अनंत वर्णमाला ट्यूरिंग मशीन

Question

क्या एक ट्यूरिंग मशीन है जिसे एक नियमित टीएम की तुलना में अधिक अनंत वर्णमाला के प्रतीकों को पढ़ने और लिखने की अनुमति है (यह एकमात्र अंतर है, मशीन में अभी भी राज्यों की एक सीमित संख्या है)?

अंतर्ज्ञान मुझे बताता है, क्योंकि आपको प्रत्येक प्रतीक को अलग करने के लिए अनंत संख्या में राज्यों की आवश्यकता है। इसलिए मुझे लगता है कि प्रतीकों में से कुछ प्रतीकों या संक्रमणों (या संक्रमणों के कुछ सबसेट) के बराबर होना चाहिए। तो आप वास्तव में इस तरह की मशीन को एक नियमित टीएम और इस तरह के प्रतीकों या संक्रमणों के एक बंधे हुए उपसमुच्चय के साथ अनुकरण कर सकते हैं।

मैं इसका औपचारिक प्रमाण कैसे प्राप्त कर सकता हूं?

Comments

इसके साथ ही crossposted CSTheory पर। कृपया ऐसा मत करो। यह आपके प्रश्न को दूसरों की तुलना में अधिक महत्वपूर्ण बनाता है। यह शायद यहाँ अधिक उपयुक्त है।

— जुहो

Answer 1

नहीं, यह अधिक शक्तिशाली होगा। संक्रमण फ़ंक्शन अब परिमित नहीं होगा, और यह आपको बहुत अधिक शक्ति खरीदता है।

एक अनंत वर्णमाला के साथ, आप किसी भी इनपुट आइटम को एक प्रतीक में अनंत सेट से सांकेतिक शब्दों में बदलना कर सकते हैं (हालांकि इनपुट सेट वर्णमाला सेट की तुलना में "अधिक अनंत" नहीं हो सकता है, उदाहरण के लिए वर्णमाला संभवतः केवल अनगिनत अनंत होगा, इसलिए बेशुमार के तत्व वास्तविक संख्याओं की तरह सेट को एक प्रतीक में नहीं दर्शाया जा सकता है)। और इसी तरह आउटपुट के लिए।

तो आप एक एकल संक्रमण के साथ एक दो-राज्य (एक प्रारंभिक, एक स्वीकार) अनंत-वर्ण-टीएम बना सकते हैं जो स्वीकार स्थिति में स्थानांतरित हो जाता है और उस फ़ंक्शन के अनुसार टेप सिर के नीचे प्रतीक को बदलता है जिसे आप गणना करने का प्रयास कर रहे हैं। यह नुस्खा आपको उन सेटों के बीच किसी भी मानचित्रण की गणना करने की अनुमति देगा, जिसे वर्णमाला के साथ एक-से-एक पत्राचार में डाला जा सकता है।

तो उस पतित प्रकार की मशीन से बचने के लिए हर चीज का जवाब है, आपको यह प्रतिबंधित करने की आवश्यकता होगी कि संक्रमण फ़ंक्शन क्या कर सकता है। एक स्पष्ट बात यह है कि संक्रमण कार्य की आवश्यकता होती है खुद को गणना करने योग्य होना चाहिए (साधारण TM के संक्रमण कार्य तुच्छ रूप से गणना करने योग्य हैं, क्योंकि वे परिमित हैं)। लेकिन तब आप कम्प्यूटेशनल कार्यों के अपने मॉडल को परिभाषित करने के लिए कम्प्यूटेशनल कार्यों का उपयोग करने की कोशिश करेंगे।

Answer 2

उपरोक्त उत्तर सही है, लेकिन कुछ और भी है जो अनंत अक्षर और संगणना के बारे में कहा जा सकता है।

WP में ट्यूरिंग मशीन के रूप में वर्णित है $M = (Q, \Gamma,b,\Sigma,\delta, q_0, q_f)$जिसमें सभी सेट परिमित हैं। इस प्रकार संक्रमण समारोह

$$\delta: Q / F \times \Gamma \rightarrow Q \times\Gamma \times \{L,R \}$$ जरूरी परिमित है।

एक अनंत वर्णमाला मशीन में हम इनपुट वर्णमाला की जगह लेंगे $\Sigma$ कह कर $\Sigma^{inf}$ और इसलिए टेप वर्णमाला द्वारा $\Gamma^{inf}$ और द्वारा संक्रमण समारोह $\delta^{inf}$ पालन:

$$\delta^{inf}: Q / F \times \Gamma^{inf} \rightarrow Q \times\Gamma^{inf} \times \{L,R \}$$

इसलिए $\delta^{inf}$जरूरी एक अनंत कार्य है। जैसा कि टिप्पणी की गई है कि यदि यह फ़ंक्शन गैर-संगणक होना है, तो ऊपर का प्रतिनिधित्व योग्य नहीं है। हमें लगता है कि हम रखेंगे$\delta^{inf}$(आंशिक) यदि संभव हो तो पुनरावर्ती। सवाल यह है कि क्या वर्णमाला हमेशा इसकी अनुमति देगा।

मूल मुद्दा यह है कि एक परिमित वर्णमाला अपनी संपूर्णता में प्रस्तुत की जाती है (इसलिए हम अपने कार्यों को पुनरावर्ती रूप से परिभाषित करना चुन सकते हैं), लेकिन एक अनंत वर्णमाला को कभी भी संपूर्णता में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है। तो क्या तंत्र वर्णमाला उत्पन्न कर रहा है?

