क्या न्यूनतम कटौती नेटवर्क प्रवाह से आसान हो सकती है?

अधिकतम-प्रवाह मिन-कट प्रमेय के लिए धन्यवाद, हम जानते हैं कि हम किसी भी नेटवर्क एल्गोरिदम में अधिकतम प्रवाह की गणना करने के लिए किसी भी एल्गोरिथ्म का उपयोग कर सकते हैं एक -मिन-कट की गणना करने के लिए । इसलिए, एक न्यूनतम कंप्यूटिंग की जटिलता है कटौती एक अधिकतम कंप्यूटिंग की जटिलता से अधिक नहीं -flow। $(s,t)$ $(s,t)$ $(s,t)$

क्या यह कम हो सकता है? क्या न्यूनतम $(s,t)$ -कूट की गणना के लिए एक एल्गोरिथ्म हो सकता है जो किसी भी अधिकतम-प्रवाह एल्गोरिथम से अधिक तेज़ हो?

मैंने $(s,t$ ) -मैक्स-फ़्लो समस्या को कम करने के लिए $(s,t)$ -मिन-कट समस्या को कम करने की कोशिश की , लेकिन मैं एक खोजने में सक्षम नहीं था। मेरा पहला विचार डिवाइड-एंड-कॉनकोर एल्गोरिथ्म का उपयोग करना था: पहले एक मिनी-कट ढूंढें, जो ग्राफ को दो भागों में अलग करता है; अब पुनरावर्ती रूप से बाएं भाग के लिए अधिकतम-प्रवाह और दाएं भाग के लिए अधिकतम-प्रवाह प्राप्त करें, और कट को पार करने वाले सभी किनारों के साथ उन्हें एक साथ जोड़ दें। यह वास्तव में काम होगा एक अधिकतम प्रवाह का उत्पादन करने, लेकिन इसकी बुरी से बुरी हालत में चल रहे समय के रूप में ज्यादा के रूप में हो सकता है $O(|V|)$ मिनट कट एल्गोरिथ्म का चलने का समय के रूप में बड़े रूप में कई बार। क्या कोई बेहतर कमी है?

मुझे पता है कि अधिकतम-प्रवाह मिन-कट प्रमेय से पता चलता है कि अधिकतम-प्रवाह के मूल्य की गणना करने की जटिलता एक मिनी-कट की क्षमता की गणना की जटिलता के समान है , लेकिन यह वह नहीं है जिसके बारे में मैं पूछ रहा हूं। मैं अधिकतम-प्रवाह खोजने और मिन-कट (स्पष्ट रूप से) खोजने की समस्या के बारे में पूछ रहा हूं।

यह एक मिनी-कट से एक अधिकतम-प्रवाह की गणना करने के लिए बहुत निकट से संबंधित है , सिवाय: (1) मैं कुक कटौती (ट्यूरिंग रिडक्शन) की अनुमति देने के लिए तैयार हूं, न कि केवल कार्प कम (कई-एक कटौती), और (2) शायद दी $G$ पाते हैं हम कर सकते हैं कुछ ग्राफ $G'$ इस तरह की न्यूनतम कट कि यह आसान की अधिकतम प्रवाह की गणना करने के लिए बनाता है , जो कुछ है कि अन्य प्रश्न के लिए क्षेत्र से बाहर है कि है। $G'$ $G$

— DW
स्रोत

@AshkanKzme, मैं आपका पीछा नहीं कर रहा हूँ; क्या आप विस्तार से समझा सकते हैं? जैसा कि मैं प्रश्न के 4 वें पैराग्राफ में बताता हूं, अधिकतम-प्रवाह मिन-कट प्रमेय दर्शाता है कि अधिकतम-प्रवाह का मान न्यूनतम-कट की क्षमता के बराबर है । मुझे संदेह है कि आप क्या सोच रहे हैं। हालाँकि, अधिकतम-प्रवाह का मूल्य जानना आपको अधिकतम-प्रवाह ही नहीं बताता है (उदाहरण के लिए, प्रत्येक विशेष किनारे पर कितना भेजना है)। यह प्रश्न अधिकतम-प्रवाह की गणना करने की जटिलता के बारे में पूछ रहा है, बनाम स्वयं-न्यूनतम-कट की गणना करने के लिए। मेरा प्रश्न ठीक उसी प्रकार है जैसा प्रश्न के दूसरे पैराग्राफ में बताया गया है।

