एनपी-पूर्ण समस्याएं उनके सन्निकटन के संदर्भ में इतनी भिन्न क्यों हैं?

Question

मैं यह कहकर प्रश्न शुरू करना चाहता हूं कि मैं एक प्रोग्रामर हूं, और मेरे पास जटिलता सिद्धांत में बहुत अधिक पृष्ठभूमि नहीं है।

एक बात जिस पर मैंने गौर किया है, वह यह है कि जब कई समस्याएं एनपी-पूर्ण होती हैं, जब अनुकूलन समस्याओं को बढ़ाया जाता है, तो कुछ अन्य की तुलना में लगभग मुश्किल होती हैं।

एक अच्छा उदाहरण टीएसपी है। हालांकि टीएसपी के सभी प्रकार एनपी-पूर्ण होते हैं, इसके अनुरूप अनुकूलन की समस्याएं लगातार सरल सरलीकरण के साथ आसान और आसान हो जाती हैं। सामान्य मामला एनपीओ-पूर्ण है, मीट्रिक मामला एपीएक्स-पूर्ण है, और यूक्लिडियन मामले में वास्तव में एक पीटीएएस है।

यह मेरे लिए प्रति-सहज ज्ञान युक्त लगता है, और मैं सोच रहा हूं कि क्या इसके लिए कोई कारण है।

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यदि आप मूल बातें पढ़ना चाहते हैं, तो हमारा संदर्भ प्रश्न देखें । अपने प्रश्न के लिए, आप कमजोर और दृढ़ता से एनपी-पूर्ण समस्याओं के बीच अंतर देख रहे हैं ।

— राफेल

Answer 1

एक कारण है कि हम एनपी-पूर्ण समस्याओं के लिए विभिन्न सन्निकटन जटिलताओं को देखते हैं, एनपी-पूर्ण के लिए आवश्यक शर्तें एक समस्या की जटिलता के बहुत मोटे दानेदार माप का गठन करती हैं। आप एक समस्या की मूल परिभाषा से परिचित हो सकता है एन पी-सम्पूर्ण किया जा रहा है:$\Pi$

1. एनपी में है, और$\Pi$
2. हर दूसरे समस्या के लिए एनपी में, हम एक उदाहरण बदल सकते हैं एक्स के Ξ एक उदाहरण में y की Π बहुपद समय में ऐसा है कि y के हां-उदाहरण है Π यदि और केवल यदि एक्स के एक हाँ-उदाहरण है Ξ ।$\Xi$$x$$\Xi$$y$$\Pi$$y$$\Pi$$x$$\Xi$

शर्त 2 पर विचार करें: यह आवश्यक है कि हम ले सकते हैं और इसे कुछ ऐसे y में बदल सकते हैं जो "सिंगल-बिट" हां या कोई उत्तर नहीं देता है। उदाहरण के लिए, शर्तों के बारे में कोई स्थिति नहीं है, गवाहों के हां या ना के सापेक्ष आकार (जो कि अनुकूलन संदर्भ में समाधान का आकार है)। तो इसका उपयोग किया जाने वाला एकमात्र उपाय इनपुट का कुल आकार है जो केवल समाधान के आकार पर बहुत कमजोर स्थिति देता है। तो यह बहुत "आसान" है एक चालू करने के लिए Ξ एक में Π ।$x$$y$$\Xi$$\Pi$

हम कुछ सरल एल्गोरिदम की जटिलता को देखते हुए विभिन्न एनपी-पूर्ण समस्याओं में अंतर देख सकते हैं। -Coloring में एक Brute Force O ( k n ) (जहां n इनपुट आकार है)। के लिए कश्मीर -Dominating सेट, एक जानवर बल दृष्टिकोण ले हे ( एन कश्मीर ) । ये संक्षेप में, हमारे पास सबसे अच्छा सटीक एल्गोरिदम हैं। k -Vertex कवर में एक बहुत ही सरल O ( 2 k n c$k$$O(k^{n})$$n$$k$$O(n^{k})$$k$$O(2^{k}n^{c})$एल्गोरिथ्म (एक किनारा, शाखा, जिस पर अंतिम बिंदु शामिल करने के लिए, सभी कवर को चिह्नित करें, तब तक चलते रहें जब तक कि आपके पास कोई किनारा न हो या आप अपने बजट को और बैक्ट्राक पर हिट करें )। बहुपद-समय के तहत कई-एक कटौती (कार्प में कटौती, यानी हम ऊपर 2 की स्थिति में क्या कर रहे हैं), ये समस्याएं समतुल्य हैं।$k$

जब हम और भी अधिक नाजुक उपकरणों (सन्निकटन जटिलता, मानकीकृत जटिलता, कोई अन्य जिसे मैं सोच भी नहीं सकता हूं) के साथ जटिलता के लिए दृष्टिकोण करना शुरू कर देता हूं, तो हमारे द्वारा उपयोग की जाने वाली कटौती अधिक सख्त हो जाती है, या समाधान की संरचना के प्रति अधिक संवेदनशील हो जाती है, और मतभेद दिखाई देने लगते हैं; -Vertex Cover (जैसा कि युवल ने उल्लेख किया है) में एक सरल 2-सन्निकटन है (लेकिन कुछ जटिलता वर्ग के ढहने तक FPTAS नहीं है), k -Dominating Set में एक ( 1 + लॉग एन ) -प्रतिरोध एल्गोरिथ्म है (लेकिन नहीं ( c) log n ) -कुछ c > 0 के लिए -प्रतिरोध$k$$k$$(1+\log n)$$(c\log n)$$c>0$), और सन्निकटन वास्तव में -Coloring के सीधे आगे के संस्करण के लिए बिल्कुल भी समझ में नहीं आता है ।$k$

