असंदिग्ध समस्या और इसका निषेध असंदिग्ध है

Question

बहुत सारी "प्रसिद्ध" अकल्पनीय समस्याएं कम से कम अर्ध-विचारणीय हैं, उनके पूरक के अयोग्य होने के साथ। इन सबसे ऊपर एक उदाहरण है, हॉल्टिंग की समस्या और इसका पूरक।

हालाँकि, क्या कोई मुझे एक उदाहरण दे सकता है जिसमें कोई समस्या और उसका पूरक दोनों ही अनिर्णायक हैं और क्या नहीं हैं? मैंने विकर्ण भाषा Ld के बारे में सोचा था, लेकिन यह मुझे नहीं लगता कि पूरक अनिर्णायक है।

उस स्थिति में, क्या इसका मतलब यह है कि ट्यूरिंग मशीन एम कुछ तारों को "खो" सकती है, जिन्हें मान्यता दी जानी चाहिए, क्योंकि वे उस भाषा का हिस्सा हैं जिसे हम इंडेंट करने की कोशिश कर रहे हैं?

Answer 1

निम्नलिखित भाषा पर विचार करें:

$$L_2 = \{(M_1,x_1,M_2,x_2) : \text{$M_1$ halts on input $x_1$ and $M_2$ doesn't halt on input $x_2$}\}.$$

अनिर्दिष्ट है और अर्ध-विघटित नहीं है, और इसके पूरक के बारे में भी यही सच है। क्यों? अंतर्ज्ञान है " एम 2 इनपुट एक्स 2 पर रोक नहीं है" अर्ध-पर्णनीय नहीं है, इसलिए एल 2 अर्ध-पर्णपाती नहीं है; और जब आप L 2 के पूरक को देखते हैं, तो वही बात M 1 के लिए होती है । इसे कटौती का उपयोग करके अधिक सावधानी से औपचारिक रूप दिया जा सकता है।$L_2$$M_2$$x_2$$L_2$$L_2$$M_1$

अधिक आम तौर पर, यदि एक ऐसी भाषा है जो असंदिग्ध है और अर्ध-विघटित नहीं है, तो$L$

$$L' = \{(x,y) : x \in L, y \notin L\}$$

अपनी आवश्यकताओं को पूरा करती है: अनिर्णनीय और न अर्द्ध डिसाइडेबल है, और एक ही के पूरक का सच है एल ' ।$L'$$L'$

Answer 2

ध्यान दें कि समस्याओं का भारी बहुमत आपको जिस कसौटी पर खरा उतरता है, वह है: समस्या और उसका पूरक दोनों ही अर्ध-निर्णायक नहीं हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि केवल कई अर्ध-पतनशील समस्याएं हैं, लेकिन बेशुमार समस्याएं हैं।

एक उदाहरण के लिए, को ट्यूरिंग मशीनों के लिए हल करने की समस्या होने दो और M को H के लिए एक ओरेकल के साथ Turing मशीनों का वर्ग होने  दो । चलो एच 2 के लिए हॉल्टिंग समस्या हो  एम । मैं दावा है कि न तो एच 2 और न ही  ¯ एच 2 अर्द्ध डिसाइडेबल है$H$$\cal{M}$$H$$H_2$$\cal{M}$$H_2$$\overline{H_2}$

$H_2$$\cal{M}$$H$$H_2$$T$$H$$T$$\cal{M}$$H_2$$H_2$

$\overline{H_2}$$\cal{M}$$H$$\overline{H_2}$$\cal{M}$$H_2$$\overline{H_2}$$\cal{M}$$\cal{M}$$H_2$$\cal{M}$$\overline{H_2}$$\cal{M}$$\overline{H_2}$$\cal{M}$$H$

Answer 3

यहाँ कुछ प्राकृतिक उदाहरण दिए गए हैं:

• $\Pi_2^0$

• $\Pi_2^0$

• $\Sigma_3^0$

$\Pi_2^0$$\Sigma_3^0$