरण, ज़ाहिर है पर निर्भर है, के लिए जा रहा है (और तक पहुँचने) अनंत। भौतिक अर्थ में, इसका मतलब है कि प्रत्येक गणना के लिए आवश्यक समय छोटा हो जाता है, गणना मशीन के "रीड हेड" को टेप में प्रतीकों के साथ तेजी से और तेज़ी से ज़िप करना होगा। कुछ बिंदु पर, यह गति प्रकाश की गति को पार कर जाएगी।n

तो आपके दूसरे प्रश्न का उत्तर देते हुए, गणना पर पूरी तरह से संभव सबसे कम-संभवतया प्लैंक समय के आदेश पर होगा, सैद्धांतिक रूप से प्राथमिक सीमित कारक के रूप में प्रकाश की गति, लेकिन गणना के भौतिक-प्रशंसनीय मॉडल।



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क्या यह कार्यक्रम: 10: गोटो 10 ज़ेनो मशीन पर खत्म होता है?
Cano64

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सरल शब्दों में, गणित यह निर्धारित करता है कि एक "गणना" असीम रूप से विभाज्य है। हालाँकि, यह किसी भी भौतिक मशीन के साथ ऐसा नहीं है, जैसा कि आप अंततः एक बिंदु पर पहुंच जाते हैं, जहां आपने काम की सबसे छोटी इकाई को मारा है जो मशीन प्रदर्शन कर सकती है। उस बिंदु के बाद गणना को जारी रखना संभव नहीं है, भले ही गणित आपको अनुमति देता हो। दूसरे शब्दों में, मशीन वास्तव में गणना के अनंत श्रृंखला के अंत तक पहुंचने से बहुत पहले ही बाहर निकल जाती है। कुछ बिंदु पर प्रति गणना का समय कम हो जाता है, और आपको अनंत समय की आवश्यकता होती है।
एरोथ

@ Cano64 मुझे ऐसा नहीं लगता। मेरा मानना ​​है कि हाइपरकंप्यूटेशन में डिसेबिलिटी की कसौटी यह है कि गणना का समय-योग पूरी तरह से परिवर्तित हो जाता है।
सब कुछ

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एक आदिम अभिकलन के लिए लिया गया समय प्रकाश की गति और परमाणुओं के आकार तक सीमित है, जहाँ तक हम इस दिन, 15 सितंबर, 2015 को भौतिकी को समझते हैं।

अभिकलन इकाई को गैर-शून्य आकार (परमाणुओं) के कुछ से बाहर निर्मित करने की आवश्यकता होती है और काम करने के लिए गणना के लिए, बिजली या प्रकाश को इसके चारों ओर जिप करने की आवश्यकता होगी, जो कि तब तक सीमित रहेगी जब तक कि यह गैर-जिप में प्रकाश को ग्रहण करने में कितना समय लेती है। -जो दूरी।


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सीमाओं को आगे बढ़ाने वाले विज्ञान के हाल के इतिहास में एक ठोस उदाहरण विशाल चुंबकत्व है , एक नोबेल-पुरस्कार विजेता खोज जिसने हार्ड ड्राइव पर डेटा घनत्व के लिए पहले असंभव सोचा था। कई, कई और भी हैं यदि आप वापस जाते हैं; 1500 ईस्वी के एक व्यक्ति को "स्मार्टफोन" की संभावना समझाने की कोशिश करें। (वे सिर्फ एक चुड़ैल के रूप में आपको जला सकते हैं, इसलिए सावधान रहें।) इसलिए मुझे लगता है कि हमें यह नहीं मानना ​​चाहिए कि भौतिकी का हमारा वर्तमान ज्ञान क्या संभव है पर कठिन सीमा को प्रेरित करता है।
राफेल

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Σn=1(12)n1

121434लाल रंग में लीटर। अब आप जारी रखें, हमेशा नीले रंग की बाल्टी में लाल बाल्टी में आधा हिस्सा डालें। स्पष्ट रूप से आपको लाल बाल्टी में एक लीटर से अधिक कभी नहीं मिलेगा, और स्पष्ट रूप से आपको नीली बाल्टी में हमेशा पानी डालना होगा।

