क्या कोई ऐसी समस्याएँ हैं जो गणना करना आसान है लेकिन सत्यापित करना कठिन है?

Question

पी मान लिया जाये कि एनपी, एन पी-सम्पूर्ण समस्याओं "हल करने के लिए मुश्किल है, लेकिन जवाब आसान जांच करने के लिए कर रहे हैं कि है।" कर रहे हैं क्या इसके विपरीत विचार करने का कोई मतलब है, यानी ऐसी समस्याएं जिनके लिए एक सही उत्तर की गणना करना आसान है, लेकिन एक मनमाने ढंग से कथित समाधान को सत्यापित करना कठिन है?$\neq$

मुझे लगता है कि इस तरह की समस्या या तो होगी:

1. किसी भी इनपुट के लिए संभावित रूप से कई "सही" उत्तर, क्योंकि अन्यथा सत्यापन केवल सभी सही उत्तरों की गणना करके किया जा सकता है।

2. कुछ "सही" उत्तरों की गणना करना आसान है, लेकिन दूसरों को ढूंढना मुश्किल है।

Comments

मुझे शक है। यदि किसी उत्तर की गणना करना आसान है, तो प्रमाणपत्र का विकल्प आसान है: समस्या के साथ कथित उत्तर की आपूर्ति करें, और समस्या को हल करके उत्तर को "चेक" करें, और देखें कि क्या वास्तव में उत्तर का उत्तर है।

— पैट्रिक87

@ पैट्रिक87 - मुझे लगता है कि मैंने इसे प्रश्न में संबोधित किया था। एक बहु-मान समारोह के बारे में क्या कि सहयोगियों मानों का एक सेट मैं च ( एक्स ) = { y 1 , y 2 , ... } के साथ एक इनपुट एक्स ? मान लें कि | I च ( x ) | = 2 | x | , और यह कि I f ( x ) से एक तत्व चुनना आसान है , लेकिन z को यह निर्धारित करना कठिन है कि क्या z $f$$I_f(x) = \{y_1, y_2, \dots \}$$x$$|I_f(x)| = 2^{|x|}$$I_f(x)$$z$ । $z \in I_f(x)$

— rphv

@ पैट्रिक87 सॉल्वर नियतात्मक और आउटपुट सभी मौजूदा उत्तरों में से एक हो सकता है। फिर आपको यह जांचने के लिए एक कुशल तरीके की आवश्यकता है कि क्या दो समाधान समतुल्य हैं। क्या सेट पर समानता उस पर एक समस्या को हल करने की तुलना में कठिन हो सकती है?

— राफेल

मुझे वास्तव में वह हिस्सा याद आया, क्षमा करें। फिर भी, मैं आधार पर संदेह करने के लिए इच्छुक हूं। मैं इसके बारे में थोड़ा और सोचूंगा और अगर मेरे पास अधिक प्रासंगिक विचार हैं तो वापस आऊंगा।

— पैट्रिक87

एक सर्टिफिकेट का आम तौर पर मतलब होता है कि प्रूफ को फिर से बनाने का एक आसान तरीका है, इसलिए अगर आप सर्टिफिकेट देते हैं तो वेरिफिकेशन आसान है। प्रमाणपत्र के बिना एक समाधान कठिन हो सकता है।

— गिल्स एसओ- बुराई को रोकें '

Answer 1

यदि आप कृत्रिम समस्याओं से ठीक हैं, तो आप उनमें से बहुत कुछ बना सकते हैं। यहाँ कुछ है:

• यूनिरी में एक सकारात्मक पूर्णांक n को देखते हुए , एन बूलियन चर में एक संतोषजनक 3CNF सूत्र का उत्तर दें ।
  एक संतोषजनक 3CNF फॉर्मूला देना आसान है, लेकिन यह तय करना कि दिया गया 3CNF फॉर्मूला संतोषजनक है या नहीं, 3SAT, एक प्रसिद्ध एनपी-पूर्ण समस्या है।
• कोई इनपुट नहीं है। बस एक ट्यूरिंग मशीन का जवाब दें जो रुका हो (जब खाली इनपुट टेप के साथ चलाया जाता है)।
  ऐसी एक ट्यूरिंग मशीन देना आसान है, लेकिन क्या कोई ट्यूरिंग मशीन रुकती है या नहीं यह अकल्पनीय है।

जोड़ा गया : वैसे, मुझे नहीं लगता कि आपने पिछले पैराग्राफ में क्या लिखा है:

मुझे लगता है कि इस तरह की समस्या किसी भी इनपुट के लिए कई "सही" उत्तरों का तेजी से प्रभाव डालेगी, क्योंकि अन्यथा सत्यापन केवल सभी सही उत्तरों की गणना करके किया जा सकता है।

यदि समस्या का एक समाधान है, तो वास्तव में उत्तर की जांच करना सही समाधान की गणना करने से अधिक कठिन नहीं है। हालाँकि, यदि समस्या का एक आसान समाधान और एक मुश्किल समाधान है, तो आप सभी समाधानों की कुशलता से गणना नहीं कर सकते। यहाँ एक ऐसी समस्या है (जो बहुत ही कृत्रिम है):

