अगर हम पहले से ही जानते हैं कि एक है, तो क्या एक गवाह को एनपी-मुश्किल हो सकता है?

Question

एनपी-हार्ड समस्याओं (क्लिक, 3-सैट, वर्टेक्स कवर, आदि) के सामान्य उदाहरण उस प्रकार के हैं जहां हमें पता नहीं है कि उत्तर "हां" है या "नहीं" पहले से।

मान लीजिए कि हमें एक समस्या है जिसमें हम जानते हैं कि इसका उत्तर हां है, इसके अलावा हम बहुपद समय में एक गवाह को सत्यापित कर सकते हैं।

क्या हम हमेशा बहुपदीय समय में एक साक्षी पा सकते हैं? या क्या यह "खोज समस्या" एनपी-हार्ड हो सकती है?

Comments

यह संभावना नहीं है। हालांकि PPAD- हार्ड हो सकता है।

— आरबी

मुझे नहीं पता कि यह एक संयोग है या नहीं, लेकिन यह ब्लॉगपोस्ट आज पोस्ट किया गया था: ... एक अनुस्मारक जो कि कुल खोज समस्याओं में एनपी-पूर्ण नहीं है ।

— पाएल जीडी

Answer 1

TFNP उन बहु मानदंड वाले कार्यों का वर्ग है जो बहुपदीय रूप से सत्यापित हैं और मौजूद हैं।

TFNP में एक समस्या मौजूद है जो FNP- पूर्ण है और केवल अगर NP = सह-NP, Theorem 2.1 देखें:

निम्रॉड मेगिडो और क्रिस्टोस एच। पापादिमित्रियो। 1991. कुल कार्यों, अस्तित्व प्रमेयों और कम्प्यूटेशनल जटिलता पर। या। कंप्यूटर। विज्ञान। 81, 2 (अप्रैल 1991), 317-324। डीओआई: 10.1016 / 0304-3975 (91) 90200-एल

और भीतर संदर्भ [6] और [११]। यहाँ पीडीएफ उपलब्ध है ।

Answer 2

नहीं, आप हमेशा बहुपद समय में समाधान नहीं ढूंढ सकते हैं, भले ही आपको पता हो कि समाधान है।

खन्ना के अनुसार, लिनियल, और सफ़्रा [1] (तीसरा पैराग्राफ देखें), यह पहले से ही 1972 के क्लासिक काम से इस प्रकार है कि 3 रंगों के साथ एक 3-रंगीन ग्राफ को रंगना एनपी-हार्ड है। (उनका काम यह दिखाने के लिए फैला है कि 4-रंग वाले 3-रंगीन ग्राफ अभी भी एनपी-हार्ड हैं)।

ध्यान दें कि यह राहुल सवानी के जवाब का खंडन नहीं करता है । ऐसा इसलिए है क्योंकि FNP में सभी द्विआधारी संबंधों , हमें बहुपद समय में सत्यापित करने में सक्षम होना चाहिए यदि P ( x , y ) संबंध में है। यह देखते हुए कि यदि 3 रंगों के साथ एक 3-वर्णनीय ग्राफ एनपी-पूर्ण है, तो यह 3-वर्णनीय ग्राफ में 4-रंग खोजने की समस्या की संभावना नहीं है क्योंकि हम बहुपद समय में इनपुट x की वैधता को सत्यापित नहीं कर सकते हैं । इस प्रकार, मेगिडो-पापादिमित्रिउ परिणाम का कोई विरोधाभास नहीं है।$P$$P(x,y)$$x$

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[१] खन्ना, संजीव, नाथन लिनियल और शमूएल सफरा। "वर्णिक संख्या का अनुमान लगाने की कठोरता पर।" थ्योरी और कम्प्यूटिंग सिस्टम, 1993., द इज़री ऑफ़ द 2 इज़रायल संगोष्ठी। IEEE, 1993।

Answer 3

यदि एक एनपी-संबंध एनपी-कठिन है
, तो हां-जवाब के संबंध में केवल सह-नॉनडेर्मिनिस्टिक बहुपद-काल ट्यूरिंग कटौती,$\: NP = coNP \;$।




प्रमाण:



यदि एक एनपी-संबंध एनपी-कठिन है
, तो हां-जवाब के संबंध में केवल सह-नॉनडेर्मिनिस्टिक बहुपद-काल ट्यूरिंग कटौती, फिर:

चलो इस तरह के एक कठिन संबंध हो, और एम ' हाँ-जवाब-केवल सह nondeterministic बहुपद समय ट्यूरिंग से कमी हो एस ए टी करने के लिए आर ।$R$$M'$$SAT$$R$$\:$चलो द्वारा दिए गए coNP एल्गोरिथ्म हो: $M$
$\;$कथित विरोधी प्रमाणपत्र को एक आंतरिक प्रमाणपत्र और प्रतिक्रियाओं में पार्स करने का प्रयास ।
$\;$अगर ऐसा है तो विफल रहता है उत्पादन हाँ, को चलाने के लिए किसी और प्रयास भीतरी विरोधी प्रमाण पत्र पर देकर $M'$
$\;$ एक ही प्रतिक्रिया के रूप में पहले से ही पुनरावृत्ति-प्रश्नों के लिए और से प्रतिक्रियाओं का उपयोग कर दिया गया था
$\;$ , बाहरी (बाहरी) अन्य सभी ओरेकल प्रश्नों के लिए प्रमाण पत्र। $\:$अगर अधिक विशिष्ट होगा $M'$
$\;$प्रतिक्रियाओं की संख्या या इसके किसी भी प्रश्न से संबंधित प्रश्न से संबंधित नहीं होंगे$R$
$\;$उस क्वेरी की प्रतिक्रिया या होगा उत्पादन हाँ, एम आउटपुट हाँ, और एम आउटपुट सं। के लिए एक दैवज्ञ जा रहा है के बाद से आर सिर्फ दैवज्ञ की प्रतिक्रियाओं पर स्वतंत्र स्थिति लगाता है और एम ' हाँ-जवाब-केवल कमी, प्रश्न-प्रतिक्रिया जोड़े द्वारा उत्पादित एम ' और एक वैध विरोधी प्रमाण पत्र हमेशा के लिए एक दैवज्ञ लिए बढ़ाया जा सकता आर , इसलिए M , S A T को हल करता है$M'$$M$$M$
$R$
$M'$$M'$
$R$$M$$SAT\hspace{-0.02 in}$।
इस प्रकार$\: SAT\in coNP \;$।
के बाद से है एन पी नियतात्मक बहुपद समय में कटौती के संबंध में हार्ड,$SAT$$NP$$\: NP\subseteq coNP \;$।
समरूपता द्वारा,$\: coNP \subseteq NP \;$। $\;\;\;\;$ इस प्रकार $\: NP = coNP \;$।


