क्या एनपी-पूरा सेट दो अन्य सेटों से बनता है, अगर कम से कम एक एनपी-हार्ड है?

Question

यह प्रश्न एनपी-पूर्ण सेटों पर सेट परिचालनों से बने सेटों पर पिछले प्रश्न के कुछ हद तक स्पष्ट है :

यदि संघ, चौराहे, या कार्टेजियन उत्पाद के दो निर्णायक सेट और L 2 के परिणामस्वरूप सेट NP-पूर्ण है, तो कम से कम L 1 , L 2 में से एक आवश्यक रूप से NP-hard है? मुझे पता है कि इन दोनों के संचालन के तहत पी बंद होने के बाद से वे दोनों पी में नहीं हो सकते हैं (पी! = एनपी)। मुझे यह भी पता है कि "डिकिडेबल" ​​और "एनपी-हार्ड" की स्थितियां आवश्यक हैं क्योंकि यदि हम एनपी के बाहर किसी भी एनपी-पूर्ण सेट एल और दूसरे सेट बी पर विचार करते हैं (चाहे सिर्फ एनपी-हार्ड या अनिर्दिष्ट) तो हम दो नए बना सकते हैं एनपी-हार्ड एनपी में सेट नहीं है जिसका चौराहा एनपी-पूर्ण है। उदाहरण के लिए: एल 1 : = $L_1$$L_2$$L_1, L_2$$L$$B$ , और एल 2 : = 01 एल ∪ 00 बी । हालाँकि, मुझे नहीं पता कि उसके बाद कैसे आगे बढ़ना है। $L_1:= 01L \cup 11B$$L_2:= 01L \cup 00B$

मैं सोच रहा हूं कि यूनियन का मामला सही नहीं हो सकता है क्योंकि हम एक एनपी-पूरा सेट ले सकते हैं और एक सेट बी I एनपीआई पाने के लिए लेडनर के प्रमेय में निर्माण कर सकते हैं जो ए का सबसेट है । फिर बी ∪ ( एक ∖ बी ) = एक मूल एनपी पूरा सेट है। हालांकि, मुझे नहीं पता कि ए is बी अभी भी एनपीआई या एनपी-हार्ड में है या नहीं। मैं यह भी नहीं जानता कि चौराहे और कार्टेशियन उत्पाद के मामले के लिए कहां से शुरू करूं।$A$$B \in$$A$$B \cup (A \setminus B) = A$$A \setminus B$

Comments

P में एक समस्या NP- पूर्ण हो सकती है यदि P = NP, जो आपका दावा करता है "वे दोनों P" असत्य में नहीं हो सकते।

— वोजोवू

@Wojowu धन्यवाद, आप सही हैं। मैंने सिर्फ यह माना कि यह समझा गया था कि यह पूरा प्रश्न उस आधार पर आधारित है जो P! = NP है। अन्यथा यह निरर्थक / तुच्छ है क्योंकि हमारे पास तब NPC = P होगा। मैं प्रश्न को संपादित करूंगा।

— अरी

@Ari, वास्तव में , भले ही पी = एन पी । $NPC\not = P$$P=NP$

— टॉम वैन डेर ज़ैंडेन

@TomvanderZanden यह कैसे संभव है? तो पी = एनपी तो एनपी में हर समस्या एनपीसी में समस्याओं सहित बहुपद समय में हल किया जा सकता है। $NPC \subseteq NP$

— अरी

@ श्री खाली सेट और सभी तारों का सेट , लेकिन वे एन पी- पूर्ण नहीं हैं। आप खाली सेट (या सभी तारों के सेट) के लिए कुछ भी कम नहीं कर सकते क्योंकि यह हमेशा एक नहीं (सम्मान हां) उदाहरण है। $NP$$NP$

— टॉम वैन डेर ज़ंडेन

Answer 1

दो गैर-एनपी-हार्ड भाषाओं का प्रतिच्छेदन एनपी-हार्ड हो सकता है। उदाहरण: किसी भी 3SAT उदाहरण के समाधान एक HORN-3SAT उदाहरण के समाधान और एक ANTIHORN-3SAT उदाहरण के सेट चौराहे हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि 3CNF क्लॉज या तो हॉर्न या हॉर्न एंटी-क्लॉज होना चाहिए और 3SAT उदाहरण इस तरह के क्लॉज का संयोजन है। 3SAT बेशक NP-complete है; HORN-3SAT और ANTIHORN-3SAT दोनों P में हैं।

Comments

मैं आपके उदाहरण का पालन नहीं कर सकता। HORN-SAT और ANTIHORN-SAT का चौराहा एक बहुत उबाऊ भाषा है जो निश्चित रूप से पी। में है

— युवल फिल्मस

HORN-3SAT को कई तरीकों से परिभाषित किया जा सकता है। एक तरीका HORN-3SAT इंस्टेंस की एन्कोडिंग को ठीक करना है - प्रत्येक स्ट्रिंग कुछ ऐसे इंस्टेंस को एन्कोड करता है - और फिर HORN-3SAT में संतोषजनक इंस्टेंस होते हैं। यह एन्कोडिंग संभवतः ANTIHORN-3SAT के लिए उपयोग किए जाने वाले एन्कोडिंग से अलग है, इसलिए यह स्पष्ट नहीं है कि चौराहे की भाषा वास्तव में क्या है - निश्चित रूप से सैट नहीं।

— युवल फिल्मस

एक अन्य संभावना HORN-3SAT को 3SAT उदाहरणों की भाषा के रूप में परिभाषित करने की है जो हॉर्न के रूप में (i), (ii) संतोषजनक हैं। अब HORN-3SAT और ANTIHORN-3SAT का प्रतिच्छेदन समझ में आता है: इसमें सभी 3SAT उदाहरण हैं जो हॉर्न और एंटी-हॉर्न दोनों रूपों में हैं, (ii) संतोषजनक। यह केवल HORN-3SAT और ANTIHORN-3SAT में से प्रत्येक से आसान हो सकता है ।

— युवल फिल्मस २०

$L_1$$L_2$$L_1 \cap L_2$

$\mathsf{3SAT}$$\mathsf{HORN3SAT}\cap\mathsf{ANTIHORN3SAT}$$\mathsf{HORN3SAT}\cup\mathsf{ANTIHORN3SAT}$