क्या गाल्वा के प्रमेय का एक जटिलता दृष्टिकोण है?

गाल्वा के प्रमेय प्रभावी रूप से कहते हैं कि कोई व्यक्ति बहुपद की जड़ों को व्यक्त नहीं कर सकता है> = 5 गुणांक और मूलक के तर्कसंगत कार्यों का उपयोग करते हुए - क्या यह नहीं कहा जा सकता है कि बहुपद को देखते हुए जड़ों को खोजने के लिए कोई निर्धारक एल्गोरिथम नहीं है?
अब फॉर्म के एक निर्णय प्रश्न पर विचार करें, "एक वास्तविक मूल बहुपद $p$ और एक संख्या k को देखते हुए तीसरा और चौथा उच्चतम $p$ जो कम से कम k के अंतर पर है?"

इस निर्णय प्रश्न के लिए एक प्रमाण पत्र सिर्फ इस बहुपद की जड़ों का सेट होगा और यह छोटा प्रमाण पत्र है और इसलिए ऐसा लगता है कि BUT ऐसा नहीं है जो गैलोज़ प्रमेय कह रहा है कि इस निर्णय के लिए प्रमाण पत्र खोजने के लिए कोई निर्धारक एल्गोरिथम मौजूद नहीं है। सवाल? (और यह संपत्ति अगर सही है तो इस सवाल का जवाब तय करने के लिए किसी भी एल्गोरिथ्म का नियम है) $NP$

तो यह निर्णय किस जटिलता में निहित है?

सभी एनपी-पूर्ण प्रश्न जो मैंने देखे हैं, उन्हें हल करने के लिए हमेशा एक तुच्छ घातीय समय एल्गोरिदम उपलब्ध है। मुझे नहीं पता कि क्या यह एक संपत्ति होने की उम्मीद है जो सभी एनपी-पूर्ण प्रश्नों के लिए हमेशा सही होनी चाहिए। इस निर्णय के सवाल के लिए यह सच नहीं लगता है।

complexity-theory np-complete np polynomials

— user6818
स्रोत

जड़ें एक प्रमाण पत्र हैं, लेकिन यह मेरे लिए स्पष्ट नहीं है कि वे एक लघु प्रमाण पत्र हैं (अर्थात, वहाँ एक निरंतर जो हर बहुपद के लिए है, आप इसकी जड़ें बिट्स में लिख सकते हैं , जहाँ बहुपद लिखने के लिए आवश्यक बिट्स की संख्या) है। लेकिन अगर एक एनपी एल्गोरिथ्म है, तो एक तुच्छ घातीय-समय एल्गोरिथ्म है: बस सभी संभावित प्रमाण पत्रों की गणना करें और देखें कि उनमें से कोई भी काम करता है।

k

$k$

O (n^{k})

$O(n^k)$

n

$n$

— डेविड रिचेर्बी

\sum_{i = 0}^{n} a_{i} x_{i}

$\sum_{i=0}^n a_i x_i$

max (1, \sum_{i = 0}^{n - 1} | a_{i} | / | a_{n} |)

$\max(1,\sum_{i=0}^{n-1} |a_i|/|a_n|)$

k

$k$

p (x)

$p(x)$

p (x + k)

$p(x+k)$

@YuvalFilmus उपरोक्त निर्णय प्रश्न को तय करने के लिए आपके किसी भी उपरोक्त विचार का उपयोग किया जा सकता है? यह स्पष्ट नहीं है अगर इनका उपयोग इस प्रश्न को तय करने के लिए किया जा सकता है - बहुपद में?

— user6818

"गाल्वा के प्रमेय प्रभावी रूप से कहते हैं कि कोई व्यक्ति बहुपद की जड़ों को व्यक्त नहीं कर सकता है> = 5 गुणांक और कट्टरपंथी के तर्कसंगत कार्यों का उपयोग करते हुए - क्या यह नहीं कहा जा सकता है कि बहुपद को देखते हुए जड़ों को खोजने के लिए कोई निर्धारण एल्गोरिथ्म नहीं है? " नहीं, चूंकि बहुपद समय एल्गोरिदम तर्कसंगत कार्यों की तुलना में अधिक शक्तिशाली हैं। उदाहरण के लिए, वे मामलों को विभाजित कर सकते हैं, पुनरावृत्ति कर सकते हैं, उनके ऊपर

— ऐरे

@ user6818 प्रमेय को एक विशिष्ट अभिकलन मॉडल - रैडिकल के तर्कसंगत कार्यों की चिंता है। यदि आप मॉडल बदलते हैं, तो यह लागू नहीं होता है। उदाहरण के लिए, MathWorld mathworld.wolfram.com/QuinticEquation.html के अनुसार, जैकोबी थीटा फ़ंक्शंस का उपयोग करके 5 वीं डिग्री समीकरण को हल करना संभव है। आप एक एल्गोरिथ्म के साथ ठीक कर रहे हैं कि रिटर्न 0.01 भीतर जड़ (या किसी भी