• ट्यूरिंग मशीन M को देखते हुए , निम्नलिखित कथनों में से एक का उत्तर दीजिए जो सत्य है: " M खाली इनपुट टेप पर टिका हुआ है," " M खाली इनपुट टेप पर नहीं रुकता है," और " M एक ट्यूरिंग मशीन है।"
  एक समाधान देना आसान है। : आप हमेशा " एम एक ट्यूरिंग मशीन है " चुन सकते हैं । हालांकि, दिया गया उत्तर सही है या नहीं यह अनुचित है। ध्यान दें कि इस समस्या में, प्रत्येक उदाहरण के लिए केवल दो समाधान हैं।

Comments

क्या औपचारिक रूप से परिभाषित करने का एक उचित तरीका है कि इस तरह की समस्याओं के लिए "कृत्रिम" होने का क्या मतलब है? ("उचित" से मेरा आशय है कि हम व्यापक रूप से सहमत हो सकते हैं, जैसे कि "गणना योग्य" की एक परिभाषा हमारे अंतर्ज्ञान को बताती है कि इसका क्या अर्थ होना चाहिए।)

— गिल्स का SO-

@ गिल्स: नहीं, मुझे ऐसा नहीं लगता। मैंने इन समस्याओं को "कृत्रिम" कहा, क्योंकि यह बहुत कम संभावना है कि कोई व्यक्ति इन समस्याओं का पहले सामना करता है और फिर पता चलता है कि उत्तर के एक उम्मीदवार की शुद्धता का निर्णय करने के लिए एक उत्तर और कठिन बनाना आसान है। लेकिन यह "कृत्रिमता" किसी भी तरह से एक कठोर धारणा नहीं है।

— त्सुयोशी इतो

@ त्सुयोशी इटो - अपने स्पष्ट उत्तर के लिए धन्यवाद। मैंने आपकी अंतर्दृष्टि को दर्शाने के लिए अंतिम पैराग्राफ संपादित किया है।

— 19

Answer 2

हालाँकि, त्सुयोशी इटो का उत्तर "मुख्य" उत्तर को कवर करता है, लेकिन दो सबटलर नोट्स थे जिन्हें मैं जोड़ना चाहता था।

1. यहां तक ​​कि जब समाधान को सत्यापित करना कठिन होता है, तो समाधान की जांच करना अभी भी शॉर्ट प्रूफ स्ट्रिंग के साथ जांचना आसान है। यही है, अतिरिक्त जानकारी के साथ समाधान को थोड़ा बढ़ाकर, यह आसानी से जांच योग्य हो जाता है; सत्यापन हमेशा एनपी में होता है। इसे देखने का एक तरीका यह है कि समाधान की गणना करने वाला एजेंट अपने उपयोग किए जाने वाले सभी यादृच्छिक बिट्स को रिकॉर्ड कर सकता है, और फिर सत्यापनकर्ता उसी गणना को निष्पादित करने के लिए उसी यादृच्छिक स्ट्रिंग का उपयोग कर सकता है। (नीतिवचन को यादृच्छिक बिट्स का उपयोग करना चाहिए, अन्यथा वे हमेशा एक ही उत्तर का उत्पादन करते हैं, और सत्यापनकर्ता हमेशा एक ही विधि द्वारा उत्तर की गणना करके आसानी से जांच कर सकता है।)

2. क्वांटम कंप्यूटरों के लिए, यह एक बहुत ही खुला प्रश्न है। शास्त्रीय कंप्यूटरों के लिए, सत्यापनकर्ता हमेशा कुछ भी कर सकता है जैसे कि नीतिवचन का अनुकरण करना और जांचना कि उन्हें एक ही उत्तर मिलता है। यह पूरी तरह से संभव है कि कुछ मुश्किल समस्या के लिए, क्वांटम एल्गोरिथ्म है जो सभी में एक समान वितरण पैदा करता है (घातीय रूप से कई) समाधान, जो सत्यापित करना मुश्किल है। आप प्रोवर को फिर से नहीं चला सकते, क्योंकि आपको हर बार एक अलग जवाब मिलेगा।

   इसी तरह के मुद्दे के एक उदाहरण के रूप में, Deutsch-जोसा समस्या इस से थोड़ा ग्रस्त है। यदि एक ओरेकल एक संतुलित फ़ंक्शन नहीं है, तो एक क्वांटम कंप्यूटर जल्दी से यह निर्धारित कर सकता है कि यह मामला है, लेकिन कोई छोटा सबूत नहीं है जो एक शास्त्रीय कंप्यूटर को यह सत्यापित करने की अनुमति देगा। (यह केवल एक "समान" मुद्दा है क्योंकि यह अभी भी एक और क्वांटम कंप्यूटर द्वारा जांचा जा सकता है, और यह जाँच शास्त्रीय BPP में भी है, भले ही यह P में न हो।)