कार्प-लिप्टन प्रमेय का प्रमाण


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मैं "कम्प्यूटेशनल जटिलता: एक आधुनिक दृष्टिकोण" (2009) पुस्तक में कहा गया है कि कार्प-लिप्टन प्रमेय के प्रमाण को समझने की कोशिश कर रहा हूं।

विशेष रूप से, यह पुस्तक निम्नलिखित बताती है:

कार्प-लिप्टन प्रमेय

यदि एनपी पी पी एल वाई , तो पीएच = Σ पी 2 Ppoly =Σ2p

सबूत: तक प्रमेय 5.4, दिखाने के लिए शारीरिक रूप से विकलांग , यह दिखाने के लिए पर्याप्त होता है कि Π पी 2Σ पी 2 और विशेष रूप से यह पता चलता है कि पर्याप्त होता Σ पी 2 शामिल Π पी 2 -Complete भाषा Π 2 बैठ गया।=Σ2pΠ2pΣ2pΣ2pΠ2pΠ2

प्रमेय 5.4 जिसमें कहा गया है

हर के लिए , अगर Σ पी मैं = Π पी मैं तो शारीरिक रूप से विकलांग = Σ पी मैं । यही है, पदानुक्रम ith स्तर तक गिर जाता है।i1Σip=ΠipΣip

मैं समझता हूँ कि कैसे नाकाम रहने हूँ का तात्पर्य Σ पी 2 = Π पी 2Π2pΣ2pΣ2p=Π2p

एक अधिक सामान्य प्रश्न के रूप में: हर के लिए इस धारण करता है , यानी करता Π पी मैंΣ पी मैं मतलब Σ पी मैं = Π पी मैं सभी के लिए मैं 1 ?iΠipΣipΣip=Πipi1


थोड़ी देर के बाद, अगर मैं सही ढंग से याद है, हम एक अस्पष्ट व्याख्या के लिए आया था: यदि " एक परिमाणकों साथ सूत्र, तो हम बदल सकता है एक के लिए परिमाणकों साथ , जो हम से एक सूत्र को बदलने के लिए उपयोग कर सकते हैं Σ पी 3 फार्म के रूप से एक के लिए Π2pΣ2p......Σ3p............ जिसमें यह रखता है, Σ2p , जो पदानुक्रम गिर। मुझे यकीन नहीं है कि मैं इस तर्क को पूरी तरह से समझता हूं।
वार्डएल

एक और सुझाव / विचार, गणित के बयानों में उप-समावेश और समानता के बीच स्विच होता है (स्वीकार करें कि यह जटिलता सिद्धांत में सामान्य है)। वहाँ एक रास्ता है / एक में या दूसरे में सुधार / पर stdize छड़ी? FYI कार्प-लिप्टन thm / विकिपीडिया
vzn

जवाबों:


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याद रखें कि iff ˉ एलΠ पी मैं । कि अब मान लो Σ पी मैंΠ पी मैं , और एल Π पी मैं । तब ˉ एलΣ पी मैं और इतने ˉ एलΠ पी मैं इस धारणा से, जिसका अर्थ है कि एल Σ पी मैं । दूसरे शब्दों में, Π पी मैंΣ पीLΣipL¯ΠipΣipΠipLΠipL¯ΣipL¯ΠipLΣipΠipΣipΣip=Πip

LΣipL¯Πip. For concreteness, we take i=3. By definition, LΣ3p if for some P-time predicate T,

xL|y|<|x|O(1)|z|<|x|O(1)|w|<|x|O(1)T(x,y,z,w).
Similarly L¯Π3p if for some P-time predicate S,
xL¯|y|<|x|O(1)|z|<|x|O(1)|w|<|x|O(1)S(x,y,z,w).
However, these two statements are equivalent, as a simple invocation of de Morgan's laws shows, together with the fact that P is closed under complementation (take S=¬T).
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