ग्रुप आइसोमोर्फिज्म टू ग्राफ इस्मोर्फिज्म

Question

कम्प्यूटेशनल जटिलता के बारे में कुछ ब्लॉगों को पढ़ने में (उदाहरण के लिए यहां ) मैंने इस धारणा को आत्मसात किया कि यदि दो समूह आइसोमॉर्फिक हैं तो यह तय करना कि आइसोमोर्फिज्म के लिए दो ग्राफ्स का परीक्षण करना ज्यादा आसान है। उदाहरण के लिए, बताए गए पृष्ठ पर यह कहा गया है कि ग्राफ समरूपता समूह समरूपतावाद की तुलना में अधिक सामान्य समस्या है।

इसलिए मैं निम्नलिखित प्रस्तुत कर रहा हूं

एक समूह को देखते हुए क्या कोई व्यक्ति ial ( G ) आकार के बहुपद के ग्राफ का निर्माण कर सकता है | जी | ऐसी है कि Γ ( जी ) ≅ Γ ( एच $G$$\Gamma(G)$$|G|$ समूहों के लिए G और H

$$\Gamma(G) \cong \Gamma(H) \iff G \cong H$$ $G$$H?$

Comments

जबकि दो को कसकर युग्मित किया गया है और दशकों तक शोध किया गया है, वास्तव में समूह समरूपता को ग्राफ समरूपतावाद की तुलना में "आसान" साबित नहीं किया गया है, अर्थात यह लगभग एक प्रमुख खुला प्रश्न है कि उनकी जटिलता कैसे संबंधित है। यह भी उपयोगी होगा यदि आप शब्दों में गणित के रिश्ते को भी वर्तनी देते हैं।

— vzn

Answer 1

मिलर के एक क्लासिक पेपर में कमी का वर्णन किया गया है ।

Answer 2

इतना शीघ्र नही। यहाँ एक बड़ी गुप्त अस्पष्टता है:

आप अपने समूह को अभिकलन के लिए कैसे इनपुट करते हैं?

रेखांकन के विपरीत, समूह इनपुट हो सकते हैं इसका मतलब है कि इनपुट आकार और परिणामी जटिलता के मामले में बहुत भिन्न हैं। मिलर में उद्धृत संस्करण कम से कम प्राकृतिक है और उदाहरण के लिए आप यह नहीं पाएंगे कि GAP, मैग्मा, या ऋषि जैसे कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली में। इसलिए जब इसका एक सैद्धांतिक आधार है, तो समस्या को निपटाने के लिए बहुत दूर जाना होगा।

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1. जेनरेटर और संबंध: ग्रुप आइसोमोर्फिज्म अचूक है (ग्राफ आइसोमॉर्फिज्म डिसिडेबल है)।

$G$$G=1$

जनरेटर और संबंधों द्वारा समूह इनपुट के लिए: समूह आइसोमोर्फिज्म ग्राफ आइसोमॉर्फिज्म की तुलना में कठिन है, वास्तव में अनिर्दिष्ट।

2. सॉफ्टवेयर सिस्टम द्वारा उपयोग किए गए इनपुट: क्रमपरिवर्तन और मैट्रिक्स समूहों के समूह समरूपता कम से कम ग्राफ़िकल आइसोमोर्फिज्म के रूप में कठिन है (अन्य तरीके से नहीं)।

$p$

सॉफ्टवेयर सिस्टम के लिए समूहों के इनपुट के लिए: ग्रुप आइसोमोर्फिज्म कम से कम ग्राफ आइसोमोर्फिज्म जितना कठिन है।

3. सैद्धांतिक जटिलता इनपुट: एक ब्लैक-बॉक्स समूह इनपुट के लिए, समूह समरूपता एनपी या सह-एनपी में होने के लिए ज्ञात नहीं है (ग्राफ़ समरूपता दोनों में है)।

$\Sigma^2$$f:G\to H$$G$$H$$f$एक वैध समरूपता है। कम से कम आपको समूहों की प्रस्तुति की आवश्यकता होगी, और यह आसानी से प्राप्त नहीं होगा।

ब्लैक-बॉक्स समूहों के लिए: समूह आइसोमोर्फिज्म कम से कम ग्राफ आइसोमॉर्फिज्म जितना कठिन है।

4. केली टेबल इनपुट्स

शायद ही कभी 1970 के टार्जन, पुल्ट्र-हेडेरलॉन, मिलर और अन्य लोगों ने पाया कि उनकी संपूर्ण गुणन तालिका द्वारा समूहों के इनपुट को भी रेखांकन के रूप में माना जा सकता है। इस तरह समूह आइसोमोर्फिज्म बहुपद समय में आइसोमोर्फिज्म को कम करता है। मिलर इस बात को ध्यान में रखते हुए आगे बढ़े कि कई कॉम्बीनेटरियल संरचनाएं ऐसा ही करती हैं, उदाहरण के लिए स्टाइनर ट्रिपल्स। उन्होंने यह भी प्रदर्शित किया कि सेमीग्रुप आइसोमॉर्फिज्म ग्राफ आइसोमॉर्फिज्म के बराबर है।

$n^{O(\log n)}$

केली टेबल के लिए: ग्रुप आइसोमोर्फिज्म ग्राफ आइसोमॉर्फिज्म को कम करता है।

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$n$$O((\log n)^3)$

$n$$O(n^2 \log n)$

Comments

सभी उपयोगी चर्चा के लिए धन्यवाद। एक बिंदु: जहां आप "सॉफ़्टवेयर सिस्टम के लिए समूहों के इनपुट के लिए लिखते हैं: समूह आइसोमोर्फिज्म ग्राफ आइसोमॉर्फिज़्म की तुलना में कठिन है", क्या आपके पास इस दावे के लिए कोई उद्धरण है कि यह कठिन है (इसके बजाय यह कम से कम उतना ही कठिन है )? "कठिन" का अर्थ यह होगा कि जटिलताएं समान नहीं हैं। क्या इसका कोई सबूत है? या क्या आपका वास्तव में मतलब था "कम से कम उतना ही कठिन"?

— डीडब्ल्यू

उफ़, मुझ पर शर्म करो, "कम से कम जितना मुश्किल होगा" वह होगा जो जाना जाता है। जटिलता में सख्त असमानता जैसा कि आप कहते हैं - दुर्लभ है। हालांकि, कोई यह देख सकता है कि कोड समतुल्यता (हाइपरग्राफ आइसोमॉर्फिज्म से संबंधित) जैसी समस्याएं आम तौर पर इस समस्या को इन मॉडलों में समूह समरूपता से कम कर सकती हैं। कोड तुल्यता अर्ध-बहुपद समय में ग्राफ आइसोमोर्फिज्म के माध्यम से बाबई के टूटने के बाद भी घातीय जटिलता बनी हुई है। ताकि "कठिन" के लिए कमजोर साक्ष्य मिल जाए, लेकिन कड़ाई का कोई भी प्रमाण ज्ञात नहीं है। मैं ऊपर वाले को ठीक कर दूंगा। धन्यवाद।

— अल्जबॉय