हम क्यों मानते हैं कि PSP PT EXPTIME?

मुझे यह समझने में परेशानी हो रही है कि PSPACE को आम तौर पर EXPTIME से अलग क्यों माना जाता है। यदि PSPACE इनपुट आकार में अंतरिक्ष बहुपद में हल करने योग्य समस्याओं का समूह है $f(n)$ , तो समस्याओं का एक वर्ग कैसे हो सकता है जो अधिक घातीय समय झटका का अनुभव करते हैं और घातीय अंतरिक्ष का उपयोग नहीं करते हैं?

युवल फिल्मस का जवाब पहले से ही बेहद मददगार है। हालाँकि, क्या कोई मेरे तर्क को ढीली कर सकता है कि ऐसा क्यों हो सकता है कि PSPACE IME EXPTIME (यानी कि PSPACE EXPTIME का उचित उपसमूह नहीं है)? क्या हमें इनपुट आकार के साथ बहुपद रूप से अंतरिक्ष के साथ प्राप्त होने वाले सिस्टम कॉन्फ़िगरेशन की कुल संख्या के लिए ऊपरी स्थान को हरा देने के लिए घातीय स्थान की आवश्यकता नहीं होगी? केवल कहने के लिए, मैं समझ सकता हूं कि क्यों EXPTIME P EXPSPACE एक खुला मामला है, लेकिन मुझे PSPACE और EXPTIME के बीच संबंध के बारे में समझ की कमी है।

complexity-theory complexity-classes intuition

— user25876
स्रोत

आइए परिभाषाओं को ताज़ा करें।

PSPACE समस्याओं का वह वर्ग है जिसे बहुपद स्थान सीमा के साथ नियतात्मक ट्यूरिंग मशीन पर हल किया जा सकता है: अर्थात, ऐसी प्रत्येक समस्या के लिए, एक ऐसी मशीन होती है, जो उस इनपुट की लंबाई होने पर अधिकांश टेप कोशिकाओं का उपयोग करके समस्या का निर्णय करती है। , कुछ बहुपद । $p(n)$ $n$ $p$
EXP उन समस्याओं की श्रेणी है जिन्हें घातीय समय सीमा के साथ नियतात्मक ट्यूरिंग मशीन पर हल किया जा सकता है: इस तरह की प्रत्येक समस्या के लिए, एक ऐसी मशीन होती है, जो उस समस्या का निर्णय लेती है जिसका उपयोग अधिकतम चरणों में किया जाता है जब उसके इनपुट की लंबाई , कुछ बहुपद । $2^{p(n)}$ $n$ $p$

पहले, हमें यह कहना चाहिए कि ये दोनों वर्ग समान हो सकते हैं। वे अलग-अलग होने की अधिक संभावना रखते हैं लेकिन कक्षाएं कभी-कभी समान हो जाती हैं: उदाहरण के लिए, 2004 में, रीडिंगॉल्ड ने साबित किया कि सममित लॉगस्पेस सामान्य लॉगस्पेस के समान है; 1987 में, Immerman और Szelepcsényi स्वतंत्र रूप से साबित कर दिया कि एनएल $\;=\;$ सह-एनएल (और, वास्तव में, कि NSPACE [ ] $f(n)$ $\;=\;$ सह NSpace [ ] $f(n)$ किसी के लिए )। $f(n)\geq \log n$

लेकिन, फिलहाल, ज्यादातर लोगों का मानना है कि PSPACE और EXP अलग-अलग हैं। क्यूं कर? आइए देखें कि हम दो जटिलता वर्गों में क्या कर सकते हैं। PSPACE में एक समस्या पर विचार करें । हमें लंबाई इनपुट को हल करने के लिए टेप कोशिकाओं का उपयोग करने की अनुमति है, लेकिन इसकी तुलना EXP के विरुद्ध करना कठिन है , जो एक समयबद्धता द्वारा निर्दिष्ट है। $p(n)$ $n$

एक PSPACE समस्या के लिए हम कितना समय उपयोग कर सकते हैं ? यदि हम केवल टेप कोशिकाओं को लिखते हैं, तो अलग-अलग तार होते हैं, जो बाइनरी वर्णमाला मानकर टेप पर दिखाई दे सकते हैं। टेप सिर में से किसी में हो सकता है अलग-अलग स्थानों और ट्यूरिंग मशीन में से एक में हो सकता है विभिन्न राज्यों। तो विन्यास की कुल संख्या $p(n)$ $2^{p(n)}$ $p(n)$ $k$ $T(n) = k\,p(n)\,2^{p(n)}\!$ । कबूतर के सिद्धांत से, यदि हम चरणों के लिए चलते हैं, तो हमें दो बार कॉन्फ़िगरेशन का दौरा करना चाहिए, लेकिन चूंकि मशीन नियतात्मक है, इसका मतलब है कि यह चारों ओर लूप करेगी और उसी कॉन्फ़िगरेशन को अनंत बार, यानी, जीत जाएगी। टी हाल्ट। चूंकि PSPACE में होने की परिभाषा का हिस्सा यह है कि आपको समस्या का फैसला करना है, कोई भी मशीन जो समाप्त नहीं होती है वह एक PSPACE समस्या का समाधान नहीं करती है। दूसरे शब्दों में, PSPACE उन समस्याओं की श्रेणी है जो अधिकांश स्थान और अधिकांश पर उपयोग करने योग्य हैं $T(n)+1$ $p(n)$ समय, जो किकुछ बहुपद लिए अधिकतम । तो हमने वोPSPACEदिखाया है $k\,p(n)\,2^{p(n)}$ $2^{q(n)}$ $q$ $\;\subseteq\;$ EXP ।