— DW

@AshkanKzme, नहीं, मैंने कोई गलत धारणा नहीं बनाई। आप स्पष्ट रूप से मान रहे हैं कि फोर्ड-फुलकरसन मिन-कट खोजने के लिए सबसे तेज़ संभव एल्गोरिथ्म है ... लेकिन जहां तक मुझे पता है, किसी ने भी यह साबित नहीं किया है, और हम नहीं जानते कि यह सही है या नहीं। यह मुझे ऐसा लगता है जैसे आप निचली बाउंड प्रूफ के साथ मानक रूकी गलती कर रहे हैं: "मैं इस समस्या को तेजी से हल करने का कोई तरीका नहीं देख सकता, इसलिए यह असंभव होना चाहिए"। (। पी एस तुम मुझे के बारे में अधिकतम प्रवाह मिनट कट मानक पाठ्यपुस्तक सामान कह रहे हैं मैं मदद करने के लिए अपने प्रयास की सराहना करते हैं, लेकिन मुझे लगता है कि पहले से परिचित हूँ ...)

— DW

जहां तक आपके कथन "मुझे लगता है कि यह साबित किया जा सकता है कि यदि आपके पास केवल मिन-कट है, तो आप अधिकतम प्रवाह प्राप्त कर सकते हैं", ठीक है, मैं आपको उस के प्रमाण के साथ उत्तर लिखने के लिए प्रोत्साहित करता हूं - क्योंकि मूल रूप से यही है मेरा सवाल पूछ रहा है। मैंने कभी इसका प्रमाण नहीं देखा है, लेकिन अगर आपके पास है, मुझे आशा है कि आप इसे लिखेंगे!

— डीडब्ल्यू

@ मुझे लगता है कि मुझे अब सवाल थोड़ा बेहतर हो गया है। मुझे लगता है कि मुझे इस तथ्य से लगाया गया था कि आप एक बहुपद ट्यूरिंग कमी देते हैं। क्या आपको

साबित करने के लिए लगातार ट्यूरिंग रिडक्शन की आवश्यकता नहीं होगी , जबकि यह साबित करना भी संभव है कि ऐसी कोई कमी संभव नहीं है?

f (n) = Θ (g (n))

$f(n) = \Theta(g(n))$

— थॉमस बोसमैन

@ThomasBosman, हाँ, यह सही है। [आपको उलझन मे डालने के लिए खेद है। कमी मैं प्रश्न में दिया है कि साबित होता है

है, जो एक बहुत कमजोर कम बाध्य है। मैं एक कमी जो कि साबित होता है हो सकता है आशा करती हूं कि

, लेकिन मैं कैसे ऐसी बात के निर्माण के लिए पता नहीं है]।

f (n) = Ω (g (n) / n)

$f(n) = \Omega(g(n)/n)$

f (n) = Ω (g (n))

$f(n) = \Omega(g(n))$

— DW

-1

यहाँ एक संभावित दृष्टिकोण है:

मान लीजिए कि आप कट एस को जानते हैं, तो से का प्रवाह शून्य लागत के साथ एक न्यूनतम लागत नेटवर्क प्रवाह समस्या है, क्योंकि आप में प्रत्येक शीर्ष पर बहिर्वाह जानते हैं और में अंतर्वाह में । मान लीजिए कि एक प्रवाह और नोड-आर्क मैट्रिक्स (यानी पंक्ति , col है, 1 है, यदि की पूँछ है , -1 यदि इसका सिर शून्य है तो), और को अगर $S$ $t$ $V\setminus S$ $t$ $f$ $S-t$ $A$ $i$ $j$ $i$ $j$ $b$ $Af = b$ $f$ आपूर्ति / मांग और प्रवाह संरक्षण पर व्यंग्य करता है। फिर गाऊसी उन्मूलन के साथ हम एक संभव समाधान पा सकते हैं ऑपरेशन। $|V|^3$

