कार्प-लिप्टन प्रमेय का प्रमाण

Question

मैं "कम्प्यूटेशनल जटिलता: एक आधुनिक दृष्टिकोण" (2009) पुस्तक में कहा गया है कि कार्प-लिप्टन प्रमेय के प्रमाण को समझने की कोशिश कर रहा हूं।

विशेष रूप से, यह पुस्तक निम्नलिखित बताती है:

कार्प-लिप्टन प्रमेय

यदि एनपी पी ∖ पी ओ एल वाई , तो पीएच = Σ पी 2 ।$\subseteq$ $P_{\backslash poly}$ $= \Sigma^p_2$

सबूत: तक प्रमेय 5.4, दिखाने के लिए शारीरिक रूप से विकलांग , यह दिखाने के लिए पर्याप्त होता है कि Π पी 2 ⊆ Σ पी 2 और विशेष रूप से यह पता चलता है कि पर्याप्त होता Σ पी 2 शामिल Π पी 2 -Complete भाषा Π 2 बैठ गया।$= \Sigma^p_2$$\Pi^p_2\subseteq \Sigma^p_2$$\Sigma^p_2$$\Pi^p_2$$\Pi_2$

प्रमेय 5.4 जिसमें कहा गया है

हर के लिए , अगर Σ पी मैं = Π पी मैं तो शारीरिक रूप से विकलांग = Σ पी मैं । यही है, पदानुक्रम ith स्तर तक गिर जाता है।$i \geq 1$$\Sigma_i^p = \Pi_i^p$$\Sigma_i^p$

मैं समझता हूँ कि कैसे नाकाम रहने हूँ का तात्पर्य Σ पी 2 = Π पी 2 ।$\Pi^p_2\subseteq \Sigma^p_2$$\Sigma_2^p = \Pi_2^p$

एक अधिक सामान्य प्रश्न के रूप में: हर के लिए इस धारण करता है , यानी करता Π पी मैं ⊆ Σ पी मैं मतलब Σ पी मैं = Π पी मैं सभी के लिए मैं ≥ 1 ?$i$$\Pi^p_i\subseteq \Sigma^p_i$$\Sigma_i^p = \Pi_i^p$$i \geq 1$

Comments

थोड़ी देर के बाद, अगर मैं सही ढंग से याद है, हम एक अस्पष्ट व्याख्या के लिए आया था: यदि " एक परिमाणकों साथ सूत्र, तो हम बदल सकता है ∀ । । । ∃ एक के लिए परिमाणकों साथ ∃ । । । ∀ , जो हम से एक सूत्र को बदलने के लिए उपयोग कर सकते हैं Σ पी 3 फार्म के ∃ । । । ∀ । । । ∃ रूप से एक के लिए ∃ । । । ∃ । । । $\Pi_2^p \subseteq \Sigma_2^p$$\forall ... \exists$$\exists ... \forall$$\Sigma_3^p$$\exists ... \forall ... \exists$$\exists... \exists... \forall$ जिसमें यह रखता है, $\Sigma_2^p$ , जो पदानुक्रम गिर। मुझे यकीन नहीं है कि मैं इस तर्क को पूरी तरह से समझता हूं।

— वार्डएल

एक और सुझाव / विचार, गणित के बयानों में उप-समावेश और समानता के बीच स्विच होता है (स्वीकार करें कि यह जटिलता सिद्धांत में सामान्य है)। वहाँ एक रास्ता है / एक में या दूसरे में सुधार / पर stdize छड़ी? FYI कार्प-लिप्टन thm / विकिपीडिया

— vzn

Answer 1

याद रखें कि iff ˉ एल ∈ Π पी मैं । कि अब मान लो Σ पी मैं ⊆ Π पी मैं , और एल ∈ Π पी मैं । तब ˉ एल ∈ Σ पी मैं और इतने ˉ एल ∈ Π पी मैं इस धारणा से, जिसका अर्थ है कि एल ∈ Σ पी मैं । दूसरे शब्दों में, Π पी मैं ⊆ Σ $L \in \Sigma_i^p$$\bar{L} \in \Pi_i^p$$\Sigma_i^p \subseteq \Pi_i^p$$L \in \Pi_i^p$$\bar{L} \in \Sigma_i^p$$\bar{L} \in \Pi_i^p$$L \in \Sigma_i^p$$\Pi_i^p \subseteq \Sigma_i^p$$\Sigma_i^p = \Pi_i^p$

$L \in \Sigma_i^p$$\bar{L} \in \Pi_i^p$. For concreteness, we take $i = 3$. By definition, $L \in \Sigma_3^p$ if for some P-time predicate $T$,

$$x \in L \Leftrightarrow \exists |y| < |x|^{O(1)} \forall |z| < |x|^{O(1)} \exists |w| < |x|^{O(1)} T(x,y,z,w).$$ Similarly $\bar{L} \in \Pi_3^p$ if for some P-time predicate $S$, $$x \in \bar{L} \Leftrightarrow \forall |y| < |x|^{O(1)} \exists |z| < |x|^{O(1)} \forall |w| < |x|^{O(1)} S(x,y,z,w).$$ However, these two statements are equivalent, as a simple invocation of de Morgan's laws shows, together with the fact that P is closed under complementation (take $S = \lnot T$).