क्या व्यस्त बीवर मनुष्य के लिए सबसे तेजी से बढ़ने वाला कार्य है?

Question

मेरा यह दिलचस्प सवाल था। मनुष्य को ज्ञात सबसे तेजी से बढ़ने वाला कार्य क्या है? क्या यह व्यस्त बीवर है ?

हम जैसे कार्यों को जानते हैं , लेकिन यह फ़ंक्शन की तुलना में धीमा बढ़ता है, जो बदले में की तुलना में धीमी गति से बढ़ता है, जो बदले में की तुलना में धीमी गति से बढ़ता है । हम तब होने के लिए फ़ंक्शन को जोड़ सकते हैंवह , और इसी तरह तेजी से बढ़ता है ।2 x x ! x x ( x x ) ! एक्स $x^2$$2^x$$x!$$x^x$$(x^x)!$$x^x$

तब हम पुनरावर्ती कार्यों जैसे कि एकरमैन के कार्य पर पहुंचते हैं जो कि तुलना में बहुत तेजी से बढ़ता है। फिर लोग व्यस्त बीवर फ़ंक्शन के बारे में हैं जो कि एकरमैन के फ़ंक्शन की तुलना में अधिक तेजी से बढ़ता है।( एक्स एक्स ) ! बी ( एक्स $A(x,x)$$(x^x)!$$B(x)$

इस बिंदु पर मैंने किसी अन्य कार्य के बारे में नहीं सुना है जो व्यस्त बीवर की तुलना में तेजी से बढ़ता है। क्या इसका मतलब है कि कोई अन्य कार्य नहीं हैं जो संभवतः व्यस्त बीवर की तुलना में जल्दी बढ़ सकते हैं? ( और जैसे , आदि के भाज्य के अलावा )A ( B ( x ) , B ( x ) $B(x)$$A(B(x), B(x))$

Comments

व्यस्त ऊदबिलाव ^ 2 तेजी से बढ़ता है

— कलाकार

@vzn क्यों विकास केवल कम्प्यूटेशनल कार्यों के लिए समझ में आएगा? असममित वृद्धि एक गणितीय अवधारणा है जो सभी में कम्प्यूटेबिलिटी के लिए असंबंधित है।

— राफेल

BB के लिए @vzn की वृद्धि दर का अर्थ है असंबद्धता। लेकिन असुविधाजनकता उच्च विकास दर को प्रभावित नहीं करती है।

— साशो निकोलेव

हाय @vzn। फ़ंक्शन ऐसा होता है कि यदि 'वें ट्यूरिंग मशीन रुकता है , और अन्यथा अप्रतिस्पर्धी है, लेकिन एकरमैन फ़ंक्शन की तुलना में अधिक धीरे-धीरे बढ़ता है। दूसरी ओर, यह साबित करना आसान है कि कुछ निश्चित स्थिर , सभी , BB एकरमैन । यदि यह मामला नहीं था, तो आप केवल एकरमैन चरणों के लिए विवरण लंबाई साथ एक ट्यूरिंग मशीन चलाकर हॉल्टिंग समस्या को हल कर सकते हैं और यह देख सकते हैं कि यह पहले रुक गया था या नहीं। f ( n ) = 1 n f ( n ) = 0 c n > c ( n ) > ( n ) T n ( n $f$$f(n) = 1$$n$$f(n) = 0$$c$$n > c$$(n) >$$(n)$$T$$n$$(n)$

— आरोन

@vzn शायद आपके पास "तेजी से बढ़ता है" का एक और विचार है .. जो मैं (और मैं दूसरों पर विश्वास करता हूं) का मतलब आंशिक रूप से द्वारा दिया गया है । $f = \omega(g)$

— शशो निकोलेव

Answer 1

व्यस्त बीवर फ़ंक्शन किसी भी कम्प्यूटेशनल फ़ंक्शन की तुलना में तेज़ी से बढ़ता है । हालाँकि, इसकी गणना ट्यूरिंग मशीन द्वारा की जा सकती है जिसे हॉल्टिंग समस्या को हल करने के लिए एक ओरेकल तक पहुंच दी गई है। फिर आप एक "दूसरे क्रम" व्यस्त बीवर फ़ंक्शन को परिभाषित कर सकते हैं, जो किसी भी फ़ंक्शन की तुलना में तेज़ी से बढ़ता है जिसे किसी भी ट्यूरिंग मशीन द्वारा हॉल्टिंग समस्या के लिए एक ओरेकल के साथ भी गणना की जा सकती है। आप इसे हमेशा के लिए कर सकते हैं, तेजी से बढ़ते व्यस्त बीवर फ़ंक्शंस के पदानुक्रम का निर्माण करना।

इस विषय पर स्कॉट आरोनसन का उत्कृष्ट निबंध देखें, कौन बड़ी संख्या का नाम दे सकता है? ।

Comments

क्या आपके पास एक संसाधन / तर्क है कि क्यों HALT_TM के लिए एक ओरेकल टीएम व्यस्त बीवर को हल कर सकता है?