एक प्रवाह हम अवशिष्ट ग्राफ जो अधिक से अधिक लेता है का निर्माण करने की जरूरत है से एक कट लगाने के लिए समय, और फिर संभावित रूप से पीछे कोने। $|E|$ $|V|$

इसलिए पूर्ण रेखांकन और न्यूनतम कटौती के लिए केवल स्रोत या सिर्फ सिंक होने के कारण, कटौती दोनों दिशाओं में सबसे खराब स्थिति में समान समय लेती है। हालाँकि, मुझे लगता है कि लिए एक संभव समाधान खोजने की तुलना में तेजी से किया जा सकता है को विशेष संरचना दी। मुझे यकीन नहीं है कि हालांकि यह कैसे साबित किया जाए। $Af =b$ $|V|^3$

— थॉमस बोसमैन
स्रोत

मुझे समझ नहीं आ रहा है कि गॉसियन एलिमिनेशन का उपयोग करके

कैसे खोजा जाए । हमारे पास

में रेखीय समीकरण

अज्ञात। आमतौर पर

, इसलिए हमारे पास अज्ञात को निर्धारित करने के लिए पर्याप्त समीकरण नहीं होंगे। क्या कोई चाल है जो मैं देख रहा हूँ?

f

$f$

| V |

$|V|$

| E |

$|E|$

| E | > | V |

$|E|>|V|$

— DW

मैं इस पर विशेषज्ञ नहीं हूं, इसलिए मैं गलत हो सकता हूं। लेकिन इस तथ्य का कोई अनूठा समाधान नहीं है कि यह आसान हो जाता है। यदि आप इसे कम कर दिया गया है, तो कम हो चुके इकोलोन फॉर्म को, आपके पास

स्वतंत्र कॉलम। फिर उस सबमेट्रिक्स और

अनूठा समाधान, अन्य सभी स्तंभों के लिए शून्य प्रवाह के साथ मिलकर एक गैर अद्वितीय समाधान प्राप्त करेगा, जो कि प्रति समस्या नहीं है। समस्या मैं समझ सकता हूं कि

क्षमता की कमी का उल्लंघन करता है, लेकिन सहजता से मैं कहूंगा कि इसे सीधे दरकिनार करने का एक तरीका है

| V |

$|V|$

b

$b$

f

$f$

— थॉमस बोसमैन

हाँ, क्षमता की कमी प्रमुख चुनौती की तरह लगती है। अन्यथा, रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करने से आपको एक समाधान मिल सकता है जो

संतुष्ट करता है लेकिन यह एक वैध प्रवाह नहीं है क्योंकि यह क्षमता की कमी का उल्लंघन करता है।

A f = b

$Af=b$

— DW

बकवास है कि सही है। आप बाधाओं (ऊपरी और निचले) को जोड़ सकते हैं, जिसे आप जानते हैं कि आपके पास एक समाधान है, लेकिन फिर आपके पास है | V + +2 | E पंक्तियाँ इतनी धीमी होंगी कि सीधे अधिकतम प्रवाह की गणना करें।

— थॉमस बोसमैन

दूसरी समस्या यह है कि क्षमता की कमी असमानताएं हैं (समानताएं नहीं), इसलिए आप गॉसियन उन्मूलन का उपयोग नहीं कर सकते हैं: आपको रैखिक प्रोग्रामिंग का उपयोग करने की आवश्यकता होगी, जैसा कि आप कहते हैं कि गणना की तुलना में किसी भी तेजी से होने की संभावना नहीं है। अधिकतम प्रवाह सीधे।

— DW