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संपादित करें : जैसा कि @aroth द्वारा उल्लेख किया गया है, यह सादृश्य मानता है कि हम पानी को हमेशा के लिए विभाजित कर सकते हैं; कोई भी छोटा अविभाज्य परमाणु नहीं है। जो दिलचस्प (मुझे लगता है) इंगित करता है कि हम भी परिमित समय में समाप्त करने के लिए गणना के लिए मनमाने ढंग से विभाज्य होने का समय मान सकते हैं।


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"और स्पष्ट रूप से आपको नीली बाल्टी में हमेशा पानी डालना होगा" - जरूरी नहीं। एक सटीक पर्याप्त उपकरण डालने से आप अंततः उस बिंदु पर पहुंच जाएंगे जहां नीली बाल्टी में पानी के 2 अणु हैं। फिर 1 अणु। तब आप या तो अंतिम अणु डालते हैं, या आप नहीं करते हैं। या आप इसे इसके आधार परमाणुओं में तोड़ देते हैं, लेकिन फिर यह पानी नहीं है (या एसटीपी पर छिद्र)। बिंदु, आप अनंत श्रृंखला के अंत तक पहुंचने से पहले अच्छी तरह से पानी के अंतिम अणु तक उतर जाएंगे , इसलिए नीले रंग की बाल्टी में "हमेशा" पानी नहीं होगा।
एरोथ

@ यर्थ: हाँ, सच है, काम करने की सादृश्यता के लिए आपको पानी को "घनत्व" के रूप में संतुष्ट करना चाहिए, एक प्रकार का "हमेशा विभाजन"। आपकी बात दिलचस्प है क्योंकि यह कुछ महत्वपूर्ण पर प्रकाश डालता है; परिमित समय में समाप्त करने के लिए गणना के लिए, समय भी घने / हमेशा विभाज्य होना चाहिए। यदि कम से कम समय की एक गैर-विभाज्य परमाणु इकाई मौजूद है, तो अनंत गणना में अनंत समय लगेगा (या प्रत्येक गणना को कुछ बिंदु के बाद प्रत्येक समय नहीं लेना चाहिए)।
epa095

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i=12i2i

@ दाविद-समृद्ध: समस्या को एक अलग तरीके से बहाल नहीं कर रहा है, इसके बारे में सोचने का एक आसान तरीका दे रहा है, वास्तव में यह अंतर्ज्ञान प्रदान करने के लिए क्या है? यह भी ध्यान दें कि आप समस्या को भी ठीक कर रहे हैं , समय की राशि से तर्कसंगत संख्याओं तक। एक (बेहद) छोटा कदम हाँ, लेकिन एक आराम करने वाला कम नहीं। यदि आप परिमेय संख्याओं के योगों के बारे में जानते हैं, तो आराम करने से इसे समझना आसान हो जाता है, लेकिन कुछ लोगों के लिए मैं निश्चित हूं कि पानी के संदर्भ में इसे समझना आसान है। यह कम से कम है कि मैंने पहली बार कैसे समझा कि कुछ अनंत रूपांतरित हुए और कुछ नहीं।
epa095

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@ epa095 अंतर्ज्ञान प्रदान करने में एक परिचित स्थिति के संदर्भ में एक अपरिचित स्थिति की व्याख्या करना और एक स्थिति के साथ परिचित का उपयोग करके दूसरे की समझ में मदद करना शामिल है। आप ऐसा नहीं कर रहे हैं: आप एक अपरिचित स्थिति (एक अनंत, अभिसरण योग की गणना) को दूसरे द्वारा (सही सटीकता के साथ असीम रूप से विभाज्य पानी की बाल्टी डालना) समझाने की कोशिश कर रहे हैं। जो लोग रकम के अभिसरण के बारे में जानते हैं उन्हें सादृश्य की आवश्यकता नहीं है; ऐसे लोगों के लिए, जो रकम के अभिसरण के बारे में नहीं जानते हैं, "तर्कसंगत संख्या" का नाम बदलकर "काल्पनिक पानी की मात्रा" से मदद नहीं मिलती है।
डेविड रिचीर्बी
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