क्या सामान्यीकृत XOR-SAT कुशलतापूर्वक हल है?

Question

मैंने देखा है कि XOR-3-SAT कुशलता से कैसे हल किया जा सकता है (उदाहरण के लिए, बूलियन संतोषजनक समस्या के लिए विकिपीडिया प्रविष्टि में "XOR- संतोषजनकता" अनुभाग देखें )।

मैं एक बुनियादी सवाल सोच रहा हूं: क्या XOR-k-SAT कुशलतापूर्वक हल करने योग्य है, प्रति खंड में शाब्दिक मात्रा में भिन्नता वाले फॉर्मूलों के लिए?

मैं वास्तव में यह जानना चाहूंगा कि क्या हम 3 से अधिक प्रति शब्द शाब्दिक मात्रा बढ़ा सकते हैं, और यदि हम मिश्रित खंड लंबाई रख सकते हैं।

Comments

आपने क्या शोध किया है? हम उम्मीद करते हैं कि आप पूछने से पहले, अपने आप पर एक गंभीर प्रयास करें, और हमें इस प्रश्न में दिखाएं कि आपने क्या शोध किया है और आपने क्या प्रयास किया है। विकिपीडिया में उल्लेख है कि XOR-3-SAT को हल करने के लिए एल्गोरिथ्म गॉसियन उन्मूलन है। क्या आपने यह समझने का प्रयास किया है कि यह कैसे काम करता है, और देखें कि क्या यह XOR-k-SAT पर लागू होता है?

— डीडब्ल्यू

@ मैं मानता हूं कि मैंने इस पर बहुत शोध नहीं किया। मैंने गॉसियन उन्मूलन का उल्लेख देखा, और सोचा कि यह सामान्यीकृत XOR-SAT के लिए काम करेगा। लेकिन मुझे लगता है कि मैं पुष्टि के लिए देख रहा था। मुझे आशा है कि आप मेरे आलस्य को क्षमा करेंगे। मैं इस तरह के सवाल पूछने से पहले भविष्य में और अधिक शोध करने की कोशिश करूंगा।

— मैट ग्रॉफ

Answer 1

यह विकिपीडिया लेख से जुड़ा हुआ है जैसा आप कहते हैं कि XORSAT (सिर्फ 3-XORSAT नहीं) पी में है। जिस पद्धति से वे अपने उदाहरण में 3-XORSAT सूत्र को हल कर रहे हैं वह बहुत आसानी से उन सूत्रों के लिए सामान्य हो जाता है जिनमें खंड मनमाने ढंग से हो सकते हैं। बड़ी संख्या में चर और चर की भिन्न संख्या।

आप केवल सूत्र को रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के रूप में देखते हैं जहां आपके पास प्रत्येक खंड के लिए एक समीकरण है, और प्रत्येक चर के लिए एक चर है। उदाहरण के लिए, सूत्र:

$$(x_1\oplus x_2\oplus\lnot x_3\oplus x_5)\land (x_2\oplus x_3)$$

एक संतोषजनक असाइनमेंट है अगर और केवल अगर समीकरणों की निम्न प्रणाली में एक समाधान है:

$$x_1+x_2+(1+x_3)+x_5\equiv 1 \mod 2$$ $$x_2+x_3\equiv 1 \mod 2$$

और हम गौसियन उन्मूलन का उपयोग करके बहुपदीय समय में समीकरणों के रैखिक प्रणालियों के समाधान पा सकते हैं!

Answer 2

हाँ। यह गाऊसी उन्मूलन द्वारा हल करने योग्य है। गॉसियन उन्मूलन समीकरणों की किसी भी प्रणाली को हल कर सकता है जो रैखिक मोडुलो है। XOR इसके अलावा modulo 2 के रूप में कार्य करता है, इसलिए प्रत्येक XOR-SAT खंड एक रेखीय समीकरण modulo के रूप में कार्य करता है। नतीजतन, गाऊसी उन्मूलन किसी भी XOR-k-SAT सूत्र या किसी भी XOR-SAT सूत्र को हल कर सकता है, भले ही अलग-अलग संख्या में शाब्दिक हों। बहुपद काल में प्रति खंड या मिश्रित खंड लंबाई।