— रयान

रयान: व्यस्त बीवर को जानने के बराबर हॉल्टिंग समस्या का समाधान (कम्प्यूटेशनल रूप से) है। 1) program[length=n]रुकता है? इसे BusyBeaver(n)चरणों के लिए अनुकरण करें। २) क्या है BusyBeaver(n)? लंबाई के हर कार्यक्रम के लिए <n, इसे हटा दें अगर यह रुक जाता है, और दूसरों के बीच अधिकतम स्कोर लें।

— Ninjagecko

@ninjagecko क्या आपका मतलब यह नहीं है

— PyRulez

Answer 2

"सबसे तेजी से बढ़ते कार्य" जैसी कोई चीज नहीं है। वास्तव में, सबसे तेजी से बढ़ते कार्यों का कोई क्रम भी नहीं है। यह पहले से ही हॉसडॉर्फ द्वारा दिखाया गया था। दो कार्यों को देखते हुए , का कहना है कि से अधिक तेजी से बढ़ता है अगर यह देखते हुए एक समारोह , निम्नलिखित समारोह तुलना में तेजी से बढ़ता है :कार्यों के अनुक्रम को देखते हुए , निम्न फ़ंक्शन उन सभी की तुलना में तेज़ी से बढ़ता है:$f,g\colon \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}$$g$$f$

$$\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{g(n)}{f(n)} = \infty.$$ g f g ( n ) = n f ( n ) । च n जी जी ( एन ) = n अधिकतम मीटर ≤ n च मीटर ( एन ) । जी अल्फा च छ अल्फा ω $f$$g$$f$ $$g(n) = nf(n).$$ $f_n$$g$ $$g(n) = n \max_{m \leq n} f_m(n).$$ यह पूछने का एक स्वाभाविक प्रश्न है कि क्या सबसे तेजी से बढ़ते कार्यों का एक "पैमाना" है। यह कार्यों के एक सुव्यवस्थित सेट है जो "cofinal" है, है कि, यह देखते हुए किसी भी समारोह , वहाँ एक तेजी से बढ़ रही है समारोह । (एक सुव्यवस्थित सेट के बजाय, हम समान रूप से एक श्रृंखला के बारे में बात कर सकते हैं, अर्थात्, सेट में किसी भी दो कार्यों की तुलना करने की आवश्यकता है।) एक पैमाने का अस्तित्व ZFC से स्वतंत्र है: सीएच मानकर, एक पैमाना है, कोहेन के मॉडल में, जो CH को गलत ( reals जोड़कर ), कोई पैमाना मौजूद नहीं है।$g_\alpha$$f$$g_\alpha$$\omega_1$

Answer 3

अन्य उत्तर सीधे प्रश्न को संबोधित करते हैं। अधिक और गहरी पृष्ठभूमि के लिए, विषय पर लाफिट द्वारा किया गया यह पेपर व्यस्त बीवर जैसे कार्यों का बड़ा संदर्भ मानता है। इसमें कुछ परिणाम और प्रमेय हैं जो विचार को अधिक सामान्य ढांचे में फिट करते हैं। यह दिखाता है कि (अनौपचारिक रूप से) "व्यस्त बीवर-फ़ंक्शंस" का चैतीन अपूर्णता घटना (थ्योरम 2.1) से गहरा संबंध है। यह भी दिखाता है कि ऐसे सिद्धांत हैं जो व्यस्त बीवर जैसे कार्यों को "समझने" के लिए पर्याप्त "शक्तिशाली" नहीं हैं, अर्थात वे गोडेल से संबंधित अपूर्णता के कारण उन सिद्धांतों में अप्राप्य हैं। यह व्यस्त बीवर जैसे परिणामों को स्वयंसिद्ध और सिद्धांतों की एक तार्किक प्रगति के रूप में दर्शाता है जो मूल रूप से ट्यूरिंग द्वारा कल्पना किए गए विचारों के समान हैं।

[१] व्यस्त बीवर ग्रेजोरी लैफिट द्वारा जंगली हो गए । सार:

हम व्यस्त बीवर फ़ंक्शंस का उपयोग करके कुछ अपूर्ण परिणाम दिखाते हैं। फिर, क्रमिक लॉगिक्स की मदद से, हम दिखाते हैं कि कैसे एक सिद्धांत प्राप्त करना है जिसमें व्यस्त बीवर कार्यों के मूल्यों को स्थापित किया जा सकता है और इसका उपयोग इन कार्यों के मूल्यों की उपयोगिता पर एक संरचना को प्रकट करने के लिए किया जा सकता है।

Comments

अन्य उत्तर पूरी तरह से अलग है। हम्म, "भाषा पर जोर" के बारे में बोलते हुए, क्या इसका उदाहरण "नरक नहीं" कहने वाला एक मध्यस्थ होगा ? वैसे भी लोगों को उदार उपहार के रूप में देखा जा सकता है, जो संपादन = के लिए +2 अर्जित करना पसंद करते हैं)

— vzn

आप खुद कहते हैं कि यह सीधे जवाब नहीं देता है, तो आपने टिप्पणी के रूप में पोस्ट क्यों नहीं किया?

— राफेल

Answer 4

हार्टमैनिस-स्टर्न्स का समय और अंतरिक्ष पदानुक्रम प्रमेय यह साबित करते हैं कि समय या स्थान के संदर्भ में कोई "सबसे तेजी से बढ़ने वाला" कार्य नहीं है क्योंकि यह स्केल अनबाउंड है। लेकिन यह एक ऐसा आदेश देता है जिससे सभी "अच्छी तरह से व्यवहार किए जाने वाले" कम्प्यूटेशनल / पुनरावर्ती कार्यों की तुलना की जा सकती है। लेकिन कई "तेजी से बढ़ने वाले" गणित कार्यों का मूल्यांकन समय / स्थान की जटिलता के संदर्भ में नहीं किया गया है, भले ही इसे भरने के लिए कुछ हद तक स्पष्ट या यहां तक ​​कि चमकता हुआ सैद्धांतिक "अंतराल" हो। ऐसा करने से महत्वपूर्ण "पुल प्रमेय" हो सकते हैं।