क्या ऐसे कार्यक्रम हैं जो कभी रुकते नहीं हैं और जिनके पास कोई गैर-समाप्ति प्रमाण नहीं है?

Question

जैसे कंप्यूटर विज्ञान में ब्लैक होल। हम केवल यह जान सकते हैं कि वे मौजूद हैं लेकिन जब हमारे पास उनमें से एक है तो हम कभी नहीं जान पाएंगे कि यह उनमें से एक है।

Comments

हॉल्टिंग-समस्या का निर्णय करना कम से कम उतना ही कठिन है जितना कि प्रमेयों को साबित करना (एक प्रमेय दिया जाता है जैसे आप बस एक प्रोग्राम लिख सकते हैं , प्रोग्राम समाप्त हो जाता है अगर और केवल अगर थ्योरम सच है)। यदि ऐसे कार्यक्रम नहीं थे, तो इसका मतलब होगा कि आप सभी प्रमेयों को साबित कर सकते हैं, जो कि गलत है। $T$if T is true then halt else loop forever

— बकुरीउ

@ बकुरीउ: आप कैसे लिखेंगे if T is true?

— रुख

@ruakh: पारंपरिक विधि हैFor each string S in the (countable) universe of possible strings: If S is a syntactically valid proof of T, halt.

— क्क्सप्लसोन

@Quuxplusone: ठीक है, हाँ, लेकिन यह बकुरी के निर्माण में फिट नहीं लगता है। । ।

— रात्रि

यह दिलचस्प है, लेकिन मेरे ज्ञान से परे है। क्या आप कृपया विस्तार से बता सकते हैं?

— Evorlor

Answer 1

वास्तव में इस तरह के कार्यक्रम हैं। यह साबित करने के लिए, आइए इसके विपरीत मान लें कि हर मशीन जो रुकती नहीं है, उसके लिए एक प्रमाण है कि वह रुका नहीं है।

ये प्रमाण परिमित लम्बाई के तार हैं, इसलिए हम कुछ पूर्णांक लिए से कम लंबाई के सभी प्रमाणों की गणना कर सकते हैं ।$s$$s$

हम इसके बाद हल करने की समस्या को हल करने के लिए इसका उपयोग कर सकते हैं: ट्यूरिंग मशीन और एक इनपुट को देखते हुए , हम निम्नलिखित एल्गोरिथ्म का उपयोग करते हैं:$M$$x$

s := 0
while (True)
    test if machine M halts on input x in s steps
    look at all proofs of length s and see if they prove M doesn't halt on input x
    set s := s + 1

अगर पर इनपुट हाल्ट , तो यह की सीढ़ियों कुछ निश्चित संख्या में रुकती है है, तो हमारे एल्गोरिथ्म समाप्त।एक्स $M$$x$$s$

अगर पर इनपुट को रोकने नहीं करता है , तो हमारे इस धारणा से, वहाँ कुछ सबूत लंबाई जहां एक सबूत यह है कि पड़ाव नहीं है। तो इस मामले में, हमारा एल्गोरिथ्म हमेशा समाप्त होता है।एक्स एस $M$$x$$s$$M$

इस प्रकार, हमारे पास हाल्टिंग समस्या का निर्णय लेने वाला एक एल्गोरिदम है जो हमेशा समाप्त होता है। लेकिन हम जानते हैं कि यह अस्तित्व में नहीं हो सकता है, इसलिए हमारी धारणा यह है कि हमेशा न रुकने का एक प्रमाण झूठा होना चाहिए।

Comments

मुझे लगता है कि गोडेल के अधूरे प्रमेय का एक कमजोर रूप इसके बाद भी है। मूल रूप से ऐसी चीजें मौजूद हैं जो सच हैं लेकिन साबित नहीं की जा सकतीं। यह मेरे नए पसंदीदा विचारों में से एक है।

— जेक

क्या आपको लगता है कि पी = एनपी को साबित करने की कोशिश की जा रही है या एक अजीब सही संख्या खोजने की कोशिश करना इन कार्यक्रमों में से एक हो सकता है?

— ओटकार मोलनार लोपेज

इसका कोई मतलब नहीं है क्योंकि नॉन-टर्मिनेटिंग प्रोग्राम्स प्रूफ नहीं हैं और न ही वे नंबर हैं, लेकिन जो आइडिया आपको मिल रहा है, वह लाया गया है। कुछ लोग कहते हैं कि PvsNP अप्राप्य है

— Jake

@ जेक मुझे विश्वास है कि ट्यूरिंग मशीनों की प्रेरणा का हिस्सा गोडेल के प्रमेय के पीछे के विचार की एक स्वच्छ अभिव्यक्ति थी।

— cpast 3

Answer 2

कुछ और ठोस उदाहरण के लिए, आइए मान लें कि हम अपने साक्ष्यों के लिए जिस सिद्धांत का उपयोग कर रहे हैं, उसके निम्नलिखित (काफी उचित, IMO) हैं:

1. यह सुसंगत है ; यह विरोधाभास साबित नहीं कर सकता है।
2. स्वयंसिद्धों का इसका समुच्चय पुनरावर्ती है।
3. इसके प्रमाण को परिमित बिटस्ट्रिंग्स के रूप में लिखा जा सकता है।
4. यह प्रश्न कि क्या एक दिया गया तार एक सुव्यवस्थित और सही प्रमाण को कूटबद्ध करता है, परिमित समय में एल्गोरिदमिक रूप से निर्णायक है।
5. यह गोडेल के दूसरे अपूर्णता प्रमेय के प्रमाण को स्वीकार करने के लिए पर्याप्त रूप से अभिव्यक्त है , जो कहता है कि यह अपनी स्वयं की स्थिरता साबित नहीं कर सकता है।

उन मान्यताओं के साथ, निम्नलिखित कार्यक्रम कभी भी रुका नहीं होगा, लेकिन यह साबित नहीं किया जा सकता है (हम जिस सिद्धांत का उपयोग कर रहे हैं उसके दायरे में) रुकना नहीं:

let k := 0;
repeat:
    let k := k + 1;
    let s := binary expansion of k, excluding leading 1 bit;
while s does not encode a proof of a contradiction;
halt.

यहाँ मुख्य विवरण ऊपर की पहली धारणा है, जिसका अर्थ है कि हम अपने साक्ष्यों के लिए जिस सिद्धांत का उपयोग कर रहे हैं वह सुसंगत है। जाहिर है, हमें यह मानने की जरूरत है, कि हमारे प्रमाण कुछ भी होने लायक हैं, लेकिन गोडेल की दूसरी अपूर्णता प्रमेय का कहना है कि, किसी भी स्पष्ट रूप से अभिव्यंजक और प्रभावी रूप से स्वयंसिद्ध सिद्धांत के लिए, हम वास्तव में यह साबित नहीं कर सकते हैं (संभवतः कुछ अन्य सिद्धांत में, जिनकी संगतता तब हम आदि की जरूरत है।