इस पर विचार करने का सबसे सरल तरीका यह कल्पना करना है कि एक परिमित "कोर" वर्णमाला है, कहते हैं $A=\{a,b\}$। फिर एक भाषा उत्पन्न करें$L \subset A^*$। मान लें कि स्ट्रिंग अबाब $\in L$। फिर परिभाषित करें$\alpha = <abaab> \in \Gamma^{inf}$। तो अनंत वर्णमाला से तार के सेट होते हैं$L$एक एकल प्रतीक में जैसे$<abaab>$।

इस तरह की सबसे सरल वर्णमाला मूल रूप से है <1 *> , नियमित भाषा जिसमें प्रत्येक प्रतीक में ऊर्ध्वाधर स्ट्रोक की संख्या की गिनती करके किसी भी दो प्रतीकों को प्रतिष्ठित किया जाता है। यह एक परिमित राज्य पार्सर (एक LBA के रूप में हालांकि, एक परिमित ऑटोमेटा के रूप में नहीं) के साथ अभिकलन होगा। टीएम ऑपरेशन में एक गैर-परिमित ऑपरेशन के किसी भी रूप से बचने के लिए परिमित वर्णमाला के लिए ट्यूरिंग का तर्क दिया गया। हालांकि यह ध्यान देने योग्य है कि अंग्रेजी वर्णमाला के 26 अक्षर इस गिनती पैटर्न का पालन नहीं करते हैं: अक्षर z में 26 स्ट्रोक या डॉट्स या कुछ भी नहीं है। इसलिए अन्य पैटर्न सबसे सामान्य कम्प्यूटेशनल पैटर्न के साथ संभव हैं जो एक पुनरावर्ती रूप से गणना योग्य (पुनः) भाषा पर आधारित हैं$L$।

हालांकि समस्या यह है कि निर्माण हो रहा है $\delta^{inf}$ जब तक की परिभाषा संभव नहीं होगी $L$स्पष्ट रूप से प्रदान किया गया है। यह आंशिक रूप से है क्योंकि पुन: सेट की तुलनीयता आंशिक और आंशिक रूप से है क्योंकि अन्यथा हमारे पास कभी भी काम करने के लिए एक परिमित नमूना होता है और इसका अनुमान नहीं लगाया जा सकता है$L$उसमें से। अगर हम की परिभाषा है$L$ (और इसलिए $\Gamma^{inf}$) तो अगर $f$ में पुनरावर्ती है $\Gamma^{inf}$ फिर $f$ परिमित A में पुनरावर्ती है, और इसलिए $f$ बिल्कुल पुनरावर्ती है और $\delta^{inf}$ पुनरावर्ती हो सकता है।

अंत में हम इस मामले पर विचार करते हैं $L$ दो उदाहरणों के साथ फिर से नहीं है:

उदाहरण 1 ।$<n>\in \Gamma^{inf}$ iff $\phi_{n}(n)$निश्चित रूप से विचलन करता है। इस मामले में वर्णमाला$\Gamma^{inf}$स्पष्ट रूप से एक परिमित विवरण नहीं होगा - इसके बजाय यह समय के साथ "विकसित" होगा (और केवल कुछ कम्प्यूटेशनल सीमा में ही पूरी तरह से परिभाषित किया जाएगा)। लेकिन तब यह एक अनंत वर्णमाला है जिसे किसी भी स्थिति में एक बार प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है। तो अगर$f$ में पुनरावर्ती है $\Gamma^{inf}$, तो च अंदर है $\Delta_2^0$- हाल्टिंग सेट। इसलिए$\delta^{inf}$ पुनरावर्ती नहीं हो सकता।

उदाहरण 2 । एक अधिक ज्यामितीय उदाहरण पेनरोज़- टाईल्स को मानता है । प्रतीक देते हैं$S\in\Gamma^{inf}$ अगर $S$एन एपेरियोडिक टाइलों की एक इकाई है जो विमान को निश्चित रूप से टाइल कर सकती है। यह वर्णमाला अनंत है क्योंकि कोई भी निर्माण कर सकता है, किसी एन के लिए, पेनरोज टाइल्स की एक एन-टाइल इकाई। हालाँकि प्लेन को ख़ुद से जोड़ना अपरिहार्य है, इसलिए S का सेट आगे बढ़ेगा क्योंकि इस तरह की टाइलें खोजी गई हैं। संभव है$f$ में पुनरावर्ती $\Gamma^{inf}$ लेकिन पूरी तरह से पुनरावर्ती नहीं हो सकता है च (एस) = एस में टाइल्स की संख्या।