), गाल्वा प्रमेय अब विधि अयोग्य हो जाएंगे, क्योंकि किसी भी संख्या एक तर्कसंगत इसका अनुमान लगाया जा सकता है।

ϵ > 0

$\epsilon > 0$

— sdcvvc

जवाबों:

दिलचस्प संबंध, हालांकि गालोइस सिद्धांत कहता है कि कट्टरपंथी का उपयोग करके क्विंटिक की जड़ों को खोजने के लिए कोई (सुसंगत) विधि मौजूद नहीं है , बजाय यह कहने के कि समस्या का एक समाधान है (उदाहरण के लिए सबसे लंबा रास्ता) जिसमें सुपर-बहुपद समय की आवश्यकता हो सकती है। तो मैं कहूंगा कि यह जटिलता के बजाय अनिर्णय से अधिक संबंधित है।

विशेष रूप से, गॉलॉइस सिद्धांत में एक क्रमिक रूप से, कदम-दर-चरण तरीके से (एक समय में एक जड़ को जोड़ते हुए) समीकरण की जड़ों के समूह विस्तार का निर्माण करता है। और इन सभी समूहों को हल किया जाना चाहिए, एक अर्थ में इन एक्सटेंशनों को दूसरे क्रम में बनाने की प्रक्रिया में कोई अस्पष्टता नहीं होनी चाहिए। एक भी नहीं है एक समीकरण के गाल्वा समूह के निर्माण की जटिलता पर एमओ पर संबंधित सवाल ।

यहाँ एक और संदर्भ "कम्प्यूटेशनल गालिस थ्योरी: इन्वेंटरी एंड कॉम्प्लिमेंट्स ओवर ,", क्लीस फीयर जार्ज केलर $\mathbb{Q}$

इसके अलावा एक प्रणालीगत समीकरणों के गैलोइस समूह (एस) के निर्माण के आधार पर कट्टरपंथी (जब समीकरण का उपयोग कर कट्टरपंथी का उपयोग कर सकते हैं) का उपयोग कर एक बहुपद यूरोपियन की जड़ों को व्यवस्थित कर सकता है। रेफरी: "पोलिनोमियल रूट्स का रेडिकल रिप्रेजेंटेशन", हिरोकाज़ू अनाई कज़ुहिरो योकोयामा 2002

यह निर्धारित करने की कम्प्यूटेशनल जटिलता है कि पूर्णांक पर किसी दिए गए राक्षसी विडंबनापूर्ण बहुपद, रेडिकल द्वारा घुलनशील है, Ref में है "Solvability by Radicals is Polynomial Time", S. Landau GL Miller 1984 $\mathbb{Z}$ $\mathbb{P}$

हाल ही में "गैल्विक ग्रुप्स की संगणना के लिए तकनीक", अलेक्जेंडर हल्पके का एक सर्वेक्षण

बेशक, यदि कोई अच्छा सन्निकटन एल्गोरिदम और उनकी जटिलता की तलाश कर रहा है (जैसे न्यूटन की विधि या स्टर्म का प्रमेय) तो यह थोड़ा अलग सवाल है और पहले से ही पोस्ट किया गया उत्तर उस दिशा में अधिक जानकारी प्रदान करता है।

— निकोस एम।
स्रोत

धन्यवाद! लगता है मैंने गलती से अपने आप से एक बहुत ही रोमांचक सवाल पूछा है!

— user6818

@ user6818, धन्यवाद अद्यतन जानकारी के साथ और अधिक संदर्भ

— निकोस एम।

मुझे लगता है कि आप पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद पर विचार कर रहे हैं ।

आपने अपनी जाँच के लिए गलत प्रारंभिक बिंदु लिया है; आपका लक्ष्य वास्तविक जड़ों के लिए अच्छे अनुमान लगाना है । एक बीजगणितीय सूत्र की तलाश है ताकि आप इसका मूल्यांकन कर सकें कि पर्याप्त सटीकता कुछ ऐसा है जो आप कर सकते हैं, लेकिन यह वास्तव में यहाँ करना सही नहीं है। (जब तक, निश्चित रूप से, " kएक बहुपद का सबसे बड़ा वास्तविक मूल" आपके बीजीय कार्यों में से एक है)

एक बेहतर प्रारंभिक बिंदु , बहुपद की जड़ों को अलग करने के लिए स्टर्म के प्रमेय का उपयोग करना है। तब आप बाइनरी खोज द्वारा बेहतर अनुमान लगा सकते हैं, लेकिन अगर यह बहुत धीमा है, तो आप उच्च परिशुद्धता के अनुमानों को जल्दी से बनाने के लिए न्यूटन की विधि का उपयोग कर सकते हैं ।