इसलिए, यदि एक एनपी-संबंध एनपी-कठिन है, तो हां-जवाब के संबंध में केवल
सह-नॉनडेर्मिनिस्टिक बहुपद-काल ट्यूरिंग कटौती,$\: NP = coNP \;$।

Comments

मैं इसमें से किसी को भी नहीं समझता। क्या आप एक "हां-उत्तर-केवल सह-नॉनडेर्मिनिस्टिक बहुपद-काल ट्यूरिंग कमी", एक "एंटी-सर्टिफिकेट" को परिभाषित कर सकते हैं, और यह भी स्पष्ट कर सकते हैं कि वास्तव में क्या है ("आरटी से कमी" से मुझे कोई मतलब नहीं है)? $M'$

— साशो निकोलेव

"हाँ-उत्तर-केवल-सह-उत्तरवादी बहुपद-समय ट्यूरिंग कमी" एक coNP ओरेकल मशीन है जिसका ऑर्कल किस कमी के लिए है, जैसे कि यह एक इनपुट पर ओरेकल को कभी क्वेरी नहीं करेगा जिसके लिए कोई बहुपद-आकार नहीं है स्ट्रिंग जो क्वेरी से संबंधित है ।$R$$\:$ (जारी है ...) $\;\;\;\;$

... (जारी है) $\:$एक एंटी-सर्टिफिकेट एक सर्टिफिकेट का एनालॉग होता है , जिसमें YES और NO इंटरचेंज होता है।$\:$ कमी वाक्य में उल्लेख किया है कि शुरू की है एम ' ।$M'$$M'$$\:$ (मैंने उस वाक्य के अंत में टाइपो तय किया।) $\;\;\;\;$

Answer 4

यह आपके प्रश्न का सटीक व्याख्या पर थोड़ा निर्भर करता है, लेकिन मैं अपने परिदृश्य सामान्य रूप से एक समस्या 'गणना वाई' जहां कुछ सार्वभौमिक तय बहुपद समय एल्गोरिथ्म दिया के रूप में वर्णित किया जा सकता है लगता है और बहुपद पी , इनपुट पर ⟨ एक्स , 1 n ⟩ , उत्पादन एक स्ट्रिंग y ∈ { 0 , 1 $T$$p$$\langle x, 1^n \rangle$ , जैसे किटी(एक्स,वाई, 1 n )1 आउटपुट, औरyहमेशा के लिए सभी संभव मौजूदएक्स।$y \in \{0,1\}^{p(n)}$$T(x,y,1^n)$$y$$x$

एक प्रश्न यह हो सकता है कि क्या 'COMPUTE Y' के लिए बहुपद समय एल्गोरिथ्म का अर्थ $P = NP$

इस स्थिति में, मान लें कि आप (कह सकते हैं) 3SAT बहुपद समय में एक निरंतर संख्या के साथ कॉल कर सकते हैं जो 'COMPUTE Y' को हल करता है, अर्थात कुछ एल्गोरिथ्म जहां A ( ϕ ) = 1 iff satisf संतोषजनक है, A ( ϕ ) = 0 अन्यथा। उत्पादन बिट फ्लिप पाने के लिए ˉ एक , एक एल्गोरिथ्म जहां ˉ एक ( φ ) = 0 iff φ संतुष्टि योग्य है और ˉ एक ( φ ) = 1 यदि $A$$A(\phi) = 1$$\phi$$A(\phi)=0$$\bar{A}$$\bar{A}(\phi) = 0$$\phi$$\bar{A}(\phi) = 1$$\phi$ असंतोषजनक है।

इस एल्गोरिथ्म कन्वर्ट एक गैर नियतात्मक एल्गोरिथ्म में (जो 'गणना वाई' के लिए एक दैवज्ञ का उपयोग करता है) (कि का उपयोग करता है कोई देववाणी) बस के एक गैर नियतात्मक अनुमान के साथ प्रत्येक ओरेकल कॉल की जगह y है कि आप के लिए एक कॉल के साथ जांच कर सकते हैं टी । अब आप एक गैर नियतात्मक एल्गोरिथ्म जो सफलतापूर्वक unsatisfiable 3CNF उदाहरणों का फैसला करता है, तो एन पी = ग ओ एन $\bar{A}$$y$$T$$NP = coNP$

एक अलग रूप में, अगर के रूप में , संकेत मिलता है कि कि सभी एन पी पूरा समस्याओं (जैसे कश्मीर -clique या 3SAT) मामूली बदलाव जिसका निर्णय समस्या आसान है (हमेशा 'हां') अभी तक जिनकी खोज संस्करण है एन पी -मुश्किल$NP = coNP$$NP$$k$$NP$