Answer 2

$O(\log n)$$1/2 + k/n$$k$$O(1)$ सन्निकटन एल्गोरिथ्म।

ये उदाहरण पूरी तरह से नहीं बने हैं। MAX-INDEPENDENT-SET (MAX-CLIQUE के बराबर) और MIN-VERTEX-COVER की समस्याएं निकटता से संबंधित हैं - एक स्वतंत्र सेट का पूरक एक शीर्ष आवरण है। लेकिन जबकि पूर्व अनुमानित के लिए कठिन है, उत्तरार्द्ध में एक सरल 2-सन्निकटन है।

किसी समस्या के एनपी-कठोरता को दिखाने वाली कटौती का उपयोग कभी-कभी सन्निकटन की कठोरता दिखाने के लिए भी किया जा सकता है, लेकिन यह हमेशा ऐसा नहीं होता है - यह कमी पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, MAX-INDEPENDENT-SET से MIN-VERTEX-COVER तक की कमी उत्तरार्द्ध समस्या के सन्निकटन की कठोरता नहीं है, जो पूर्व की तुलना में लगभग आसान है।

संक्षेप में, एनपी-कठोरता एक समस्या का सिर्फ एक पहलू है। सन्निकटन की कठोरता एक अलग पहलू है, और यह दृढ़ता से सन्निकटन की धारणा पर निर्भर करता है।

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क्या आप ल्यूक मैथिसन के सहज कथन से सहमत हैं कि सन्निकटन जटिलता कक्षाओं के लिए इस्तेमाल होने वाली कटौती की तुलना में करप कटौती स्वाभाविक रूप से कम "नाजुक" है? यदि नहीं, तो क्या आपके पास इस विचार के खिलाफ अच्छे उदाहरण हैं (शायद अन्य जटिलता वर्ग जैसे EXP)?

— ग्रेग्रास

$P\neq NP$$P=NP$

Answer 3

सहज दृष्टिकोण के रूप में, विचार करें कि एनपी-पूर्ण समस्याओं का तात्कालिकता हमेशा सामान्य मामले की तरह कठिन नहीं होता है। बाइनरी सैटिस्फिबिलिटी (सैट) एनपी-पूर्ण है, लेकिन ए वी बी वी सी वी डी डी वी के समाधान को खोजने के लिए यह तुच्छ है ... जटिलता एल्गोरिदम केवल सबसे खराब मामले को बाध्य करता है, न कि औसत मामले को, या 90% मामले को भी। ।

कुछ सरल करने के लिए एनपी-पूर्ण समस्या को कम करने का सबसे आसान तरीका केवल कठिन भागों को बाहर करना है। यह धोखा है, हाँ। लेकिन अक्सर शेष भाग वास्तविक दुनिया की समस्याओं को हल करने के लिए उपयोगी होते हैं। कुछ मामलों में, "आसान" और "कठिन" के बीच की रेखा खींचना आसान है। जैसा कि आपने टीएसपी के लिए बताया है, कठिनाई में एक मजबूत कमी है क्योंकि आप समस्या को "सामान्य" दिशाओं के चारों ओर कसते हैं, जो अन्य समस्याओं के लिए सोच सकता है। , यह आसान और कठिन भागों को अलग करने के लिए वास्तविक जीवन उपयोगी तरीके खोजने के लिए कठिन है।

सीएस और गणित के दायरे को पूरी तरह से छोड़ने के लिए, एक पुरानी कार पर विचार करें। आपका दोस्त इसे चलाना चाहता है। यदि आपको उसे बताना है, "हे, कार एकदम सही काम करती है। बस इसे 95mph से ऊपर मत ले जाना। वहाँ एक बुरा डगमगाता है जो आपको सड़क पर गिरा देगा," यह शायद कोई बड़ी बात नहीं है। आपका दोस्त शायद इसे शहर के आसपास ही लेना चाहता था। हालांकि, अगर आपको उसे बताना है, "आपको 1 से 2 तक जाने के लिए बस क्लच को ठीक करना है, या इंजन स्टाल होगा," तो आपके दोस्त के लिए कुछ मामूली प्रशिक्षण के बिना शहर के आसपास कार का उपयोग करना कठिन हो सकता है।

इसी तरह, अगर एक एनपी-पूर्ण समस्या केवल विदेशी मामलों में मुश्किल हो जाती है, तो जब आप उप-डोमेन देखते हैं तो यह जटिलता को कम करता है। हालांकि, अगर यह आमतौर पर मामलों को सुलझाने में मुश्किल हो जाता है, तो बहुत सारे उपयोगी उप डोमेन नहीं होते हैं जो कठिन भाग से बचते हैं।

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$P = NP$