लेकिन यह सिर्फ प्रमाण पत्र खोजने के बारे में है । अभी भी सवाल है कि क्या प्रमाण पत्र मौजूद हो सकते हैं।

सबसे पहले, मैं इंगित करूँगा कि आप सीधे गणना कर सकते हैं कि क्या दो जड़ें बिल्कुल इकाइयां हैं, उदाहरण के लिए कंप्यूटिंग । आपको यह भी तय करना होगा कि आप दोहराया जड़ों के बारे में क्या करना चाहते हैं और उचित तरीके से निपटना चाहते हैं। मुझे लगता है कि आप इन मामलों से विशेष रूप से निपटेंगे। $k$ $\gcd(p(x), p(x-k))$

अगर हम जानते हैं कि दो जड़ें बिल्कुल इकाइयां अलग नहीं हैं, तो इसका मतलब है कि आप यह साबित करने के लिए पर्याप्त सटीकता का अनुमान लगा सकते हैं कि वे इकाइयों से अलग या कम हैं। उदाहरण के लिए दो प्रकार के प्रमाण पत्र हैं: $k$ $k$

पहला प्रकार (नकारात्मक में प्रमाण) है

जड़ नहीं है $a$ $p$
की कोई जड़ नहीं है $p$ $(a-k, a)$
में तीन जड़ है $p$ $(a, \infty)$

दूसरा प्रकार (सकारात्मक में प्रमाण) है

जड़ नहीं है $a$ $p$
में कम से कम दो जड़ें हैं $p$ $(a-k,a)$
में दो जड़ है $p$ $(a, \infty)$

एक प्रमाण पत्र को स्टर्म के प्रमेय का उपयोग करके सत्यापित किया जा सकता है। अब, एक प्रमाण पत्र के आकार के बारे में आपका प्रश्न यह पता लगाने के लिए उबलता है कि आपको कितने बिट्स की सटीकता का प्रतिनिधित्व करने की आवश्यकता । $a$

दूसरे शब्दों में, क्या के संभावित मूल्यों पर सीमा कर रहे हैं जहां, की जड़ें हैं ? $a-b-k$ $a,b$ $f$

मैं एक महान दृष्टिकोण के बारे में निश्चित नहीं हूं, लेकिन जो आपको कुछ देना चाहिए, वह यह है कि इन सभी मूल्यों को बहुपदों की जड़ें मानें:

g (x) = {Res}_{y} (f (y), f (x + y + k))

$g(x) = \mathop{\text{Res}_y}(f(y), f(x + y + k))$

क्यों? स्मरण करो कि दो राक्षसी बहुपद का परिणाम उनकी जड़ों के सभी अंतरों का उत्पाद है, इसलिए

जी (एक्स) = {सी}^{घ^{2}} \underset{ए, ख}{Π} (ख - (ए - एक्स - क)) = \underset{ए, ख}{Π} (एक्स - (ए - ख - क))

$g(x) = c^{d^2} \prod_{a,b}(b - (a - x - k)) = \prod_{a,b} (x - (a-b-k))$

जहाँ अग्रणी गुणांक है और , की डिग्री है । (शायद मैं के लिए सूत्र लिखा है के बजाय , मैं संकेत पर यकीन है कि कभी नहीं हूँ) $c$ $d$ $f$ $-g(x)$ $g(x)$

तो सवाल यह है कि गुणांक कितना बड़ा हो सकता है, इसके लिए अनुमान लगाना है, और फिर एक बार जब आप यह जान लेते हैं, तो अनुमान लगाएं कि जड़ कितनी करीब हो सकती है। $g$ $g$

(या, वैकल्पिक रूप से, सबसे बड़ा परिमाण ज्ञात करें कि की रिवर्स बहुपद की जड़ हो सकती है; रिवर्स पॉलिनोमियल की जड़ें की जड़ों के व्युत्क्रम हैं ) $g$ $g$

क्या यहां डेटा प्रतिनिधित्व के बारे में कोई समस्या है? एनपी मूल रूप से ट्यूरिंग मशीनों के बारे में है और यह तुरंत स्पष्ट नहीं है कि यह वास्तविक संख्याओं या बिट्स की संख्या से संबंधित है जो पर्याप्त परिशुद्धता के तर्कसंगत लिखने के लिए आवश्यक हैं। (मुझे खेद है कि बहुत रचनात्मक नहीं होने के लिए: मुझे यह जानने के लिए पर्याप्त है कि यह एक समस्या हो सकती है, लेकिन यह जानने के लिए पर्याप्त नहीं है कि क्या यह वास्तव में एक समस्या है या यदि यह है, तो इसे कैसे फिर से शुरू करना है।)