और हम EXP समस्या के लिए कितनी जगह का उपयोग कर सकते हैं ? खैर, हमें चरणों की अनुमति है और ट्यूरिंग मशीन का प्रमुख केवल प्रत्येक चरण में एक स्थिति को स्थानांतरित कर सकता है। चूंकि सिर से अधिक स्थान नहीं ले सकता है , हम केवल उस कई टेप सेल का उपयोग कर सकते हैं। $2^{p(n)}$ $2^{p(n)}$

यही अंतर है: हालांकि PSPACE और EXP दोनों समस्याएं हैं जिन्हें घातीय समय में हल किया जा सकता है, PSPACE बहुपद स्थान के उपयोग के लिए प्रतिबंधित है, जबकि EXP घातीय स्थान का उपयोग कर सकता है। यह पहले से ही सुझाव है कि EXP अधिक शक्तिशाली होना चाहिए। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि आप ग्राफ़ के बारे में कोई समस्या हल करने का प्रयास कर रहे हैं। में PSPACE , आप कोने के हर उप सेट को देखने कर सकते हैं (यह केवल लेता है बिट्स नीचे एक सबसेट लिखने के लिए)। आप प्रत्येक उपसमुच्चय पर गणना करने के लिए कुछ कार्य स्थान का उपयोग कर सकते हैं, लेकिन एक बार जब आप एक उपसमुच्चय पर काम करना समाप्त कर लेते हैं, तो आपको उस कार्य स्थान को मिटा देना चाहिए और अगले उपसमुच्चय के लिए फिर से उपयोग करना चाहिए। में ऍक्स्प $n$ दूसरी ओर, आप न केवल प्रत्येक सबसेट को देख सकते हैं, बल्कि आपको अपने कार्य स्थान को पुन: उपयोग करने की आवश्यकता नहीं है, इसलिए आप यह याद रख सकते हैं कि आपने प्रत्येक व्यक्ति के बारे में क्या सीखा है। ऐसा लगता है कि यह अधिक शक्तिशाली होना चाहिए।

उन्हें अलग क्यों होना चाहिए इसके लिए एक और अंतर्ज्ञान यह है कि समय और स्थान पदानुक्रम प्रमेय हमें बताते हैं कि एक छोटे से अधिक स्थान या समय की अनुमति देने से सख्ती से बढ़ जाती है जो आप गणना कर सकते हैं। पदानुक्रम प्रमेय केवल आपको इस तरह की तुलना करने की अनुमति देते हैं (जैसे, वे उस PSPACE को दिखाते हैं $\;\subsetneq\;$ EXPSPACE और पी $\;\subsetneq\;$ EXP ) तो वे सीधे PSPACE बनाम EXP पर लागू नहीं होते हैं, लेकिन वे हमें एक मजबूत अंतर्ज्ञान देते हैं कि अधिक संसाधन का अर्थ है कि अधिक समस्याएं हल हो जाएं।

— डेविड रिचीर्बी
स्रोत

यदि EXPTIME घातीय स्थान की अनुमति देता है, तो मुझे लगता है कि सही सवाल है, क्या हम कह सकते हैं कि यह सच हो सकता है कि EXPTIME EXPSPACE का एक उचित उपसमूह है क्योंकि EXPSPACE उन समस्याओं के लिए अनुमति देता है जिन्हें सुपरस्पेशल समय में हल किया जा सकता है?

— user25876

अगर यह सच है, तो मुझे लगता है कि सब कुछ मेरे लिए मायने रखता है। किसी कारण से मैंने यह मान लिया था कि एक्सपोटाइम स्थान के उपयोग की मनाही है, लेकिन ऐसा नहीं है। यहीं से मेरा भ्रम हुआ।

— user25876

मुझे आपका सब्मिट उदाहरण पसंद है। IIRC सही ढंग से, हम उन समस्याओं को जानते हैं जिन्हें ऑनलाइन (साथ ही पूरी जानकारी के साथ) गणना नहीं की जा सकती है, इसलिए आपको सभी तत्वों को स्मृति में रखना होगा। सहज ढंग से बोलना।

— राफेल

@ user25876 हां, वही तर्क जो एक PSPACE मशीन का उपयोग कर सकता है, घातीय समय कहता है कि एक EXPSPACE मशीन दोगुना-घातीय समय (यानी,

) का उपयोग कर सकती है।

2^{2^{p o l y} (n)}

$2^{2^\mathrm{poly}(n)}$

— डेविड रिचेर्बी

@DavidRicherby मैं आपका जवाब स्वीकार कर रहा हूं। क्या आपको पता है कि किसी भी कागज संदर्भ BTW साबित करने के लिए तकनीकी बाधाओं पर चर्चा कर रहा है या EXPTIME के उचित उपसमूह के रूप में PSPACE को बाधित कर रहा है? मैं वास्तव में अब इसके बारे में बहुत उत्सुक हूं।

— user25876