— डेविड रिचरबी

@DavidRicherby: मैं यह सोचते हैं रहा हूँ आदानों अनिवार्य रूप से सिर्फ बहुपद बाइनरी में लिखा के गुणांकों हैं, और मेरी उम्मीद है कि बिट्स की संख्या प्रतिनिधित्व करने के लिए की जरूरत है

बाइनरी में की बिट्स की संख्या की एक बहुपद समारोह से घिरा हो जाएगा इनपुट। हम दो पैरामीटर का उपयोग करते हैं, इनपुट के बिट्स की संख्या और बहुपद की डिग्री है, तो मैं लगभग निश्चित है कि बिट्स की संख्या आप के लिए की जरूरत है कर रहा हूँ

इनपुट के बिट्स की संख्या में बहुपद हो जाएगा, लेकिन मैं कम कर रहा हूँ निश्चित रूप से यह कैसे डिग्री पर निर्भर करेगा।

a

$a$

a

$a$

गुणांक की एक सूची के रूप में इनपुट सही अर्थ बनाता है। लेकिन जड़ों का प्रतिनिधित्व करने के लिए आवश्यक सटीकता के बारे में आपकी धारणाओं को निश्चित रूप से जांचने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, हिल्बर्ट की दसवीं समस्या (डायोफैंटाइन समीकरणों को हल करना) अनिर्णायक है, इसका कारण यह है कि आप इनपुट की लंबाई के मामले में समाधान की लंबाई को सीमित नहीं कर सकते। यह सीधे यहां लागू नहीं होता है, क्योंकि हमारे पास केवल एक चर है और हम पूर्णांक समाधानों की तलाश नहीं कर रहे हैं, लेकिन यह बाध्यता की धारणा के बारे में एक बहुत बड़ा सवाल पूछता है।

— डेविड रिचेर्बी

@ डेविड: वास्तविक बंद क्षेत्रों का सिद्धांत नाटकीय रूप से संख्या सिद्धांत से अलग है; एक के बारे में अंतर्ज्ञान वास्तव में दूसरे को अच्छी तरह से अनुवाद नहीं करता है।

अगर दो जड़ें

अलग या

अलग हों तो क्या होगा? पर्याप्त परिशुद्धता का अनुमान लगाना कठिन हो सकता है।

k + 2^{- 2^{2^{n}}}

$k+2^{-2^{2^n}}$

k - 2^{- 2^{2^{n}}}

$k-2^{-2^{2^n}}$

— युवल फिल्मस

अपने प्रश्नों को लेने जा रहा हूं क्योंकि ज्यादातर खुले हैं। गैलोज प्रूफ को अबेल-रफिनी थीम के रूप में जाना जाता है, जो पंचक के बहुपद के समाधान की असंभवता को दर्शाता है। (उदाहरण के लिए द्विघात समीकरण के विपरीत)। इसलिए यह वास्तव में प्रति समस्या की कठोरता पर परिणाम नहीं है, बल्कि असंभव है । इस अर्थ में यह हॉल्टिंग समस्या की अनिर्वायता का प्रमाण देने के लिए अधिक अनुरूप है। जटिलता सिद्धांत सामान्य रूप से कंप्यूटिंग समाधानों की "लागत" से संबंधित है। यह निम्नलिखित पेपर ( संगणना और जटिलता / क्लेनबर्ग और पापादिमित्रिउ) के परिचयात्मक खंड में दो प्रमुख सीएस शोधकर्ताओं का दृष्टिकोण है , 1 क्विंटिक फॉर्मूला के लिए खोज 1 सेकंड:

कुछ शताब्दियों की सुरक्षित दूरी से देखी गई कहानी कॉम-पुटेशन के बारे में स्पष्ट रूप से एक है, और इसमें कई प्रमुख घटक शामिल हैं जो बाद में गणना करने के प्रयास में उत्पन्न होते हैं: हम एक कम्प्यूटेशनल प्रक्रिया लेते हैं जिसे हम समझदारी से समझते हैं (समीकरण को हल करना) इस मामले में), एक सटीक मॉडल तैयार करते हैं, और मॉडल से प्रक्रिया की कम्प्यूटेशनल शक्ति के बारे में कुछ अत्यधिक अप्रत्याशित परिणाम प्राप्त करते हैं। यह ठीक यही दृष्टिकोण है कि हम सामान्य रूप से गणना करने के लिए आवेदन करना चाहते हैं।

$\neq$ $\neq$

— vzn
स्रोत

मुझे यकीन नहीं है कि रुकने की समस्या एक अच्छा सादृश्य है, क्योंकि यह "आप उत्तर की गणना नहीं कर सकते हैं" की तर्ज पर "बजाय इसका कोई जवाब नहीं है"।

क्या गाल्वा प्रमेय सिर्फ हॉल्टिंग समस्या की तरह एक कम्प्यूटेशनल असंभवता परिणाम नहीं है?

— user6818